华师大八数下册教学课件

华师大版八年级下册数学教学课件目录第章分式第章函数及其图象第章平行四边形161718•分式的基础概念•函数概念•性质回顾•分式的基本运算•一次函数的性质•平行四边形的判定•分式的化简技巧•反比例函数•平行四边形的综合应用•分式方程的解法•函数图象的绘制技巧•多个平行四边形结合的证明•分式应用题•函数的实际应用第章矩形、菱形与正方形第章数据的整理与初步处理复习与互动1920•基本性质•数据的收集与整理•复习与总结•矩形的判定•平均数、中位数和众数•课堂互动与思考题•菱形的判定•加权平均数•正方形的判定与性质•方差的概念与计算•综合应用•数据的图象表示•数据分析与决策第章分式基础概念16——分式的定义与意义分式是指分子或分母至少有一个是代数式的分数，通常表示为$\frac{Px}{Qx}$，其中$Px$和$Qx$是代数式，且$Qx\neq0$分式在数学建模和实际问题中有广泛应用，例如比例关系、速率问题等分式的基本性质•如果分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变•分子分母同时乘以一个代数式，必须保证这个代数式不为零•分式的倒数是将分子分母互换的结果，即$\frac{Px}{Qx}$的倒数为$\frac{Qx}{Px}$分式的分母不为零的条件对于分式$\frac{Px}{Qx}$，必须满足条件$Qx\neq0$，这是分式存在的前提确定分式的定义域，就是求出使分母不为零的所有实数$x$的集合分式的基本运算分式的加减法异分母分式相加减时，需要先通分，即找出分母的最小公倍式，将各分式化为同分母分式，然后按照同分母分式的加减法进行计算1例如$\frac{x+1}{x-2}+\frac{2x}{x+3}=\frac{x+1x+3+2xx-2}{x-2x+3}=\frac{x^2+4x+3+2x^2-4x}{x-2x+3}=\frac{3x^2+3}{x-2x+3}$分式的乘除法分式的乘法分子相乘作新分式的分子，分母相乘作新分式的分母，然后约分2分式的除法除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数例如$\frac{x^2-1}{x+2}\div\frac{x-1}{x^2-4}=\frac{x^2-1}{x+2}\times\frac{x^2-4}{x-1}=\frac{x^2-1x^2-4}{x+2x-1}=\frac{x-1x+1x-2x+2}{x+2x-1}=x+1x-2$典型例题讲解例题计算$\frac{x^2+x-2}{x^2-x}-\frac{x+2}{x-1}$解首先进行因式分解3$\frac{x^2+x-2}{x^2-x}-\frac{x+2}{x-1}=\frac{x+2x-1}{xx-1}-\frac{x+2}{x-1}=\frac{x+2x-1}{xx-1}-\frac{x+2x}{xx-1}=\frac{x+2x-1-x+2x}{xx-1}=\frac{x+2x-1-x}{xx-1}=\frac{x+2-1}{xx-1}=-\frac{x+2}{xx-1}$定义域$x\neq0,x\neq1$分式的化简技巧提取公因式练习题解析提取公因式是分式化简的基本方法通过对分子和分母练习1化简$\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}$进行因式分解，找出公共因式并约去，从而简化分式解析例如化简$\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}$分子$x^2-9=x-3x+3$分子$x^2-4=x-2x+2$分母$x^2+6x+9=x+3^2$分母$x^2-4x+4=x-2^2$所以$\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}=\frac{x-3x+3}{x+3^2}所以$\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}=\frac{x-2x+2}{x-2^2}==\frac{x-3}{x+3}$，当$x\neq-3$时成立\frac{x+2}{x-2}$，当$x\neq2$时成立练习2化简$\frac{x^3-8}{x^2-4}$通分与约分解析通分是指将异分母分式转化为同分母分式，常用于分式分子$x^3-8=x-2x^2+2x+4$的加减运算分母$x^2-4=x-2x+2$约分是指对分式的分子和分母进行因式分解，消去公共所以$\frac{x^3-8}{x^2-4}=\frac{x-2x^2+2x+4}{x-因式，得到最简分式2x+2}=\frac{x^2+2x+4}{x+2}$，当$x\neq2$时成立通分和约分的关键在于正确地进行因式分解，尤其是对复杂多项式的因式分解化简技巧当分式中包含高次项时，可以尝试用十字相乘法或公式法进行因式分解，然后再约分分式方程的解法分式方程的定义例题演示分式方程是含有未知数的分式的方程，一般形式为例题1解方程$\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+2}=\frac{3}{x-1x+2}$解定义域$x\neq1,x\neq-2$其中$P_ix$和$Q_ix$是关于未知数$x$的多项式，且$Q_ix\neq0$通分原方程左边解方程的步骤与注意事项$\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+2}=\frac{2x+2}{x-1x+2}-\frac{1x-1}{x-1x+2}=\frac{2x+2-x-1}{x-1x+2}=\frac{2x+4-x+1}{x-1x+2}=\frac{x+5}{x-1x+2}$确定方程的定义域找出使各分母不为零的$x$值的集合所以原方程变为$\frac{x+5}{x-1x+2}=\frac{3}{x-1x+2}$通分将方程两边的分式通分，得到分子相等的形式两边分母相同，所以分子相等$x+5=3$去分母两边同乘以最小公分母，消去所有分母解整式方程解变形后的整式方程解得$x=-2$检验将解代入原方程，验证是否满足方程，并检查是否在定义域内但$x=-2$不在定义域内，所以此方程无解例题2解方程$\frac{1}{x-3}+\frac{2}{x}=\frac{1}{3}$特别注意解分式方程时，一定要检验所得解是否在方程的定义域内，否则可能得出错误的结果！解定义域$x\neq0,x\neq3$两边同乘以$3xx-3$$3x+6x-3=xx-3$$3x+6x-18=x^2-3x$$9x-18=x^2-3x$$0=x^2-12x+18$解得$x=6\pm\sqrt{18}=6\pm3\sqrt{2}$验证两个解都在定义域内，所以方程的解为$x=6+3\sqrt{2}$或$x=6-3\sqrt{2}$分式应用题实际问题转化为分式方程分式在实际问题中有广泛应用，特别是在涉及比例、速率、时间等问题中将实际问题转化为分式方程的关键步骤

1.仔细阅读题目，明确已知条件和求解目标

2.用字母表示未知量

3.根据题目条件列出方程或方程组

4.解方程，得出结果

5.检验结果是否合理，并用实际意义解释解题思路与方法分式应用题常见的问题类型工作问题不同的人或机器完成同一工作所需的时间不同，工作效率与时间成反比行程问题涉及速度、时间、距离三者的关系，其中速度与时间成反比配比问题涉及不同成分的混合比例浓度问题溶液的浓度计算解决这些问题的关键在于正确建立各变量之间的关系，尤其是反比例关系典型应用题解析例题1甲、乙两人合作完成一项工作需要12小时已知甲单独完成这项工作比乙多用16小时，求甲、乙各自单独完成这项工作需要的时间解设甲单独完成这项工作需要$x$小时，则乙需要$x-16$小时根据工作效率与时间成反比，有$\frac{1}{x}+\frac{1}{x-16}=\frac{1}{12}$解得$x=24$或$x=8$由于题目说甲比乙多用时间，所以甲需要24小时，乙需要8小时例题2一辆汽车从A地开往B地，如果速度为60千米/小时，则比原计划提前1小时到达；如果速度为40千米/小时，则比原计划晚1小时到达求A、B两地之间的距离解设A、B两地之间的距离为$s$千米，原计划用时为$t$小时则有$\frac{s}{60}=t-1$，$\frac{s}{40}=t+1$解得$s=240$，$t=5$所以A、B两地之间的距离为240千米第章函数及其图象函数概念17——函数的定义函数是描述两个变量之间对应关系的一种数学关系如果对于变量$x$的每一个值，变量$y$都有唯一确定的值与之对应，那么就称$y$是$x$的函数，记作$y=fx$函数的三要素定义域自变量$x$所有可能取值的集合对应关系自变量与因变量之间的映射关系值域函数所有可能的输出值构成的集合自变量与因变量在函数关系中，$x$被称为自变量，它可以在定义域内自由取值；而$y$被称为因变量，它的值取决于自变量的取值一个函数可以有多个自变量，如$z=fx,y$，但在初中阶段我们主要研究一元函数函数的表示方法函数可以通过多种方式表示解析法用表达式表示，如$y=2x+1$列表法用表格列出自变量和因变量的对应值图象法在坐标系中绘制函数图象文字描述用语言描述变量间的关系重要提示判断一个对应关系是否为函数，关键是看对于自变量的每一个值，因变量是否有且仅有一个值与之对应函数的实例以下是生活中的函数实例•温度与高度的关系随着海拔升高，气温降低一次函数的性质斜率与截距图象特征一次函数的一般式为$y=kx+b$，其中$k$称为斜率，表示函数图象的倾斜程度•当$k0$时，函数单调递增•当$k0$时，函数单调递减•$|k|$越大，函数图象越陡峭$b$称为截距，表示函数图象与$y$轴的交点坐标$0,b$一次函数的图象是一条直线，可以通过两点确定最简单的方法是找出截距点$0,b$和$x$轴的交点$-\frac{b}{k},0$，然后连接这两点一次函数的重要性质•图象是一条直线•$k$的符号决定直线的倾斜方向•$k$的绝对值越大，直线越陡峭•当$k=0$时，函数退化为常函数$y=b$，图象是平行于$x$轴的直线•当$b=0$时，函数简化为$y=kx$，图象过原点例题讲解123例题例题例题123已知一次函数$y=kx+b$的图象过点$A1,3$和$B2,5$，求该函数的解析式一次函数$y=-3x+c$的图象与$x$轴交于点$P2,0$，求$c$的值和函数的解析式若一次函数$y=mx+n$的图象过两点$C-1,4$和$D2,-2$，求$m$和$n$的值解将点$A1,3$和$B2,5$的坐标分别代入函数表达式解将点$P2,0$的坐标代入函数表达式解将点$C-1,4$和$D2,-2$的坐标分别代入函数表达式$3=k\cdot1+b$$0=-3\cdot2+c$$4=m\cdot-1+n$$5=k\cdot2+b$$c=6$$-2=m\cdot2+n$反比例函数定义与图象反比例函数的一般式为$y=\frac{k}{x}$（$k\neq0$），其中$k$称为比例系数反比例函数的定义域是$x\neq0$的所有实数，即$\{x|x\in\mathbb{R},x\neq0\}$反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，分别位于第

一、三象限（当$k0$时）或第

二、四象限（当$k0$时）图象不与坐标轴相交，但无限接近坐标轴性质分析定义域与值域定义域为$\{x|x\neq0\}$，值域为$\{y|y\neq0\}$单调性•当$k0$时，在$x0$的区间内，函数单调递减；在$x0$的区间内，函数单调递增•当$k0$时，在$x0$的区间内，函数单调递增；在$x0$的区间内，函数单调递减奇偶性反比例函数是奇函数，即$f-x=-fx$，图象关于原点对称渐近线$x$轴和$y$轴是反比例函数图象的渐近线绘图技巧绘制反比例函数图象时，可以先确定几个特殊点，如$1,k$、$-1,-k$、$2,\frac{k}{2}$、$-2,-\frac{k}{2}$等，然后连接这些点并注意渐近线典型例题12例题例题12已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象过点$P2,3$，求已知反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象过点$A-2,4$和$B4,-2$，求$m$的值和函数的解析式1函数的解析式；解将点$A-2,4$和$B4,-2$的坐标分别代入函数表达式2函数图象上横坐标为$-4$的点的纵坐标$4=\frac{m}{-2}$，即$m=-8$解$-2=\frac{m}{4}$，即$m=-8$1将点$P2,3$的坐标代入函数表达式两式得到相同的$m$值，说明这两点确实在同一条反比例函数图象上$3=\frac{k}{2}$所以，函数的解析式为$y=\frac{-8}{x}$解得$k=6$函数图象的绘制技巧关键点的确定对称性与单调性绘制函数图象时，确定关键点能帮助我们更准确地描绘图象利用函数的对称性和单调性可以简化绘图过程一次函数对称性•截距点$0,b$•奇函数关于原点对称，如$y=\frac{k}{x}$•$x$轴交点$-\frac{b}{k},0$•偶函数关于$y$轴对称，如$y=x^2$•任意一点代入$x$值计算对应的$y$值单调性反比例函数•一次函数$y=kx+b$$k0$时单调递增，$k0$时单调递减•易计算点$1,k$、$-1,-k$、$2,\frac{k}{2}$、$-2,-•反比例函数$y=\frac{k}{x}$在定义域的不同部分有不同的单\frac{k}{2}$等调性•注意渐近线$x$轴和$y$轴练习题示范练习1绘制函数$y=2x-3$的图象解析确定关键点•$y$轴交点$0,-3$•$x$轴交点$

1.5,0$•额外点$2,1$连接这些点，得到一条直线，即为所求函数的图象练习2绘制函数$y=\frac{-4}{x}$的图象解析确定关键点•$1,-4$•$-1,4$•$2,-2$•$-2,2$注意渐近线为$x$轴和$y$轴，绘制双曲线，图象位于第

二、四象限函数的实际应用生活中的函数模型函数在现实生活中有广泛的应用，许多实际问题都可以用函数来描述和解决以下是一些常见的函数应用场景一次函数应用•出租车计费总费用=起步价+里程单价×超出起步里程的距离•商品定价售价=成本+利润例题解析与思考•温度换算摄氏度与华氏度的转换关系反比例函数应用例题1某城市出租车收费标准为起步价10元（包含3千米），超出部分每千米

2.5元小明乘坐出租车从家到学校，支付了•定量工作问题工作效率与完成时间成反比

22.5元，求小明家到学校的距离•物理学中的波义耳定律气体的压强与体积成反比解设小明家到学校的距离为$x$千米•电学中的欧姆定律在电阻一定的情况下，电流与电压成正比其他函数应用当$x\leq3$时，车费为10元•二次函数抛物线运动、利润最大化问题当$x3$时，车费为$10+

2.5x-3$元•指数函数人口增长、复利计算已知车费为

22.5元，所以•对数函数地震强度、声音分贝$

22.5=10+

2.5x-3$$

12.5=

2.5x-3$$5=x-3$$x=8$所以，小明家到学校的距离为8千米例题2甲、乙两人合作完成一项工作，已知甲单独完成需要12小时，乙单独完成需要18小时，若两人合作，需要多少小时完成？解设两人合作完成这项工作需要$x$小时根据工作效率与时间成反比的关系$\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{1}{x}$$\frac{3+2}{36}=\frac{1}{x}$$\frac{5}{36}=\frac{1}{x}$$x=\frac{36}{5}=

7.2$所以，两人合作需要

7.2小时完成这项工作第章平行四边形性质回顾18——边、角性质边的性质平行四边形的对边分别相等，即平行四边形的定义AB=DC，AD=BC角的性质平行四边形是指对边分别平行的四边形•平行四边形的对角分别相等，即数学表达四边形ABCD中，如果AB∥DC且∠A=∠C，∠B=∠DAD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形•平行四边形的相邻两角互补，即∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180°，∠D+∠A=180°面积性质对角线性质•平行四边形的面积等于底×高•平行四边形的对角线互相平分•面积公式S=a×h，其中a是底边长，h•若O是对角线AC和BD的交点，则是对应的高OA=OC，OB=OD•也可表示为S=ab•sinC，其中a、b是•对角线把平行四边形分成面积相等的四个相邻两边长，C是它们的夹角三角形平行四边形的判定判定条件总结证明题示范判定一个四边形是平行四边形的条件有多种，主要包括例题1已知四边形ABCD中，AB=CD，AC=BD，求证四边形ABCD是平行四边形定义判定四边形的对边分别平行，即AB∥DC且AD∥BC证明对边判定四边形的对边分别相等，即AB=DC且AD=BC在△ABC和△CDA中对角判定四边形的对角分别相等，即∠A=∠C且∠B=∠DAB=CD（已知）对角线判定四边形的对角线互相平分一组对边判定四边形中有一组对边平行且相等，即AB∥DC且AB=DC AC是公共边三角形判定三角形的中线连接所形成的四边形是平行四边形BC=DA（已知）根据SSS全等，△ABC≌△CDA提示在实际解题中，应根据已知条件灵活选择最适合的判定条件有时候，需要先证明一些辅助性质，再利用判定条件所以，∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC又因为∠BAC和∠DCA是同位角，所以AB∥CD同理，BC∥AD所以，四边形ABCD是平行四边形平行四边形的综合应用例题解析证明与计算结合结合面积与周长问题例题1已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，E是AB的中点，连接CE和DO，求证四边形平行四边形的综合题往往需要先证明某些性质，再进行计算常见的解题思路包括CEOD是平行四边形平行四边形的面积和周长问题通常结合以下知识点

1.利用平行四边形的性质证明两个三角形全等证明•平行四边形的面积公式S=a•h（底×高）

2.利用全等三角形得出某些线段或角度相等在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O•平行四边形的周长公式C=2a+b（对边相等）

3.利用已证明的性质计算面积、周长或其他几何量所以OA=OC，OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）•平行四边形的对角线性质对角线互相平分解题时要注意分析图形的特点，合理选择解题策略已知E是AB的中点，所以AE=EB•三角形的面积S=$\frac{1}{2}$•底×高在△AOB中，E是AB的中点在解题中，常需要利用辅助线（如高线、对角线等）来简化问题根据三角形中位线定理，连接EO，则EO∥OB且EO=$\frac{1}{2}$OB因为OB=OD，所以EO=$\frac{1}{2}$OD在△COD中，由于OD=OB，且EO∥OB，所以EO∥OD又因为EO=$\frac{1}{2}$OD，所以在四边形CEOD中，CE∥OD且CE=OD根据平行四边形的一组对边平行且相等的判定条件可以得出四边形CEOD是平行四边形例题2已知平行四边形ABCD的面积为24平方厘米，点E在BC上，使BE:EC=1:2，点F在CD上，使CF:FD=2:1，求四边形AECF的面积解由于BE:EC=1:2，所以BE=$\frac{1}{3}$BC，EC=$\frac{2}{3}$BC由于CF:FD=2:1，所以CF=$\frac{2}{3}$CD，FD=$\frac{1}{3}$CD在平行四边形ABCD中，BC∥AD，CD∥AB连接AE和AF因为E在BC上，且BE:EC=1:3，所以△ABE的面积为△ABC的$\frac{1}{3}$又因为平行四边形ABCD的面积为24平方厘米，所以△ABC的面积为12平方厘米所以△ABE的面积为4平方厘米同理，因为F在CD上，且CF:FD=2:1，所以△ADF的面积为△ADC的$\frac{1}{3}$△ADC的面积为12平方厘米，所以△ADF的面积为4平方厘米四边形AECF的面积=平行四边形ABCD的面积-△ABE的面积-△ADF的面积=24-4-4=16平方厘米多个平行四边形结合的证明复杂图形分析例题演示当问题涉及多个平行四边形时，通常需要以下分析步骤识别已知的平行四边形，明确其性质寻找可能形成的新平行四边形，并分析它们之间的关系利用平行四边形的性质（如对边平行、对边相等、对角线互相平分等）建立连接寻找辅助线，如对角线、中位线等，帮助证明利用向量方法处理复杂问题，特别是涉及平行、比例关系时证明思路与步骤处理多个平行四边形的常用证明思路分解法将复杂图形分解为已知的简单图形转化法将待证问题转化为已知条件的应用辅助线法添加适当的辅助线简化问题坐标法在适当的情况下引入坐标系反证法假设结论不成立，推导出矛盾第章矩形、菱形与正方形基本性质19——矩形的定义与性质菱形的定义与性质正方形的定义与性质定义矩形是四个角都是直角的平行四边形定义菱形是四条边都相等的平行四边形定义正方形是既是矩形又是菱形的四边形，即四个角都是直角且四条边都相等的四边形性质性质性质

1.具有平行四边形的所有性质（对边平行且相等，对角相等，对角线互

1.具有平行四边形的所有性质（对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分）相平分）

1.具有矩形和菱形的所有性质

2.四个角都是直角（90°）

2.四条边都相等，即AB=BC=CD=DA

2.四个角都是直角（90°）

3.对角线相等，即AC=BD

3.对角线互相垂直，即AC⊥BD

3.四条边都相等，即AB=BC=CD=DA

4.矩形的面积S=ab，其中a、b是相邻两边的长度

4.对角线平分对角，即AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC

4.对角线相等且互相垂直，即AC=BD且AC⊥BD

5.菱形的面积S=$\frac{1}{2}$×对角线的乘积，即

5.对角线平分对角S=$\frac{1}{2}$×AC×BD

6.正方形的面积S=a²，其中a是边长平行四边形矩形对边平行且相等平行四边形+四个直角正方形菱形矩形+菱形的结合平行四边形+四边相等矩形的判定判定条件证明题示范判定一个四边形是矩形的条件主要有以下几种定义判定一个四边形是平行四边形，且有一个角是直角，则这个四边形是矩形对角线判定一个平行四边形的对角线相等，则这个平行四边形是矩形三个直角判定一个四边形有三个角是直角，则这个四边形是矩形直角三角形判定如果两个全等的直角三角形沿着直角边拼接，则形成的四边形是矩形注意在证明一个四边形是矩形时，可以先证明它是平行四边形，然后再证明它满足矩形的特殊性质，如有一个直角或对角线相等菱形的判定判定条件判定一个四边形是菱形的条件主要有以下几种定义判定一个四边形是平行四边形，且有两条相邻边相等，则这个四边形是菱形四边相等判定一个四边形的四条边都相等，则这个四边形是菱形对角线判定一个平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形对角线平分对角判定一个平行四边形的对角线平分对角，则这个平行四边形是菱形证明题示范例题1已知平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，求证四边形ABCD是菱形证明在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O所以OA=OC，OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）已知AC⊥BD，所以∠AOB=90°在△AOB和△AOD中OA是公共边OB=OD（平行四边形的性质）∠AOB=∠AOD=90°（已知AC⊥BD）根据SAS全等，△AOB≌△AOD所以AB=AD同理可证，AB=BC所以四边形ABCD的四条边都相等因此，四边形ABCD是菱形典型例题例题2如图，四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，且AC⊥BD，OA=OC，求证四边形ABCD是菱形证明已知对角线AC和BD相交于点O，且OA=OC所以对角线AC被点O平分在平行四边形中，对角线互相平分，所以OB=OD因此，四边形ABCD是平行四边形又已知AC⊥BD根据菱形的判定定理，四边形ABCD是菱形例题3已知四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，求证四边形ABCD是菱形证明已知AB=BC=CD=DA，四边形ABCD的四条边都相等正方形的判定与性质判定条件判定一个四边形是正方形的条件主要有以下几种矩形+菱形判定一个四边形既是矩形又是菱形，则这个四边形是正方形平行四边形扩展判定一个平行四边形有一个角是直角，且两条相邻边相等，则这个平行四边形是正方形对角线判定一个四边形的对角线相等且互相垂直平分，则这个四边形是正方形角边判定一个四边形的四个角都是直角，且四条边都相等，则这个四边形是正方形性质总结正方形具有以下性质

1.四条边都相等（继承自菱形）

2.四个角都是直角（继承自矩形）

3.对角线相等（继承自矩形）

4.对角线互相垂直（继承自菱形）

5.对角线互相平分（继承自平行四边形）

6.对角线平分对角（继承自菱形）

7.正方形有四条对称轴（对角线和边的中垂线）

8.正方形的面积公式S=a²，其中a是边长

9.正方形的周长公式C=4a，其中a是边长四边形家族关系正方形是最特殊的四边形，它同时满足矩形和菱形的所有性质可以理解为•正方形⊂矩形⊂平行四边形•正方形⊂菱形⊂平行四边形矩形、菱形、正方形的综合应用典型例题证明与计算综合题结合面积、周长、角度问题例题1已知矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC和BD交于点O，解决特殊四边形的综合题，常用的解题思路包括求特殊四边形的综合应用题通常涉及以下知识点的结合

1.根据已知条件，先确定四边形的类型（平行四边形、矩形、菱形或正1对角线AC和BD的长面积计算方形）2四边形ABOC的面积•矩形S=ab（长×宽）

2.利用该类型四边形的性质推导未知量解•菱形S=$\frac{1}{2}$×对角线的乘积=ab•sin∠A

3.灵活运用辅助线（如对角线、高线等）简化问题1在矩形中，对角线相等•正方形S=a²

4.利用全等三角形、相似三角形等基本几何工具由勾股定理，AC²=AB²+BC²=6²+8²=36+64=100周长计算

5.在适当情况下，引入坐标系或向量方法•矩形C=2a+b所以AC=10cm，同理BD=10cm•菱形C=4a2矩形的对角线互相平分，所以O是对角线的中点•正方形C=4a四边形ABOC的面积=$\frac{1}{2}$×矩形ABCD的面积=角度关系利用特殊四边形的角度性质解决问题$\frac{1}{2}$×AB×BC=$\frac{1}{2}$×6×8=24cm²对角线关系利用对角线的长度、位置关系解决问题例题2已知菱形ABCD的面积为24平方厘米，对角线AC=8cm，求对角线BD的长度和菱形的边长解菱形的面积公式S=$\frac{1}{2}$×AC×BD24=$\frac{1}{2}$×8×BDBD=$\frac{24×2}{8}$=6cm菱形的边长可以用对角线计算设菱形的边长为a，对角线交点为O在直角三角形AOB中AO=$\frac{1}{2}$AC=4cm，BO=$\frac{1}{2}$BD=3cm由勾股定理AB²=AO²+BO²=4²+3²=16+9=25所以AB=5cm，即菱形的边长为5cm第章数据的整理与初步处理数据的收集与整理20——数据的分类与整理方法例题演示数据整理是统计分析的基础，主要包括以下步骤例题1某班级50名学生的数学成绩如下（满分100分）数据收集通过调查、实验、查阅资料等方式获取原始数据73,85,62,91,78,65,88,72,79,83,76,90,68,84,77,95,82,70,87,81,75,89,67,93,80,66,92,74,86,78,69,85,72,90,76,83,65,88,71,95,79,87,64,91,77,82,73,89,数据分类68,84•定性数据描述事物特征的数据，如性别、颜色等请将这些数据整理成频数分布表•定量数据可以用数值表示的数据，如身高、成绩等解•离散数据只能取特定值的数据，如家庭人口数首先确定数据的范围最小值64，最大值95，极差为95-64=31•连续数据可以在一定区间内取任意值的数据，如身高、体重数据整理选择组距为5，则可以分为7组•简单数据直接列表分数段频数频率•大量数据分组整理，制作频数分布表•分组原则组距相等，组数适中（一般5-15组）60-6412%频数与频率65-69612%频数数据在某一组或某一值出现的次数70-74816%频率某组或某值的频数与总频数的比值，表示为75-791020%80-84816%频率的性质85-89918%•频率的取值范围在0到1之间90-95816%•所有组的频率之和等于1•频率可以用百分数表示，此时所有频率之和为100%平均数、中位数和众数三种集中趋势的定义与区别适用场景分析计算方法与例题平均数所有数据的总和除以数据的个数不同的集中趋势度量适用于不同的场景例题某班10名学生的数学成绩（满分100分）如下平均数85,92,78,65,92,88,73,92,81,69•优点考虑了所有数据值，计算简单求这组数据的平均数、中位数和众数•缺点受极端值影响大解中位数将所有数据从小到大排列，位于中间位置的数•适用于分布较为对称、没有明显极端值的数据平均数•当数据个数为奇数时，中位数为第$n+1/2$个数•例如学生的平均成绩、物体的平均质量等•当数据个数为偶数时，中位数为第$n/2$个数和第$n/2+1$$\bar{x}=\frac{85+92+78+65+92+88+73+92+81+69}{10}=中位数个数的平均值\frac{815}{10}=

81.5$•优点不受极端值影响，反映数据的中间位置众数一组数据中出现次数最多的数一组数据可能有一个众数、中位数•缺点不考虑所有数据的具体值多个众数或没有众数将数据从小到大排序65,69,73,78,81,85,88,92,92,92•适用于有极端值或分布不对称的数据数据个数为10（偶数），所以中位数是第5个和第6个数的平均值•例如家庭收入、房价等中位数=$\frac{81+85}{2}=83$众数•优点直观反映最常见的数据众数•缺点可能不唯一，不考虑其他数据值数据中出现次数最多的是92，出现了3次，所以众数是92•适用于分类数据或离散数据•例如最受欢迎的颜色、最常购买的商品等加权平均数定义与计算加权平均数是考虑数据重要性或出现频率的平均数，计算公式为其中，$x_i$是数据值，$w_i$是对应的权重（或频数）加权平均数的特点•考虑了数据的重要性或出现频率•当所有权重相等时，加权平均数等于算术平均数•权重可以是频数、重要性系数或其他合适的量典型应用题例题1某学生三次数学考试的成绩分别为85分、92分和78分，这三次考试的权重分别为

0.

2、

0.3和

0.5，求该学生的加权平均成绩解加权平均成绩=$\frac{

0.2\times85+

0.3\times92+

0.5\times78}{

0.2+

0.3+

0.5}=\frac{17+

27.6+39}{1}=

83.6$所以，该学生的加权平均成绩为

83.6分例题2某商店销售的A、B、C三种型号的电脑，每台售价分别为5000元、6000元和8000元，一个月内分别售出15台、25台和10台，求这些电脑的平均售价解平均售价=$\frac{15\times5000+25\times6000+10\times8000}{15+25+10}=\frac{75000+150000+80000}{50}=\frac{305000}{50}=6100$练习题解析所以，这些电脑的平均售价为6100元练习1某班级期末考试的总评成绩由平时成绩（占30%）和期末考试成绩（占70%）组成小明的平时成绩为92分，期末考试成绩为85分，求小明的总评成绩解析总评成绩=92×30%+85×70%=

27.6+

59.5=

87.1分练习2某次统计调查中，将某地区居民的月收入分为五个等级，统计结果如下月收入（元）人数3000以下1503000-50003205000-80002808000-1200018012000以上70方差的概念与计算方差的意义方差是描述数据离散程度的重要统计量，它衡量数据值偏离平均值的程度方差越大，表示数据分散程度越大；方差越小，表示数据越集中方差的定义一组数据与其平均数的离差平方和除以数据个数计算公式为其中，$\bar{x}$是数据的平均数，$n$是数据的个数标准差是方差的算术平方根，表示为标准差的优点是与原始数据具有相同的单位，更容易解释用计算器求方差的方法使用计算器计算方差的步骤

1.输入所有数据

2.计算平均值

3.计算每个数据与平均值的离差

4.计算离差的平方

5.计算离差平方和

6.将离差平方和除以数据个数，得到方差

7.对方差开平方，得到标准差许多科学计算器和电子表格软件（如Excel）都有内置的统计函数，可以直接计算方差和标准差例题演示例题计算下列数据的方差和标准差4,7,9,12,18解首先计算平均值$\bar{x}=\frac{4+7+9+12+18}{5}=\frac{50}{5}=10$计算每个数据与平均值的离差及其平方$x_i$$x_i-\bar{x}$$x_i-\bar{x}^2$44-10=-63677-10=-3999-10=-11数据的图象表示条形图折线图扇形图条形图用矩形条表示数据，适用于显示不同类别之间的比较折线图用线段连接数据点，适用于显示数据随时间变化的趋势扇形图（饼图）将数据表示为圆的扇形部分，适用于显示部分与整体的关系特点特点特点•直观显示各类别的数量或比例•清晰展示数据的变化趋势•直观显示各部分占整体的比例•适合比较不同类别的数据•适合显示连续时间序列数据•适合表示百分比数据•可以水平或垂直排列•易于识别上升、下降和波动模式•有助于理解部分与整体的关系•适用于名义尺度或顺序尺度的数据•可以在同一图表中比较多组数据•适用于类别较少（通常不超过7个）的数据应用场景人口统计、产品销售量比较、不同年份的数据对比等应用场景温度变化、股票价格走势、产品销量随时间的变化等应用场景预算分配、市场份额、人口构成等选择合适图表的原则数据类型考虑表达目的考虑受众与场合考虑分类数据通常使用条形图或扇形图比较不同类别条形图专业观众可以使用复杂、信息密集的图表时间序列数据通常使用折线图显示时间趋势折线图普通观众应使用简单、直观的图表分布数据通常使用直方图或箱线图展示比例关系扇形图演示文稿使用色彩鲜明、视觉吸引力强的图表相关性数据通常使用散点图显示频率分布直方图报告文档使用清晰、易于黑白打印的图表强调某一特定值突出显示的条形图或折线图例题讲解例题某班级40名学生的体育测试成绩（满分100分）统计如下分数段人数60-70571-801281-901891-1005请选择合适的图表类型表示这组数据，并说明理由解析对于这组数据，可以选择条形图将分数段放在横轴，人数放在纵轴，使用条形直观地表示各分数段的人数分布这种图表形式简单明了，适合比较不同分数段的人数差异扇形图将每个分数段表示为占总人数比例的扇形这种图表可以直观地显示各分数段的占比情况，但不太适合精确比较数值大小考虑到要表示分数分布情况，并比较不同分数段的人数，条形图是最合适的选择条形图可以清晰地显示人数的具体数值，便于直观比较各分数段的差异数据分析与决策数据背后的信息解读简单决策问题分析数据分析不仅仅是对数据进行简单的统计，更重要的是从数据中提取有价值的信息，并基于这些信息进行决策数据分析的基本步骤包括基于数据的决策通常遵循以下原则提出问题明确分析目的和需要解决的问题客观性原则基于事实和数据，而非个人偏好收集数据获取相关的、可靠的数据全面性原则考虑多方面的数据和影响因素整理数据将原始数据整理成便于分析的形式适当性原则选择适合问题特点的分析方法分析数据运用适当的统计方法进行分析经济性原则考虑决策的成本和收益解释结果对分析结果进行合理的解释风险意识评估决策的潜在风险和不确定性形成结论基于解释得出明确的结论指导决策利用结论指导实际决策在解读数据时，需要注意以下几点•区分相关性和因果关系•考虑数据的代表性和可靠性•注意数据的时效性•警惕误导性的数据表示方式•结合具体情境理解数据含义典型案例案例某校开展阅读推广活动，收集了学生阅读习惯的数据每周阅读时间（小时）学生人数平均成绩0-2120723-520078复习与总结第章函数及其图象17•函数的定义与表示第章分式16•一次函数的性质与图象•分式的基本概念和性质•反比例函数的性质与图象•分式的四则运算•函数图象的绘制方法•分式的化简与通分•函数的实际应用•分式方程的解法•分式应用题解题策略第章平行四边形18•平行四边形的定义与性质•平行四边形的判定条件•平行四边形的面积计算•平行四边形的综合应用第章数据的整理与初步处理20•数据的收集与整理方法•平均数、中位数、众数的计算第章矩形、菱形与正方形19•方差与标准差的概念•三种特殊四边形的定义与性质•数据的图象表示•三种特殊四边形的判定条件•数据分析与决策•三种特殊四边形的关系•特殊四边形的综合应用典型题型归纳12计算题证明题主要包括分式的四则运算、化简，函数值的计算，几何图形的面积计算，统计量（如平均数、方差）的计算等主要包括函数性质的证明，几何图形（如平行四边形、矩形、菱形、正方形）性质和判定条件的证明等解题要点熟练掌握基本计算法则，注意计算过程的规范性，关注结果的有效性和合理性解题要点明确已知条件和证明目标，选择合适的证明方法（如直接证明、间接证明、反证法等），注意证明过程的逻辑性和完整性34应用题探究题主要包括分式应用题，函数模型的实际应用，几何图形在实际问题中的应用，数据分析与决策等主要包括函数性质的探究，几何图形变换规律的探究，数据规律的探究等解题要点理解题意，明确所求，建立合适的数学模型，解决问题后验证结果的合理性，并结合实际情境解释结果解题要点积极思考，大胆假设，通过实例验证，寻找规律，形成结论，并尝试证明结论的正确性课堂互动与思考题设计开放性问题开放性问题没有固定的答案，能够激发学生的思考和创造力以下是一些开放性问题的例子分式思考如果一个分式的分子和分母都是多项式，当分子的次数大于分母的次数时，这个分式的值在$x$趋于无穷大时会如何变化？请尝试用图象或极限的方法解释函数探究除了一次函数和反比例函数外，你还知道哪些函数？它们的图象有什么特点？在实际生活中有哪些应用？几何创新在平行四边形的基础上，如果添加一个条件（如对角线相等、一个角是直角等），会得到什么特殊的四边形？请尝试探究不同条件与四边形类型的关系数据分析在实际生活中，什么情况下平均数不能很好地代表数据的集中趋势？请举例说明，并讨论更合适的统计量选择激发学生思考与讨论以下是一些促进课堂讨论的策略分组讨论将学生分成小组，共同解决一个复杂问题，然后分享解决方案辩论活动设置数学问题的正反两方，让学生进行辩论，如平均数比中位数更能代表数据的集中趋势案例分析提供真实世界的案例，让学生应用所学知识进行分析思维导图让学生以思维导图的形式总结和连接不同的数学概念角色扮演学生扮演不同的角色，如数学家、工程师等，从不同角度看待问题课后拓展课后拓展活动可以帮助学生深化理解，拓宽视野数学建模活动选择一个实际问题，如校园内最短路径规划、篮球投篮成功率分析等，运用本学期所学知识建立数学模型并解决问题数学史探究研究分式、函数或几何学的历史发展，了解重要数学家的贡献，撰写简短的研究报告数据调查项目设计一个小型调查，收集数据并进行统计分析，如调查同学们的学习习惯与成绩的关系，或者不同休息时间对学习效率的影响数学软件应用结束语希望同学们掌握核心知识通过本学期的学习，希望同学们已经掌握了以下核心知识和能力•理解分式的概念和性质，熟练进行分式运算和解分式方程•掌握函数的基本概念，能够分析和绘制一次函数和反比例函数的图象•深入理解平行四边形及其特殊形式（矩形、菱形、正方形）的性质和判定方法•能够收集、整理、分析数据，并用适当的方式表示和解释数据•培养了逻辑思维能力、空间想象能力和数据分析能力•形成了运用数学知识解决实际问题的意识和能力鼓励积极探索数学世界数学不仅是一门学科，更是一种思维方式和解决问题的工具希望同学们能够

1.保持对数学的好奇心和探索精神，主动发现数学与生活的联系期待下次精彩课堂

2.培养数学思维，包括逻辑思维、抽象思维、空间思维和统计思维

3.享受解决数学问题的乐趣，体验豁然开朗的成就感

4.将数学作为终身学习的一部分，不断提升自己的数学素养在下一学期中，我们将继续数学学习的旅程，探索更多有趣和重要的数学概念预计将学习记住，数学能力的提升是一个循序渐进的过程，需要持续的努力和实践相信通过不断学习和应用，每位同学都能在数学的道路上走得更远•二次函数及其图象•相似三角形•锐角三角函数•圆的基本性质•概率与统计的进阶内容这些知识将为高中数学学习奠定重要基础，也将在实际应用中发挥重要作用成长心态数学学习中遇到困难是正常的，关键是保持积极的学习态度，相信通过努力可以提高自己的数学能力每个人都有自己的学习节奏，找到适合自己的学习方法最重要感谢与祝福感谢同学们在本学期的积极参与和努力学习希望数学学习带给你们的不仅是知识，还有思考的方式和解决问题的能力祝愿每位同学在数学的道路上不断进步，取得优异的成绩！——任课教师。