考研数学送分试题及答案

考研数学送分试题及答案

一、单项选择题（共30题，每题1分，共30分）（注题目聚焦考研数学基础高频考点，覆盖极限、导数、积分、线性代数、概率论核心内容，均为送分题，答案直接标注，无需解析）

（一）极限与连续（5题）下列极限中，收敛的是（）A.$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x}$B.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$C.$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$D.$\lim_{x\to\infty}1+\frac{1}{x}^x$答案D函数$fx=\begin{cases}x^2,x\leq0\x+1,x0\end{cases}$在$x=0$处（）A.连续且可导B.连续但不可导C.不连续但可导D.不连续且不可导答案B若$\lim_{x\to0}\frac{\sinax}{x}=2$，则常数$a$的值为（）A.0B.1C.2D.3第1页共15页答案C函数$fx=x^3-3x$在区间$[-2,2]$上的最大值为（）A.2B.4C.6D.8答案B若$fx$在$x=a$处连续，则下列说法正确的是（）A.$fx$在$x=a$处一定可导B.$\lim_{x\to a}fx=fa$C.$fx$在$x=a$处一定有定义D.$fx$在$x=a$处一定有极限答案B

（二）导数与微分（5题）设$fx=x^2e^x$，则$fx=$（）A.$2x e^x$B.$x^2e^x$C.$2x+x^2e^x$D.$2x-x^2e^x$答案C曲线$y=x^2-2x+3$在点$1,2$处的切线方程为（）A.$y=0$B.$y=1$C.$y=2x-0$D.$y=2x-2$第2页共15页答案D函数$fx=\ln1+x$的n阶导数$f^{n}x=$（）A.$\frac{-1^{n-1}n-1!}{1+x^n}$B.$\frac{n-1!}{1+x^n}$C.$\frac{-1^nn-1!}{1+x^n}$D.$\frac{n!}{1+x^n}$答案A若函数$fx$的导数$fx=2x$，则$fx$的一个原函数为（）A.$x^2$B.$x^2+1$C.$2x+1$D.$x^2+C$（$C$为常数）答案B设隐函数$y=yx$由方程$x^2+y^2=1$确定，则$\frac{dy}{dx}=$（）A.$\frac{x}{y}$B.$-\frac{x}{y}$C.$\frac{y}{x}$D.$-\frac{y}{x}$答案B

（三）积分（5题）$\int x^2dx=$（）A.$\frac{1}{3}x^3+C$B.$2x+C$C.$x^3+C$第3页共15页D.$\frac{1}{2}x^2+C$答案A$\int_0^1x dx=$（）A.$\frac{1}{2}$B.1C.2D.0答案A若$\int fx dx=x^2+C$，则$fx=$（）A.$2x$B.$x^2$C.$2x+C$D.$x^2+C$答案A定积分$\int_{-1}^1x^3dx=$（）A.0B.1C.2D.3答案A设$fx$为连续函数，则$\frac{d}{dx}\int_0^x ftdt=$（）A.$fx$B.$fx-f0$C.$fx+f0$D.0第4页共15页答案A

（四）线性代数基础（5题）设矩阵$A=\begin{pmatrix}12\34\end{pmatrix}$，则$A^T=$（）A.$\begin{pmatrix}13\24\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}12\34\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}43\21\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}34\12\end{pmatrix}$答案A行列式$\begin{vmatrix}10\01\end{vmatrix}=$（）A.0B.1C.-1D.2答案B$n$阶单位矩阵$E$的特征值为（）A.1（$n$重）B.0（$n$重）C.1和0D.无法确定答案A若向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，则下列向量组线性相关的是（）A.$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2$B.$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$第5页共15页C.$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_1+\alpha_3$D.$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$答案A齐次线性方程组$\begin{cases}x_1+x_2=0\x_2+x_3=0\end{cases}$的基础解系为（）A.$\begin{pmatrix}1\-1\1\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}1\-1\0\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}0\0\1\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1\0\-1\end{pmatrix}$答案A

（五）概率论初步（5题）设事件$A$与$B$互斥，$PA=

0.3$，$PB=

0.5$，则$PA\cup B=$（）A.

0.2B.

0.3C.

0.5D.

0.8答案D设随机变量$X\sim N0,1$，则$PX\leq0=$（）A.0B.

0.25C.

0.5D.1答案C第6页共15页设随机变量$X$的分布律为$PX=k=\frac{1}{5}$（$k=1,\cdots,5$），则$EX=$（）A.1B.2C.3D.4答案C设随机变量$X$与$Y$相互独立，$DX=1$，$DY=2$，则$D2X-Y=$（）A.0B.4C.2D.6答案D设总体$X\sim N\mu,\sigma^2$，$\sigma^2$已知，样本均值为$\bar{X}$，则$\mu$的置信度为$95%$的置信区间为（）A.$\bar{X}\pm

1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$B.$\bar{X}\pm

1.645\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$C.$\bar{X}\pm t_{\alpha/2}n-1\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$D.$\bar{X}\pm t_{\alpha/2}n\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$答案A

（六）综合基础题（10题）函数$fx=x-\sin x$在$[0,\pi]$上的最小值为（）A.0B.$\pi$第7页共15页C.$-\pi$D.1答案A设$fx=\int_0^x t^2-1dt$，则$fx$的极小值点为（）A.$x=-1$B.$x=0$C.$x=1$D.$x=2$答案C矩阵$A=\begin{pmatrix}10\00\end{pmatrix}$的秩为（）A.0B.1C.2D.3答案B设$A$为$n$阶矩阵，且$|A|\neq0$，则$A^{-1}=$（）A.$\frac{1}{|A|}A^*$B.$|A|A^*$C.$\frac{1}{|A|}A^T$D.$|A|A^T$答案A设$A$为$m\times n$矩阵，$rA=r$，则齐次线性方程组$Ax=0$的基础解系所含向量个数为（）A.$m-r$第8页共15页B.$n-r$C.$r-m$D.$r-n$答案B

二、多项选择题（共20题，每题2分，共40分）（注多选全部正确，少选、错选均不得分，答案直接标注，无需解析）

（一）极限与连续（4题）下列说法正确的有（）A.无穷小量是极限为0的变量B.无穷大量是绝对值无限增大的变量C.有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量D.两个无穷小量的商一定是无穷小量答案ABC函数$fx$在$x=a$处可导的充要条件有（）A.$\lim_{h\to0}\frac{fa+h-fa}{h}$存在B.$\lim_{h\to0^+}\frac{fa+h-fa}{h}=\lim_{h\to\infty^-}\frac{fa+h-fa}{h}$C.$fx$在$x=a$处连续D.$fx$在$x=a$处的左导数和右导数都存在且相等答案ABD下列极限计算正确的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1$B.$\lim_{x\to\infty}1+\frac{2}{x}^x=e^2$C.$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$第9页共15页D.$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=0$答案ABC若函数$fx$在$[a,b]$上连续，则下列结论正确的有（）A.$\int_a^b fxdx$存在B.$fx$在$[a,b]$上有界C.$fx$在$[a,b]$上一定有最大值和最小值D.$fx$在$[a,b]$上一定有原函数答案ABCD

（二）导数与微分（4题）下列函数求导正确的有（）A.$\sin x=\cos x$B.$\ln x=\frac{1}{x}$C.$e^x=e^x$D.$x^n=n x^{n-1}$答案ABCD隐函数求导的方法有（）A.方程两边对$x$求导B.设$y=yx$，利用复合函数求导法则C.利用一阶微分形式不变性D.直接解出$y$再求导答案ABCD函数$fx$的极值点可能为（）A.导数为0的点B.导数不存在的点C.区间端点第10页共15页D.函数图像的“尖点”答案ABD若$fx$在$[a,b]$上可导，则（）A.若$fx0$，则$fx$在$[a,b]$上单调递增B.若$fx0$，则$fx$在$[a,b]$上单调递减C.若$fx=0$恒成立，则$fx$为常数函数D.若$fx$在$[a,b]$上单调递增，则$fx\geq0$答案ABCD

（三）积分（4题）不定积分的性质有（）A.$\int fxdx=fx$B.$\int fxdx=fx+C$C.$\int[fx+gx]dx=\int fxdx+\int gxdx$D.$\int kfxdx=k\int fxdx$（$k$为常数）答案ABCD定积分的计算方法有（）A.Newton-Leibniz公式B.换元积分法C.分部积分法D.几何意义（面积代数和）答案ABCD下列定积分计算正确的有（）A.$\int_{-1}^1x^3dx=0$B.$\int_0^\pi\sin xdx=2$C.$\int_1^e\frac{1}{x}dx=1$第11页共15页D.$\int_0^1\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}$答案ABCD设$fx$在$[a,b]$上连续，则（）A.$\int_a^b fxdx=\int_a^c fxdx+\int_c^b fxdx$（$acb$）B.$\int_a^b fxdx=-\int_b^a fxdx$C.$\int_a^a fxdx=0$D.$\int_a^b[fx+gx]dx=\int_a^b fxdx+\int_a^bgx dx$答案ABCD

（四）线性代数基础（4题）矩阵运算的正确性质有（）A.$A+B=B+A$B.$ABC=ABC$C.$AB+C=AB+AC$D.$A+B^T=A^T+B^T$答案ABCD矩阵的秩的性质有（）A.$rA=rA^T$B.$rA+B\leq rA+rB$C.$rAB\leq\min{rA,rB}$D.若$A$可逆，则$rAB=rB$答案ABCD线性方程组$Ax=b$有解的条件是（）A.系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩第12页共15页B.$b$可由$A$的列向量组线性表示C.$rA=rA|b$D.$b$是$A$的列向量组的线性组合答案ABCD向量组的线性相关性的正确结论有（）A.单个非零向量线性无关B.两个向量线性相关当且仅当它们成比例C.含零向量的向量组线性相关D.向量组线性相关则其部分组也线性相关答案ABC注D错误，部分组线性无关则原向量组线性无关，反之不成立

（五）概率论初步（4题）概率的基本性质有（）A.$0\leq PA\leq1$B.$P\Omega=1$，$P\varnothing=\varnothing$C.若$A,B$互斥，则$PA\cup B=PA+PB$D.若$A\subset B$，则$PA\leq PB$答案ACD注B中$P\varnothing=0$随机变量的分布函数的性质有（）A.单调不减B.$F-\infty=0$C.$F+\infty=1$D.右连续答案ABCD数学期望的性质有（）第13页共15页A.$EC=C$（$C$为常数）B.$EaX+b=aEX+b$C.$EX+Y=EX+EY$D.若$X,Y$独立，则$EXY=EXEY$答案ABCD方差的性质有（）A.$DC=0$（$C$为常数）B.$DaX+b=a^2DX$C.若$X,Y$独立，则$DX+Y=DX+DY$D.$DX=EX^2-[EX]^2$答案ABCD

三、判断题（共20题，每题1分，共20分）（注正确打“√”，错误打“×”，无需解析）若$\lim_{x\to x_0}fx$存在，则$fx$在$x_0$处一定连续（）答案×函数$fx$在$x=x_0$处可导是$fx$在$x_0$处连续的必要条件（）答案×若$fx$在$[a,b]$上连续且$\int_a^b fxdx0$，则$fx0$在$[a,b]$上恒成立（×）矩阵乘法满足交换律，即$AB=BA$（）答案×$n$阶矩阵$A$可逆的充要条件是$|A|\neq0$（）答案√第14页共15页齐次线性方程组$Ax=0$一定有解（）答案√若事件$A$与$B$独立，则$PAB=PAPB$（）答案√随机变量的数学期望一定存在（）答案第15页共15页。