导数同构试题及答案

导数同构试题及答案

一、导数同构核心概念与常见技巧导数同构是解决函数不等式、参数范围、最值问题的重要技巧，核心是通过构造具有相同结构的函数，利用函数单调性或极值性实现问题转化常见同构模型包括指数-对数同构如构造fx=e^x-x、gx=\ln x-x等基础模型；多项式同构通过因式分解、换元构造对称或相似结构；三角函数同构结合三角恒等变换构造同形式函数实际应用中需注意观察函数特征，灵活选择构造方向

二、单项选择题（共30题，每题1分）函数fx=e^x-x-1的最小值为（）A.0B.1C.-1D.2若x0，则e^x-1与x的大小关系为（）A.e^x-1xB.e^x-1xC.e^x-1=xD.不确定设fx=e^x-x-1，则fx在x=0处的导数为（）A.0B.1C.-1D.2构造同构函数时，以下哪组函数结构最相似（）A.e^x与\ln xB.e^x与x^2C.\ln x与xD.e^x与e^{-x}不等式e^x-1x的解集为（）A.0,+\inftyB.-\infty,0C.-\infty,0\cup0,+\inftyD.\mathbb{R}第1页共9页若x1，则\ln x与x-1的大小关系为（）A.\ln xx-1B.\ln xx-1C.\ln x=x-1D.不确定函数fx=e^x-2x-1的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3构造同构式e^x+x的等价形式为（）A.\lnx+1+xB.e^{x+1}-1C.e^x+x+1D.以上都不对若a0，则e^a-1与a的关系为（）A.e^a-1aB.e^a-1aC.e^a-1=aD.无法确定设fx=e^x-x，则fx的单调递增区间为（）A.-\infty,0B.0,+\inftyC.-\infty,+\inftyD.无单调递增区间不等式e^x-2x的解集为（）A.-\infty,\ln2B.\ln2,+\inftyC.-\infty,0\cup\ln2,+\inftyD.空集构造同构函数fx=e^x-x的目的是（）A.求导方便B.利用单调性比较大小C.求极值D.无意义若x0，则e^x-1与x+x^2的大小关系为（）A.e^x-1x+x^2B.e^x-1x+x^2C.需具体分析D.无法比较函数fx=e^x-x-2的导数为（）A.e^x-1B.e^x-2C.e^x-x-1D.e^x-1-2第2页共9页若x0，则e^x-1与x的差的最小值为（）A.0B.1C.-1D.2构造同构式e^x+x后，判断其单调性需求导，导数为（）A.e^x+1B.e^x-1C.e^x+xD.e^x-x不等式e^x-x-10的解集为（）A.0,+\inftyB.-\infty,0C.-\infty,0\cup0,+\inftyD.\mathbb{R}设fx=e^x-x，则fx在x=0处的切线方程为（）A.y=0B.y=1C.y=xD.y=-x构造同构函数时，以下哪项是关键（）A.函数形式相同B.定义域相同C.值域相同D.以上都是若x0，则e^x-1与x^2的大小关系为（）A.e^x-1x^2B.e^x-1x^2C.当x0时，x=0时相等，x0时e^x-1x^2D.无法确定函数fx=e^x-x的最小值为（）A.0B.1C.-1D.2不等式e^x-x-20的解集为（）A.-\infty,0B.0,2C.-\infty,0\cup2,+\inftyD.0,+\infty构造同构式e^x+x后，其最小值为（）A.0B.1C.-1D.2若x0，则e^x-1与x+x^3的大小关系为（）A.e^x-1x+x^3B.e^x-1x+x^3C.当x=1时相等，x1时e^x-1x+x^3D.无法比较第3页共9页函数fx=e^x-x-1的极值点为（）A.x=0B.x=1C.x=-1D.无极值点构造同构式e^x-x时，以下变形正确的是（）A.e^x-x=e^{x-1}-x-1B.e^x-x=e^{x+1}-x+1C.e^x-x=e^x-xD.以上都不对不等式e^x-2x1的解集为（）A.-\infty,0\cup1,+\inftyB.0,1C.-\infty,0D.1,+\infty设fx=e^x-x，则fx在区间[a,b]上的最大值为（）A.faB.fbC.需比较fa与fbD.无法确定构造同构函数时，若原函数为e^x+x，则其等价同构式为（）A.e^{x+1}-1B.e^x+x+1C.e^x-xD.以上都不对若x0，则e^x-1与x+\ln x的大小关系为（）A.e^x-1x+\ln xB.e^x-1x+\ln xC.当x=1时相等，x1时e^x-1x+\ln xD.无法确定

三、多项选择题（共20题，每题2分）以下属于导数同构常见模型的有（）A.e^x与\ln xB.x^2与2\ln xC.e^x+x与e^x-xD.\sin x与\cos x构造同构函数的作用包括（）第4页共9页A.简化函数单调性判断B.快速解决不等式证明C.求函数最值D.求导数零点以下不等式可通过同构法证明的有（）A.e^x-1\geq xB.\ln x\leq x-1C.e^x+x\geq1D.\sin x\geq x-x^3函数fx=e^x-x的性质有（）A.在-\infty,0单调递减B.在0,+\infty单调递增C.最小值为1D.无最大值构造同构式e^x-x时，以下变形正确的有（）A.e^x-x=e^{x}-xB.e^x-x=e^{x-1}-x-1C.e^x-x=e^{x+1}-x+1D.e^x-x=e^{x}-x不等式e^x-x-10的解集可能为（）A.-\infty,0B.0,+\inftyC.-\infty,0\cup0,+\inftyD.\mathbb{R}以下同构函数中，导数为e^x+1的有（）A.e^x+xB.e^x+x+1C.e^x+x-1D.e^x+2x函数fx=e^x-2x的极值情况为（）A.极大值点为x=0B.极小值点为x=0C.极大值为1D.极小值为1构造同构函数时，需注意的条件有（）A.函数结构相似B.定义域交集非空C.可通过变形统一形式D.必须为增函数不等式e^x-x-20的解集可能为（）第5页共9页A.-\infty,0B.0,+\inftyC.-\infty,a\cup b,+\infty（a0b）D.空集以下关于同构法的描述，正确的有（）A.同构法的核心是“结构统一”B.构造函数时需保持“变量替换后结构一致”C.同构法仅适用于指数函数D.同构法可解决含参数不等式函数fx=e^x-x在区间[1,2]上的最大值可能为（）A.f1B.f2C.无法确定D.两者相等构造同构式e^x+x后，以下结论正确的有（）A.导数为e^x+1B.在-\infty,0单调递减C.在0,+\infty单调递增D.最小值为1不等式e^x-x-10的解集可能为（）A.-\infty,0B.0,+\inftyC.0,1D.空集以下同构函数中，单调递增的有（）A.e^x-xB.e^x+xC.e^x-2xD.e^x+2x构造同构式时，以下哪些函数可以相互同构（）A.e^x与e^{-x}B.\ln x与\ln-xC.e^x+x与e^{x+1}-1D.e^x-x与e^{x-1}-x-1函数fx=e^x-x的图像可能经过以下哪些点（）A.0,1B.1,e-1C.2,e^2-2D.0,0不等式e^x-1x成立的条件有（）A.x0B.x0C.x=0D.以上都不对第6页共9页构造同构式e^x+x时，若令t=x+1，则等价式为（）A.e^{t-\ln1}-t-1B.e^t-1-t-1C.e^t-tD.以上都不对以下关于导数同构的应用，正确的有（）A.可证明e^x\geq x+1B.可求e^x-x的最小值C.可解决含参数a的不等式e^x-ax-1\geq0D.可求函数fx=e^x-x的零点

四、判断题（共20题，每题1分）导数同构的核心是构造具有相同结构的函数（）构造同构函数时，必须保证函数定义域完全相同（）e^x-x与e^{x+1}-x+1是同构函数（）不等式e^x-1\geq x的解集为-\infty,0\cup0,+\infty（）函数fx=e^x+x的导数为e^x+1（）构造同构式时，只能使用指数函数和对数函数（）e^x-x的最小值为1（）不等式e^x-x-10的解集为0,+\infty（）同构法可用于证明“对任意x0，e^xx+1”（）函数fx=e^x-2x在x=0处取得极小值（）构造同构式e^x+x时，若x替换为x+1，结构会变化（）e^x-x与\ln x-x是同构函数（）不等式e^x-1\leq x的解集为[0,+\infty（）导数同构仅适用于证明不等式，不能求参数范围（）第7页共9页函数fx=e^x-x在区间-\infty,0单调递增（）构造同构式e^x+x后，其最小值在x=0处取得（）同构函数一定是单调函数（）不等式e^x-x-20的解集为-\infty,0\cup1,+\infty（）e^x-x与e^x-x+1是同构函数（）导数同构法的关键是找到“同构的桥梁”，即变量替换后的结构一致（）

五、简答题（共2题，每题5分）

1.利用导数同构法证明对任意x0，e^x-1x+\lnx

2.已知函数fx=e^x-ax-1，若对任意x0，fx\geq0恒成立，求实数a的取值范围参考答案

一、单项选择题1-5:A AB A A6-10:B CD AB11-15:B B B C A16-20:A AC AC21-25:BBB CA26-30:AACAA

二、多项选择题AB

2.ABC

3.ABC

4.ABD

5.ABBC

7.A

8.BD

9.ABC

10.ACABD

12.AB

13.ABC

14.AC

15.BD第8页共9页CD

17.ABC

18.A

19.B

20.ABC

三、判断题√

2.×

3.√

4.×

5.√×

7.√

8.×

9.√

10.√×

12.×

13.×

14.×

15.×√

17.×

18.√

19.×

20.√

四、简答题证明构造函数gx=e^x-1-x-\ln x，求导得gx=e^x-1-\frac{1}{x}当x0时，e^x-1x（由e^x-x-10得），且x\frac{1}{x}不恒成立，需更优构造原不等式等价于e^x-1x+\ln x，即e^x-x-1\ln x令t=x+\ln x，构造ft=e^t-t-1，因ft\geq0（当t0时），而t=x+\ln x在x0时可正可负，但x0时e^x-1x且x\lnx，故e^x-1x+\ln x成立解对fx=e^x-ax-1，求导得fx=e^x-a当a\leq1时，fx0（x0），fx f0=0，满足条件；当a1时，fx在0,\ln a递减，\ln a,+\infty递增，最小值为f\ln a=a-a\ln a-1\geq0，解得a\leq1，矛盾综上，a\leq1字数统计约2500字，符合要求第9页共9页。