0022高数试题及答案

0022高数试题及答案

一、单项选择题（共30题，每题1分，共30分）（在每题列出的四个选项中，只有一个最符合题目要求，请将正确选项前的字母填在括号内）极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=$（）A.0B.1C.3D.不存在函数$fx=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$处无定义，则该函数在$x=1$处的间断点类型为（）A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点函数$y=x^3-3x$的单调递减区间为（）A.$-\infty,-1$B.$-1,1$C.$1,+\infty$D.$-\infty,+\infty$导数$fx=2x+1$，则原函数$fx$可能为（）A.$x^2+x$B.$x^2+x+1$C.$2x+1$D.$x^2-x$定积分$\int_0^1x^2dx=$（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.1D.2函数$z=x^2+y^2$在点$1,1$处的全微分为（）A.$dz=2dx+2dy$B.$dz=2dx-2dy$C.$dz=-2dx+2dy$D.$dz=-2dx-2dy$极限$\lim\limits_{x\to\infty}\left1+\frac{2}{x}\right^x=$（）A.1B.$e$C.$e^2$D.$e^{-2}$函数$fx=x^3-3x^2+2$的极大值点为（）A.$x=0$B.$x=1$C.$x=2$D.$x=3$微分方程$y=2x$的通解为（）第1页共11页A.$y=x^2+C$B.$y=2x+C$C.$y=x^2$D.$y=2x$向量$\vec{a}=1,2,3$与$\vec{b}=2,1,0$的数量积$\vec{a}\cdot\vec{b}=$（）A.4B.5C.6D.7极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=$（）A.0B.1C.2D.不存在函数$fx=\ln1+x$的麦克劳林展开式为（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}-1^{n-1}\frac{x^n}{n}$B.$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$C.$\sum_{n=0}^{\infty}-1^n\frac{x^n}{n!}$D.$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$定积分$\int_0^{\pi}\sin x dx=$（）A.0B.1C.2D.$\pi$函数$fx=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$的定义域为（）A.$-1,1$B.$[-1,1]$C.$-\infty,-1\cup1,+\infty$D.$-\infty,+\infty$导数$fx=\sin x^2$的导数$fx=$（）A.$2x\cos x^2$B.$2x\sin x^2$C.$\cos x^2$D.$\sinx^2$二重积分$\iint_D xydxdy$，其中$D$为$0\leq x\leq1,0\leq y\leq1$，则积分值为（）A.$\frac{1}{2}$B.1C.$\frac{1}{4}$D.$\frac{1}{8}$极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=$（）A.0B.$\frac{1}{2}$C.1D.2函数$y=x^2e^x$的导数$y=$（）第2页共11页A.$2x e^x$B.$x^2e^x$C.$2x+x^2e^x$D.$2x-x^2e^x$微分方程$y-3y+2y=0$的特征方程为（）A.$r^2-3r+2=0$B.$r^2+3r+2=0$C.$r^2-3r-2=0$D.$r^2+3r-2=0$向量$\vec{a}=1,0,0$与$\vec{b}=0,1,0$的向量积$\vec{a}\times\vec{b}=$（）A.$0,0,1$B.$0,0,-1$C.$1,1,0$D.$1,-1,0$函数$fx=\frac{x}{1+x^2}$在区间$[0,2]$上的最大值为（）A.0B.$\frac{1}{2}$C.1D.2定积分$\int_1^e\frac{1}{x}dx=$（）A.$e$B.1C.$e-1$D.$\frac{1}{e}$极限$\lim\limits_{n\to\infty}\left1+\frac{1}{n}\right^n=$（）A.0B.1C.$e$D.$e^{-1}$函数$fx=x^3-3x+1$的导数$fx=$（）A.$3x^2-3$B.$3x^2+3$C.$x^2-3$D.$x^2+3$微分方程$y=2xy$满足初始条件$y0=1$的特解为（）A.$y=e^{x^2}$B.$y=e^{-x^2}$C.$y=e^{x^2}+1$D.$y=e^{-x^2}+1$三重积分$\iiint_{\Omega}1dxdydz$，其中$\Omega$为$0\leqx\leq1,0\leq y\leq1,0\leq z\leq1$，积分值为（）A.0B.1C.2D.3第3页共11页函数$fx=\sqrt{x}$在$x=4$处的线性近似（切线近似）为（）A.$y=2+\frac{1}{4}x-4$B.$y=2+\frac{1}{2}x-4$C.$y=4+\frac{1}{4}x-4$D.$y=4+\frac{1}{2}x-4$极限$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x^2-1}=$（）A.0B.1C.2D.不存在函数$fx=\sin x$的周期为（）A.$\pi$B.$2\pi$C.$3\pi$D.$4\pi$定积分$\int_{-1}^1x^3dx=$（）A.-2B.-1C.0D.1

二、多项选择题（共20题，每题2分，共40分）（每题列出的选项中，至少有两个符合题目要求，请将正确选项前的字母填在括号内，多选、少选、错选均不得分）下列函数中，在$x=0$处连续的有（）A.$fx=\frac{\sin x}{x}$（$x\neq0$），$f0=0$B.$fx=x^2+1$C.$fx=\frac{1}{x}$（$x\neq0$），$f0=0$D.$fx=|x|$下列极限存在的有（）A.$\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}$B.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2-1}{x^2+1}$第4页共11页C.$\lim\limits_{x\to0^+}e^{\frac{1}{x}}$D.$\lim\limits_{x\to0^-}e^{\frac{1}{x}}$函数$fx=x^3-3x^2+2$的导数$fx$可能为（）A.$3x^2-6x$B.$3x^2-6x+1$C.$3x^2-6x-1$D.$3x^2-6x+C$（$C$为常数）下列定积分计算正确的有（）A.$\int_0^1x dx=\frac{1}{2}$B.$\int_0^{\pi}\cos x dx=0$C.$\int_1^2\frac{1}{x}dx=\ln2$D.$\int_0^1e^x dx=e-1$关于多元函数的连续性与偏导数，下列说法正确的有（）A.偏导数存在不一定连续B.连续不一定偏导数存在C.偏导数存在且连续则函数可微D.函数可微则偏导数存在下列微分方程中，属于一阶微分方程的有（）A.$y=2x$B.$y+3y+2y=0$C.$y=x y$D.$y=y^2+1$向量运算中，下列等式成立的有（）A.$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$B.$\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$C.$\vec{a}+\vec{b}\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}$D.$\vec{a}\times\vec{b}\times\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}\times\vec{c}$函数$fx=x^2$在区间$[0,2]$上满足拉格朗日中值定理条件，下列说法正确的有（）第5页共11页A.存在$\xi\in0,2$，使得$f\xi=\frac{f2-f0}{2-0}$B.$\xi=1$C.$\xi=2$D.结论不成立下列级数收敛的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}-1^n\frac{1}{n}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}$关于函数的极值，下列说法正确的有（）A.极值点一定是导数为0的点B.导数为0的点不一定是极值点C.函数在极值点处的左右导数异号D.极大值一定大于极小值下列积分中，属于第二类换元积分法的有（）A.$\int x\cos x^2dx$（令$u=x^2$）B.$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$（令$x=\sin t$）C.$\int\frac{1}{x^2+1}dx$（令$x=\tan t$）D.$\int xe^xdx$（令$u=x,dv=e^xdx$）微分方程$y-5y+6y=0$的通解可能为（）A.$y=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}$B.$y=e^{2x}C_1+C_2x$C.$y=e^{3x}C_1+C_2x$D.$y=C_1e^{2x}+C_2e^{-3x}$下列关于偏导数的计算正确的有（）A.$z=x^2y+y^2$，$\frac{\partial z}{\partial x}=2xy$B.$z=\sinxy$，$\frac{\partial z}{\partial y}=x\cosxy$第6页共11页C.$z=e^{xy}$，$\frac{\partial z}{\partial x}=ye^{xy}$D.$z=\lnx^2+y^2$，$\frac{\partial z}{\partialx}=\frac{2x}{x^2+y^2}$三重积分$\iiint_{\Omega}xyz dxdydz$，其中$\Omega$为$0\leq x\leq1,0\leq y\leq1,0\leq z\leq1$，积分值为（）A.$\frac{1}{8}$B.$\frac{1}{4}$C.$\frac{1}{2}$D.1函数$fx=\frac{1}{1-x}$的幂级数展开式可能为（）A.$\sum_{n=0}^{\infty}x^n$B.$\sum_{n=0}^{\infty}-1^nx^n$C.$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$D.$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}$下列函数中，属于初等函数的有（）A.$fx=\sqrt{x}+\ln x$B.$fx=\sin x+\cos x$C.$fx=\begin{cases}x,x\geq0\-x,x0\end{cases}$D.$fx=e^x+x^2$关于导数的应用，下列说法正确的有（）A.导数为正函数单调递增B.导数为负函数单调递减C.二阶导数为正函数图像凹D.二阶导数为负函数图像凸下列积分中，积分区间为$[0,2\pi]$的有（）A.$\int_0^{2\pi}\sin xdx$B.$\int_0^{2\pi}\cos xdx$C.$\int_0^{2\pi}x\sin xdx$D.$\int_0^{2\pi}1dx$向量$\vec{a}=2,1,3$，$\vec{b}=1,-1,2$，下列计算正确的有（）第7页共11页A.$\vec{a}+\vec{b}=3,0,5$B.$\vec{a}-\vec{b}=1,2,1$C.$|\vec{a}|=\sqrt{14}$D.$\vec{a}\cdot\vec{b}=2-1+6=7$定积分$\int_{-2}^2x^3dx$的值为（）A.-2B.0C.2D.4

三、判断题（共20题，每题1分，共20分）（对的打“√”，错的打“×”）函数$fx=\frac{x^2-4}{x-2}$在$x=2$处无定义，该函数在$x=2$处不连续（）若$\lim\limits_{x\to a}fx=L$，则$fa$一定等于$L$（）函数$y=x^2$在$x=0$处取得极小值（）导数$fx_0=0$是函数$fx$在$x_0$处取得极值的必要条件（）定积分$\int_a^b fxdx$表示由曲线$y=fx$、直线$x=a$、$x=b$及$x$轴围成的图形面积（）若$fx$在$[a,b]$上连续，则$\int_a^b fxdx=Fb-Fa$，其中$Fx$是$fx$的一个原函数（）微分方程$y=2x+1$的通解为$y=x^2+x$（）偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$表示固定$y$时$z$对$x$的变化率（）向量$\vec{a}=1,0,0$与$\vec{b}=0,1,0$垂直（）函数$fx=\ln x$的导数为$fx=\frac{1}{x}$（）第8页共11页极限$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x+1}=\infty$（）函数$fx=\sin x$在$[0,2\pi]$上的最大值为1（）二重积分$\iint_D xdxdydz$中，若$D$关于$y$轴对称，则积分值为0（）微分方程$y+2y+y=0$的特征根为$r=-1$（二重根）（）函数$fx=x^3$的三阶导数为$fx=6$（）拉格朗日中值定理的条件是函数在闭区间连续，开区间可导（）幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$的收敛域为$-\infty,+\infty$（）函数$fx=\frac{1}{x}$在$[1,2]$上的平均值为$\frac{1}{2-1}\int_1^2\frac{1}{x}dx=\ln2$（）向量$\vec{a}\times\vec{b}$的模等于$|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$，其中$\theta$是$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角（）若$fx$是连续的奇函数，则$\int_{-a}^a fxdx=0$（）

四、简答题（共2题，每题5分，共10分）计算极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$计算定积分$\int_0^{\pi}x\sin xdx$参考答案

一、单项选择题（每题1分，共30分）C

2.A

3.B

4.B

5.A

6.A

7.C

8.A

9.A

10.BB

12.A

13.C

14.A

15.A

16.A

17.B

18.C

19.A

20.AB

22.C

23.C

24.A

25.A

26.B

27.A

28.B

29.B

30.C第9页共11页

二、多项选择题（每题2分，共40分）ABD

2.AB

3.AD

4.ABCD

5.ABCD

6.ACD

7.ABC

8.AB

9.ACD

10.BCBC

12.AC

13.ABCD

14.A

15.AB

16.ABD

17.ABCD

18.ABCD

19.ABD

20.B

三、判断题（每题1分，共20分）√

2.×

3.√

4.√

5.×

6.√

7.×

8.√

9.√

10.√×

12.×

13.×

14.√

15.×

16.√

17.√

18.√

19.√

20.√

四、简答题（每题5分，共10分）解原式为$\frac{0}{0}$型，应用洛必达法则$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x}{2}=\frac{1}{2}$（注也可用泰勒展开$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+ox^2$，代入得$\frac{\frac{x^2}{2}+ox^2}{x^2}\to\frac{1}{2}$）解应用分部积分法，令$u=x$，$dv=\sin xdx$，则$du=dx$，$v=-\cos x$$\int_0^{\pi}x\sin xdx=[-x\cos x]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}\cos xdx=-\pi\cos\pi+0+[\sin x]_0^{\pi}=\pi+0=\pi$第10页共11页文档说明本试题涵盖极限、导数、积分、微分方程、向量代数等高等数学核心知识点，题型全面，难度适中，答案准确，适合学生日常练习和备考参考第11页共11页。