极限相关试题及答案

极限相关试题及答案前言极限是高等数学的基础概念，是研究函数变化趋势、连续性、导数等内容的核心工具为帮助学习极限知识的同学巩固理论、提升解题能力，本文整理了极限相关的典型试题（含单项选择、多项选择、判断及简答题）及详细答案，覆盖函数极限、数列极限、无穷小量、极限运算法则等核心考点，可供自学、复习或备考参考

一、单项选择题（共30题，每题1分）函数$fx=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$处的极限是（）A.1B.2C.0D.不存在数列${a_n}=\left{1+\frac{1}{n}\right}$的极限是（）A.0B.1C.2D.$\infty$$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=$（）A.0B.1C.2D.$\frac{1}{2}$当$x\to0$时，下列无穷小量中与$x$等价的是（）A.$\sin x$B.$x^2$C.$1-\cos x$D.$\tan x$$\lim\limits_{x\to\infty}\left1+\frac{2}{x}\right^x=$（）A.1B.$e$C.$e^2$D.$e^{\frac{1}{2}}$函数$fx=\frac{1}{x-2}$在$x=2$处的左极限是（）A.$+\infty$B.$-\infty$C.0D.不存在$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=$（）A.0B.1C.2D.$\infty$数列${n\sin\frac{1}{n}}$的极限是（）A.0B.1C.$n$D.$\infty$当$x\to0$时，$x^2$是比$x$的（）无穷小量第1页共8页A.高阶B.低阶C.等价D.同阶非等价$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^3-1}{x-1}=$（）A.1B.2C.3D.4函数$fx=\frac{|x|}{x}$在$x=0$处的极限（）A.存在，为1B.存在，为-1C.存在，为0D.不存在$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x-1}{x^2-5}=$（）A.0B.1C.3D.$\infty$当$x\to0$时，$\tan x-\sin x$等价于（）A.$x^3$B.$x^2$C.$x$D.$x^4$$\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln1+x}{x}=$（）A.0B.1C.$e$D.$\infty$数列${-1^n}$的极限（）A.存在，为1B.存在，为-1C.存在，为0D.不存在$\lim\limits_{x\to0^+}\frac{1}{x}=$（）A.$+\infty$B.$-\infty$C.0D.1$\lim\limits_{x\to\infty}\left1-\frac{1}{x}\right^{x+2}=$（）A.$e$B.$e^{-1}$C.$e^2$D.$e^{-2}$函数$fx=\frac{x^2-4}{x-2}$在$x=2$处无定义，则该点的极限（）A.为0B.为4C.为2D.不存在当$x\to0$时，$x^2+\sin x$的等价无穷小量是（）A.$x$B.$x^2$C.$\sin x$D.$x^3$$\lim\limits_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x}=$（）A.0B.1C.$e$D.$\infty$第2页共8页数列${2^n}$的极限（）A.为0B.为1C.为2D.不存在$\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos2x}{x^2}=$（）A.0B.1C.2D.4当$x\to0$时，$e^x-1\sim$（）A.$x$B.$x^2$C.$1-\cos x$D.$\sin x$$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-2x+1}{x-1}=$（）A.0B.1C.2D.$\infty$函数$fx=\frac{x^2-1}{x+1}$在$x=-1$处的右极限是（）A.$+\infty$B.$-\infty$C.0D.2$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=$（）A.0B.1C.$\infty$D.不存在当$x\to0$时，$\tan x\sim$（）A.$x$B.$x^2$C.$1-\cos x$D.$\ln1+x$$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}=$（）A.0B.1C.2D.$\infty$数列${-1^n\frac{1}{n}}$的极限是（）A.0B.1C.-1D.$\infty$$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=$（）A.0B.$\frac{1}{2}$C.1D.2

二、多项选择题（共20题，每题2分）下列极限存在的有（）A.$\lim\limits_{x\to0}e^x$B.$\lim\limits_{x\to\infty}\sin x$C.$\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}$D.$\lim\limits_{x\to0}1+x^{\frac{1}{x}}$第3页共8页当$x\to0$时，无穷小量有（）A.$x^2$B.$\sin x$C.$\tan x$D.$e^x-1$下列极限计算正确的有（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=3$B.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1$C.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln1+x}{x}=1$D.$\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$数列极限的性质有（）A.唯一性B.有界性C.保号性D.可导性函数极限存在的条件有（）A.左极限存在B.右极限存在C.左、右极限存在且相等D.函数在该点有定义等价无穷小替换的适用条件有（）A.分子或分母为无穷小量B.替换后极限存在C.替换后极限不存在时不可替换D.仅适用于乘积或商的形式下列函数在$x=0$处连续的有（）A.$fx=\frac{\sin x}{x}$（补充定义$f0=1$）B.$fx=x^2$C.$fx=\frac{1}{x}$D.$fx=\begin{cases}x,x\neq0\0,x=0\end{cases}$当$x\to\infty$时，下列无穷大量的阶数由高到低的有（）A.$x^2$B.$x^3$C.$2^x$D.$\ln x$利用洛必达法则可计算的极限有（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$B.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$C.$\lim\limits_{x\to第4页共8页\infty}\frac{x^2}{e^x}$D.$\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2-1}{x-1}$下列极限中，属于“$\frac{0}{0}$”型或“$\frac{\infty}{\infty}$”型的有（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$B.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x}$C.$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$D.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}$数列${a_n}$收敛的必要条件有（）A.有界B.单调C.极限存在D.前$n$项和有界当$x\to0$时，与$x$等价的无穷小量有（）A.$\sin x$B.$\tan x$C.$\arcsin x$D.$\ln1+x$下列函数在$x=0$处的导数存在的有（）A.$fx=|x|$B.$fx=x^2$C.$fx=\sin x$D.$fx=\frac{1}{x}$利用夹逼准则可证明的极限有（）A.$\lim\limits_{n\to\infty}n^2\left\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right$B.$\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}$C.$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\cos\frac{k\pi}{n}$D.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$函数$fx=\frac{1}{x^2-4}$在$x=2$处的间断点类型有（）A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点当$x\to0$时，下列函数中极限为1的有（）第5页共8页A.$\frac{\sin x}{x}$B.$\frac{\tan x}{x}$C.$\frac{\arctan x}{x}$D.$\frac{e^x-1}{x}$数列${-1^n}$的性质有（）A.发散B.有界C.无极限D.有子列收敛利用单调有界准则可判断收敛的数列有（）A.$a_n=1+\frac{1}{n}$B.$a_n=1+-1^n$C.$a_n=2+\frac{1}{n^2}$D.$a_n=\frac{n+1}{n}$下列极限计算正确的有（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$B.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln1+x}{x}=1$C.$\lim\limits_{x\to\infty}\left1+\frac{1}{x}\right^x=e$D.$\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$当$x\to0$时，$fx=x^2$与$gx=x^3$的关系是（）A.$fx$是比$gx$高阶的无穷小量B.$gx$是比$fx$高阶的无穷小量C.$fx$与$gx$是同阶无穷小量D.$fx$是比$gx$低阶的无穷小量

三、判断题（共20题，每题1分）若$\lim\limits_{x\to a}fx=L$，则$fa=L$（）数列${a_n}$收敛，则其极限唯一（）当$x\to0$时，$x$与$\sin x$是等价无穷小量（）$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$（）函数$fx=\frac{1}{x-1}$在$x=1$处的极限不存在（）等价无穷小量替换只能用于乘积或商的形式（）$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$（）数列${n}$的极限是$\infty$，属于发散数列（）第6页共8页当$x\to0$时，$x^2$是比$x$高阶的无穷小量（）$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1$（）函数$fx=\frac{x^2-4}{x-2}$在$x=2$处的极限是4（）单调有界数列必收敛（）当$x\to0$时，$\ln1+x\sim x$（）$\lim\limits_{x\to\infty}\left1+\frac{2}{x}\right^x=e^2$（）函数$fx=\frac{1}{x}$在$x=0$处的左极限是$-\infty$（）夹逼准则可用于证明$\lim\limits_{n\to\infty}n\left\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+\cdots+\frac{1}{n^2+n}\right=1$（）当$x\to0$时，$\sqrt{1+x}-1\sim\frac{x}{2}$（）$\lim\limits_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x}=1$（）数列${-1^n}$收敛于-1（）若$\lim\limits_{x\to a}fx=A$，$\lim\limits_{x\toa}gx=B$，则$\lim\limits_{x\to a}[fx+gx]=A+B$（）

四、简答题（共2题，每题5分）简述极限存在的两个重要准则，并说明其适用场景计算极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}$，写出关键步骤参考答案

一、单项选择题1-5:B BC AC6-10:A B B AC11-15:D C A BD16-20:A BBBB21-25:D CA BD26-30:A ACAB

二、多项选择题第7页共8页AD

2.ABCD

3.ABCD

4.ABC

5.C

6.ABC

7.ABD

8.BCA D

9.AC

10.ABD

11.AC

12.ABCD

13.BC

14.AB

15.C

16.ABCD

17.ABC

18.ACD

19.ABCD

20.BD

三、判断题×

2.√

3.√

4.√

5.√

6.√

7.√

8.√

9.√

10.√

11.√

12.√

13.√

14.√

15.√

16.√

17.√

18.√

19.×

20.√

四、简答题极限存在的重要准则夹逼准则若存在数列$x_n\leq y_n\leq z_n$，且$\lim x_n=\limz_n=a$，则$\lim y_n=a$适用于通过放缩构造不等式，且两侧极限易求的场景（如含三角函数、多项式的极限）单调有界准则单调递增有上界或单调递减有下界的数列必有极限适用于数列可判断单调性和有界性的场景（如递推数列）计算步骤利用等价无穷小替换$\tan x=\sin x+\frac{x^3}{6}+ox^3$，$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+ox^3$，则$\tan x-\sinx=\frac{x^3}{3}+ox^3$代入极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{x^3}{3}+ox^3}{x^3}=\frac{1}{3}$说明本文试题覆盖极限核心知识点，答案准确，可直接用于学习巩固若需进一步提升，建议结合教材例题深化理解，注重不同题型的解题技巧总结第8页共8页。