数论期末试题及答案

数论期末试题及答案

一、单项选择题（共30题，每题1分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出整数a与b的最大公约数记为\gcda,b，则\gcd12,18=\quadA.2B.3C.6D.9下列关于素数的说法正确的是（）A.所有素数都是奇数B.素数只有1和自身两个正因数C.最小的素数是1D.素数都是大于2的整数同余式3x\equiv6\pmod{9}的解的个数为（）A.0B.1C.2D.3欧拉函数\phi12的值为（）A.4B.6C.8D.10下列数中是完全平方数的是（）A.12B.16C.18D.20整数a被5除余3，则a可表示为（）A.5k+3B.5k-3C.5k+2D.5k-2素数定理表明，当x充分大时，小于等于x的素数个数\pix近似于（）A.x B.\ln xC.\frac{x}{\ln x}D.x\ln x若p是素数，a是整数且p\nmid a，则a^{p-1}\equiv1\pmod{p}，这是（）A.费马小定理B.欧拉定理C.中国剩余定理D.算术基本定理下列数中与15互素的是（）第1页共9页A.6B.8C.9D.10\gcd24,36,48=\quadA.6B.8C.12D.16同余式2x+3y\equiv1\pmod{5}的解的情况是（）A.无解B.有唯一解C.有无穷多解D.无法判断100以内的素数共有（）个A.25B.26C.27D.28若a|b且b|a，则a与b的关系是（）A.a=b B.a=-b C.|a|=|b|D.无法确定下列数中是无理数的是（）A.\sqrt{4}B.\sqrt{2}C.\frac{1}{3}D.

0.5模m的完全剩余系包含的数的个数是（）A.1B.m C.m-1D.m+1若a\equiv b\pmod{m}，则下列成立的是（）A.a-b能被m整除B.a+b能被m整除C.a|b D.b|a最小的完全数（除自身外所有正因数之和等于自身的数）是（）A.4B.6C.8D.12下列关于同余的性质，错误的是（）A.若a\equiv b\pmod{m}，则a+c\equiv b+c\pmod{m}B.若a\equiv b\pmod{m}，则ac\equiv bc\pmod{m}C.若ac\equiv bc\pmod{m}，则a\equiv b\pmod{m}D.若a\equiv b\pmod{m}且b\equiv c\pmod{m}，则a\equiv c\pmod{m}100的标准分解式为（）第2页共9页A.2^2\times5^2B.2^3\times5^2C.2^2\times5^3D.2^3\times5^3若n是正整数，则\sum_{d|n}\phid=\quadA.n B.n+1C.n-1D.2n同余方程x^2\equiv2\pmod{7}的解的个数是（）A.0B.1C.2D.3下列数中是素数的是（）A.15B.21C.23D.27若a是整数，d是正整数，则a被d除的商和余数分别为q和r，则0\leq r\quadA.d-1B.d C.d+1D.2d中国剩余定理的核心条件是（）A.模两两互素B.模相等C.模为素数D.解唯一下列数中与12互素的是（）A.8B.9C.10D.11若p是素数，a是正整数，则p|a或p|a^k（k\geq1），这是（）A.素数的基本性质B.整除的性质C.同余的性质D.最大公约数的性质100的欧拉函数值\phi100=\quadA.40B.48C.50D.60同余式3x\equiv4\pmod{7}的解是（）A.x\equiv1\pmod{7}B.x\equiv2\pmod{7}C.x\equiv3\pmod{7}D.x\equiv4\pmod{7}下列数中是完全立方数的是（）第3页共9页A.8B.16C.25D.36模5的简化剩余系是（）A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{1,3,5}D.{2,4}

二、多项选择题（共20题，每题2分，共40分）在每小题列出的备选项中至少有两个是符合题目要求的，请将其选出，错选、多选或少选均不得分下列关于整除的说法正确的有（）A.若a|b且b|c，则a|cB.若a|b且a|c，则a|b+cC.若a|b且c|d，则ac|bdD.若a|b且b\neq0，则|a|\leq|b|下列数中是合数的有（）A.1B.4C.7D.12同余的基本性质包括（）A.自反性B.对称性C.传递性D.可加性关于素数的说法正确的有（）A.素数有无穷多个B.素数只有两个正因数C.2是唯一的偶素数D.素数都是奇数欧拉函数\phin的性质有（）A.若p是素数，则\phip=p-1B.若n=ab且\gcda,b=1，则\phin=\phia\phibC.若p是素数，k\geq1，则\phip^k=p^k-p^{k-1}D.\phin是积性函数下列同余方程可能有解的有（）第4页共9页A.2x\equiv4\pmod{6}B.3x\equiv6\pmod{9}C.4x\equiv2\pmod{6}D.5x\equiv3\pmod{7}中国剩余定理的应用场景包括（）A.解同余方程组B.构造满足特定条件的数C.证明素数无穷多D.计算最大公约数完全平方数的性质有（）A.末位数字只能是0,1,4,5,6,9B.被4除余0或1C.被3除余0或1D.被5除余0,1,4下列数中与105互素的有（）A.2B.3C.4D.6关于最大公约数的说法正确的有（）A.\gcda,b=\gcdb,a\mod bB.\gcda,b,c=\gcd\gcda,b,cC.若d|a且d|b，则d|\gcda,bD.\gcda,b=1表示a与b互素模m的完全剩余系的特点有（）A.包含m个整数B.两两模m不同余C.任意两个数的差不是m的倍数D.可由0,1,2,...,m-1构成下列数中是无理数的有（）A.\sqrt{3}B.\frac{1}{2}C.\pi D.\sqrt{16}素数定理的意义在于（）A.描述素数的分布规律B.给出素数个数的近似估计C.证明素数无穷多D.解决数论中的所有问题第5页共9页同余方程x^2\equiv a\pmod{p}（p为奇素数）有解的条件是（）A.a=0B.a是模p的二次剩余C.a是模p的二次非剩余D.由勒让德符号\left\frac{a}{p}\right=1下列数中是完全数的有（）A.6B.28C.496D.100关于数论函数的说法正确的有（）A.欧拉函数是积性函数B.恒等函数是积性函数C.除数函数是积性函数D.高斯函数是积性函数100的正因数有（）个A.9B.10C.11D.12下列同余式可能无解的有（）A.2x\equiv1\pmod{4}B.3x\equiv2\pmod{6}C.4x\equiv2\pmod{8}D.5x\equiv3\pmod{10}下列数中被3除余1的有（）A.4B.7C.10D.13数论在密码学中的应用包括（）A.RSA加密算法B.哈希函数C.公钥密码系统D.对称加密算法

三、判断题（共20题，每题1分，共20分）判断下列各题的对错，对的打“√”，错的打“×”1是素数（）若a|b且b|a，则a=b（）同余式2x\equiv4\pmod{6}有唯一解（）第6页共9页欧拉函数\phi1=1（）素数都是奇数（）中国剩余定理要求模两两互素（）完全平方数被4除余0或1（）\gcd0,0无意义（）模m的简化剩余系包含m个数（）100的标准分解式是2^2\times5^2（）同余方程x^2\equiv2\pmod{7}有解（）素数定理表明素数个数\pix近似于x/\ln x（）若a\equiv b\pmod{m}，则a^k\equiv b^k\pmod{m}对任意正整数k成立（）12和18的最小公倍数是36（）无理数都不能表示为分数形式（）若p是素数，a是整数且p\nmid a，则a^{p-1}\equiv1\pmod{p}（）100的正因数有10个（）同余方程3x\equiv6\pmod{9}的解是x=2+3k（）6是完全数（）模5的完全剩余系是{0,1,2,3,4}（）

四、简答题（共2题，每题5分，共10分）简述素数的基本性质用中国剩余定理求解同余方程组\begin{cases}x\equiv1\pmod{3}\x\equiv2\pmod{4}\第7页共9页x\equiv3\pmod{5}\end{cases}参考答案

一、单项选择题（共30题，每题1分，共30分）

1.C

2.B

3.C

4.A

5.B

6.A

7.C

8.A

9.B

10.C

11.C

12.A

13.C

14.B

15.B

16.A

17.B

18.C

19.A

20.A

21.A

22.C

23.B

24.A

25.D

26.A

27.A

28.C

29.A

30.B

二、多项选择题（共20题，每题2分，共40分）

1.ABCD

2.BD

3.ABCD

4.ABC

5.ABCD

6.ABD

7.AB

8.ABC

9.AC

10.ABCD

11.ABCD

12.AC

13.AB

14.ABD

15.ABC

16.ABC

17.CD

18.ABD

19.ABCD

20.AC

三、判断题（共20题，每题1分，共20分）

1.×

2.×

3.×

4.√

5.×

6.√

7.√

8.√

9.×

10.√

11.×

12.√

13.√

14.√

15.√

16.√

17.×

18.√

19.√

20.√

四、简答题（共2题，每题5分，共10分）素数的基本性质

（1）素数是大于1的整数，且除了1和自身外无其他正因数；

（2）2是唯一的偶素数，其余素数均为奇数；

（3）素数有无穷多个；

（4）若p是素数且p|ab，则p|a或p|b；

（5）素数定理表明，当x充分大时，小于等于x的素数个数\pix近似于x/\ln x中国剩余定理解同余方程组第8页共9页先解x\equiv1\pmod{3}和x\equiv2\pmod{4}，设x=4k+2，代入得4k+2\equiv1\pmod{3}，即k\equiv2\pmod{3}，故k=3m+2，x=12m+10再解12m+10\equiv3\pmod{5}，得12m\equiv-7\equiv3\pmod{5}，即2m\equiv3\pmod{5}，m\equiv4\pmod{5}，m=5n+4，x=125n+4+10=60n+58故解为x\equiv58\pmod{60}文档说明本试卷覆盖数论基础知识点，包括整除、素数、同余、欧拉函数、中国剩余定理等核心内容，题型分布合理，答案准确简洁，适合学生期末复习使用第9页共9页。