微积分极限试题及答案

微积分极限试题及答案

一、单项选择题（共30题，每题1分，共30分）函数fx在x=x_0处有定义是当x\to x_0时fx存在极限的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件极限\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=（）A.0B.1C.3D.不存在若\lim_{x\to a}fx=A，\lim_{x\to a}gx不存在，则\lim_{x\to a}[fx+gx]（）A.一定存在B.一定不存在C.可能存在D.无法判断当x\to0时，与x等价的无穷小量是（）A.\sin xB.x^2C.e^x-1D.\ln1+x极限\lim_{n\to\infty}\left1+\frac{2}{n}\right^n=（）A.0B.1C.eD.e^2函数fx=\frac{x^2-1}{x-1}在x=1处无定义，则\lim_{x\to1}fx=（）A.0B.1C.2D.不存在当x\to0时，\tan x-\sin x是x^3的（）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶非等价无穷小极限\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2-2x+1}{2x^2+x-3}=（）A.0B.1C.\frac{3}{2}D.不存在若\lim_{x\to0}\frac{\sin kx}{x}=2，则k=（）第1页共11页A.0B.1C.2D.无法确定函数fx=\begin{cases}x,x\leq0\\x+1,x0\end{cases}在x=0处的左极限是（）A.0B.1C.2D.不存在极限\lim_{x\to0}\frac{1-\cos2x}{x^2}=（）A.0B.1C.2D.4若\lim_{x\to2}fx=5，\lim_{x\to2}gx=3，则\lim_{x\to2}[fxgx]=（）A.2B.8C.15D.无法计算当x\to0时，下列无穷小量中与x等价的是（）A.\\sqrt{1+x}-1\B.\\sin x\C.\x^2\D.\\ln1-x\极限\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=（）A.0B.\\frac{1}{2}\C.1D.2函数fx=\frac{1}{x}在x=0处的（）A.左极限存在，右极限不存在B.右极限存在，左极限不存在C.左右极限都存在D.左右极限都不存在极限\lim_{x\to0}\frac{\arctan x}{x}=（）A.0B.1C.\\frac{\pi}{2}\D.不存在若\lim_{x\to1}\frac{x^2+ax+b}{x-1}=2，则a,b的取值为（）A.\a=1,b=-2\B.\a=-1,b=2\C.\a=2,b=-3\D.\a=-2,b=3\第2页共11页当x\to0时，\frac{1}{x}是（）A.无穷小量B.无穷大量C.有界量D.无界量极限\lim_{x\to\infty}\left1-\frac{1}{x}\right^{x+2}=（）A.0B.1C.\e\D.\e^{-1}\函数fx=\frac{|x|}{x}在x=0处的（）A.左极限为-1，右极限为1B.左极限为1，右极限为-1C.左右极限都为1D.左右极限都为-1极限\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=（）A.0B.1C.\\infty\D.不存在若\lim_{x\to a}fx=A，\lim_{x\to a}gx=B，则下列结论错误的是（）A.\\lim_{x\to a}[fx+gx]=A+B\B.\\lim_{x\to a}[fxgx]=AB\C.\\lim_{x\to a}\frac{fx}{gx}=\frac{A}{B}B\neq0\D.\\lim_{x\to a}[fx-gx]=A-B\当x\to0时，\sqrt{1+x^2}-1是x^2的（）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶非等价无穷小极限\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}}{x}=（）A.0B.1C.2D.不存在函数fx=\frac{1}{1+e^{1/x}}在x=0处的（）A.左极限为0，右极限为1B.左极限为1，右极限为0C.左右极限都为0D.左右极限都为1第3页共11页极限\lim_{n\to\infty}\left1+\frac{1}{n^2}\right^n=（）A.0B.1C.\e\D.\e^{-1}\当x\to0时，\tan x是x的（）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶非等价无穷小极限\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}=（）A.0B.1C.\e\D.无法确定函数fx=\frac{x^2-4}{x-2}在x=2处的间断点类型为（）A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点极限\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x-1}\sin\frac{1}{x}=（）A.0B.1C.\\infty\D.不存在

二、多项选择题（共20题，每题2分，共40分，多选、少选、错选均不得分）下列极限存在的是（）A.\lim_{x\to\infty}\frac{x+2}{x}B.\lim_{x\to0}e^xC.\lim_{x\to0}\sin\frac{1}{x}D.\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}E.\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}当x\to0时，与x等价的无穷小量是（）A.\tan xB.\ln1+xC.\sqrt{1+x}-1D.x^2E.\sin x下列极限计算正确的是（）第4页共11页A.\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=2B.\lim_{x\to\infty}\left1+\frac{1}{x}\right^x=eC.\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}D.\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\frac{1}{2}E.\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x}=\infty关于无穷小量的性质，正确的是（）A.有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量B.有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量C.有界函数与无穷小量的乘积仍是无穷小量D.无穷小量的商仍是无穷小量E.无穷小量的倒数是无穷大量函数fx在x=a处连续的条件是（）A.\lim_{x\to a}fx存在B.fx在x=a处有定义C.\lim_{x\to a}fx=faD.fx在x=a处可导E.左右极限存在且相等下列函数在x=0处连续的是（）A.fx=\begin{cases}\frac{\sin x}{x},x\neq0\\1,x=0\end{cases}B.fx=\begin{cases}e^x,x0\\x+1,x\geq0\end{cases}C.fx=\begin{cases}第5页共11页\frac{x^2-1}{x-1},x\neq1\\2,x=1\end{cases}D.fx=\frac{1}{x}E.fx=|x|极限\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}的性质有（）A.极限值为1B.当x\to0时的重要极限公式C.等价无穷小替换的依据D.可用于计算\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}E.当x\to0时，\sin x\sim x关于洛必达法则，正确的是（）A.适用于\frac{0}{0}型或\frac{\infty}{\infty}型未定式B.每次使用前需验证是否为\frac{0}{0}或\frac{\infty}{\infty}型C.可多次连续使用，直到得到确定极限D.若极限不存在（非无穷大），则洛必达法则失效E.可用于计算\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x}当x\to0时，下列无穷大量的阶数比较正确的是（）A.x^2是比x低阶的无穷大量B.\frac{1}{x}是比x高阶的无穷大量C.x+x^2是比x高阶的无穷大量D.\sin x与x是同阶无穷大量E.e^x-1是比x高阶的无穷大量函数fx=\frac{x^2-1}{x-1}的间断点及类型为（）A.\x=1\是间断点B.\x=-1\是间断点C.\x=1\处为可去间断点D.\x=-1\处连续E.无间断点第6页共11页下列极限计算正确的是（）A.\\lim_{x\to0}\frac{\ln1+x}{x}=1\B.\\lim_{x\to\infty}\left1+\frac{2}{x}\right^x=e^2\C.\\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x}=1\D.\\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1\E.\\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=0\关于极限存在的条件，正确的是（）A.单调有界数列必有极限B.夹逼准则适用于数列和函数极限C.等价无穷小替换可用于计算乘积和商的极限D.洛必达法则是计算极限的万能方法E.函数极限存在当且仅当左右极限存在且相等当x\to0时，\sqrt{1+x}-1的等价无穷小是（）A.\\frac{x}{2}\B.\x\C.\\frac{x^2}{2}\D.\2x\E.\\ln1+x\下列函数在x=0处不可导的是（）A.\fx=|x|\B.\fx=\sqrt{x}\C.\fx=\frac{1}{x}\D.\fx=\sin x\E.\fx=e^x\使用等价无穷小替换时，需注意的问题是（）A.仅适用于乘积和商的形式，不适用于和差B.替换前后的量在极限过程中必须为无穷小量C.可用于\\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}\的计算D.当\x\to0\时，\\tan x\sim x\，\\sin x\sim x\，\\ln1+x\sim x\可互用第7页共11页E.替换后极限不存在，则原极限也不存在极限\lim_{x\to\infty}\frac{2x-1}{3x+x^2}的计算结果及分析正确的是（）A.分子分母同除以\x^2\得\\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}{3\cdot\frac{1}{x}+1}=\frac{0}{1}=0\B.分母是高阶无穷大量，分子是低阶无穷大量，极限不存在C.极限值为0D.极限值不存在E.分子分母最高次幂分别为1和2，分母次数高，极限为0函数fx=\frac{x^2-4}{x+2}在x=-2处（）A.无定义B.有定义C.极限存在D.极限值为-4E.是可去间断点下列极限中，属于\frac{0}{0}型的是（）A.\\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\B.\\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\C.\\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\D.\\lim_{x\to0}\frac{x^2-1}{x-1}\E.\\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}\关于函数的连续性，正确的是（）A.连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍连续B.初等函数在其定义域内连续C.\fx=|x|\在\x=0\处连续且可导D.若\fx\在\[a,b]\上连续，则\fx\在\[a,b]\上有界E.连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值第8页共11页极限\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1的应用有（）A.计算\\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1\B.证明\\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x}=1\C.计算\\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}=1\D.计算\\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}=1\E.计算\\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}\

三、判断题（共20题，每题1分，共20分，对的打“√”，错的打“×”）若\lim_{x\to a}fx和\lim_{x\to a}gx都不存在，则\lim_{x\to a}[fxgx]也不存在（）当x\to0时，x^2是比x高阶的无穷小量（）函数fx在x=a处有定义是fx在x=a处连续的必要条件（）极限\lim_{x\to\infty}\left1+\frac{1}{x}\right^x=e是重要极限公式（）若\lim_{x\to a}fx=A，则fx=A+\alphax，其中\alphax\to0（x\to a）（）函数fx=\frac{1}{x}在x=0处是无穷大量，也是无界量（）等价无穷小替换可用于计算\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sinx}{x^3}的值（）洛必达法则适用于所有类型的未定式极限（）函数fx=\frac{x^2-4}{x-2}在x=2处的极限值为4（）第9页共11页当x\to0时，\ln1+x\sim x（）若fx在x=a处连续，则fx在x=a处一定可导（）极限\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x}=\lim_{x\to0}x=0，使用了洛必达法则（）函数fx=\begin{cases}x,x\neq0\\1,x=\end{cases}\在\x=0\处连续（）

14.\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0，因为\sinx有界，\frac{1}{x}\to0（）当x\to0时，x^2是比\sin x高阶的无穷小量（）函数fx=\frac{1}{1+e^{1/x}}在x=0处的左极限为0，右极限为1（）极限\lim_{x\to\infty}\frac{2x^3+1}{x^2-1}=\infty，因为分子次数高于分母（）等价无穷小替换时，可将\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}替换为\lim_{x\to0}\frac{x}{x}=1（）若fx在[a,b]上连续，且fafb0，则fx在a,b内至少有一个零点（）函数fx=|x|处处连续且处处可导？（）

四、简答题（共2题，每题5分，共10分）计算极限\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}用极限存在准则证明\lim_{n\to\infty}\left\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right=1第10页共11页参考答案

一、单项选择题1-5:D CB DD6-10:C D C CA11-15:C CD B A16-20:B ADD A21-25:A CDCA26-30:B CBAA

二、多项选择题1:ABDE2:ABCE3:ABC4:ABC5:ABC6:ACE7:ABCDE8:ABCD9:ADE10:AC11:ABCD12:ABCE13:AE第11页共11页。