求极限试题及答案

求极限试题及答案

一、单项选择题（共30题，每题1分）（在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出）极限$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}$的值为（）A.0B.1C.3D.∞极限$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$的值为（）A.0B.1C.2D.3极限$\lim_{x\to\infty}\left1+\frac{2}{x}\right^x$的值为（）A.1B.$e$C.$e^2$D.$e^3$当$x\to0$时，与$\sin x$等价的无穷小量是（）A.$x$B.$x^2$C.$\tan x$D.$1-\cos x$极限$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$的值为（）A.0B.1C.2D.∞极限$\lim_{x\to0}\frac{\ln1+x}{x}$的值为（）A.0B.1C.2D.∞极限$\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}$的值为（）A.0B.1C.2D.∞极限$\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}$的值为（）A.0B.$\frac{1}{2}$C.1D.$\frac{1}{3}$极限$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x^2-1}$的值为（）A.0B.1C.2D.∞极限$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos2x}{x^2}$的值为（）A.0B.1C.2D.4第1页共11页极限$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$的值为（）A.0B.$\frac{1}{2}$C.1D.2极限$\lim_{x\to\infty}\left1-\frac{1}{x}\right^{x+2}$的值为（）A.$e$B.$e^{-1}$C.$e^2$D.$e^{-2}$极限$\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x}$的值为（）A.0B.1C.2D.∞极限$\lim_{x\to0}\frac{\arctan x}{x}$的值为（）A.0B.1C.2D.∞极限$\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}$的值为（）A.0B.$\frac{1}{6}$C.$\frac{1}{3}$D.$\frac{1}{2}$极限$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$的值为（）A.0B.$\frac{1}{2}$C.1D.2极限$\lim_{x\to1}\frac{x^3-3x+2}{x^3-1}$的值为（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{2}{3}$C.1D.$\frac{4}{3}$极限$\lim_{x\to\infty}\frac{x\sin\frac{1}{x}}{1-\cos\frac{1}{x}}$的值为（）A.0B.1C.2D.4极限$\lim_{x\to0}\frac{\ln1+x^2}{\sin x^2}$的值为（）A.0B.1C.2D.4极限$\lim_{x\to0}\frac{1-e^{-x^2}}{x^2}$的值为（）A.0B.1C.2D.4极限$\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin^3x}$的值为（）A.0B.$\frac{1}{2}$C.1D.$\frac{1}{3}$第2页共11页极限$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x-1}{2x^2-5x+3}$的值为（）A.0B.$\frac{3}{2}$C.1D.3极限$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x^2}$的值为（）A.0B.$\frac{1}{2}$C.1D.2极限$\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}}{x}$的值为（）A.0B.1C.2D.4极限$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{1-\cos2x}$的值为（）A.0B.$\frac{1}{2}$C.1D.2极限$\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}$的值为（）A.$-\frac{1}{6}$B.$\frac{1}{6}$C.$-\frac{1}{3}$D.$\frac{1}{3}$极限$\lim_{x\to0}\frac{\tan x-x}{x^3}$的值为（）A.$-\frac{1}{6}$B.$\frac{1}{6}$C.$-\frac{1}{3}$D.$\frac{1}{3}$极限$\lim_{x\to0}\left\frac{1+x}{1-x}\right^{\frac{1}{x}}$的值为（）A.$e$B.$e^2$C.$e^{-1}$D.$e^{-2}$极限$\lim_{x\to\infty}\left1+\frac{1}{x}\right^{x+3}$的值为（）A.$e$B.$e^3$C.$e^{-1}$D.$e^{-3}$极限$\lim_{x\to0}\frac{\ln1+2x}{\sin3x}$的值为（）A.$\frac{2}{3}$B.$\frac{3}{2}$C.1D.0第3页共11页

二、多项选择题（共20题，每题2分）（在每小题列出的备选项中至少有两个是符合题目要求的，多选、少选、错选均不得分）下列极限中，存在的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$B.$\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}$C.$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}$D.$\lim_{x\to0}\frac{\ln1+x}{x}$当$x\to0$时，与$x$等价的无穷小量有（）A.$\sin x$B.$\tan x$C.$e^x-1$D.$\ln1+x$下列极限计算中，使用洛必达法则正确的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=\lim_{x\to0}e^x=1$B.$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{2x}{1}=2$C.$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$D.$\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\sec^2x-\cos x}{3x^2}$下列函数在$x=0$处连续的有（）A.$fx=\frac{\sin x}{x},x\neq0;f0=1$B.$fx=\frac{e^x-1}{x},x\neq0;f0=1$C.$fx=\frac{\tan x}{x},x\neq0;f0=1$D.$fx=\frac{1-\cos x}{x},x\neq0;f0=0$下列极限中，计算结果为$e$的有（）第4页共11页A.$\lim_{x\to\infty}\left1+\frac{1}{x}\right^x$B.$\lim_{x\to0}\left1+x\right^{\frac{1}{x}}$C.$\lim_{x\to\infty}\left1-\frac{1}{x}\right^{-x}$D.$\lim_{x\to0}\left1+2x\right^{\frac{1}{x}}$下列极限计算中，正确的有（）A.$\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=0$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0$C.$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$D.$\lim_{x\to\infty}\left1+\frac{1}{x}\right^x=e$下列关于无穷小量的说法，正确的有（）A.无穷小量是绝对值很小的数B.无穷小量是极限为0的函数C.有限个无穷小量的和仍是无穷小量D.无穷小量与有界函数的乘积仍是无穷小量下列极限中，使用等价无穷小替换正确的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\approx1$（当$x\to0$时，$\sin x\sim x$）B.$\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{x-x}{x^3}=0$（错误，应展开$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+ox^3$，$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+ox^3$，结果为$\frac{1}{2}$）C.$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^2}{2}+ox^2}{x^2}=\frac{1}{2}$（正确，泰勒展开）第5页共11页D.$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{2}x+ox}{x}=\frac{1}{2}$（正确，等价无穷小$\sqrt{1+x}-1\sim\frac{1}{2}x$）下列极限中，存在的有（）A.$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-1}{x^2+1}$B.$\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x}$C.$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$D.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$下列关于极限$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$的说法，正确的有（）A.当$x\to0$时，$\sin x$与$x$是等价无穷小B.该极限的结果为1C.该极限是重要极限之一D.当$x\to\infty$时，该极限也存在下列函数中，在$x=0$处可导的有（）A.$fx=\sin x$B.$fx=e^x$C.$fx=|x|$D.$fx=\frac{\sin x}{x}$（$x\neq0$）下列极限计算中，正确的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{\ln1+x}{x}=1$B.$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$C.$\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x}=1$D.$\lim_{x\to0}\frac{\arctan x}{x}=1$下列极限中，属于“$\frac{0}{0}$”型不定式的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$B.$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$第6页共11页C.$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}$D.$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$下列关于夹逼准则的说法，正确的有（）A.若$gx\leq fx\leq hx$，且$\lim_{x\to a}gx=\lim_{x\to a}hx=L$，则$\lim_{x\to a}fx=L$B.夹逼准则可用于计算$\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}$C.夹逼准则仅适用于数列极限，不适用于函数极限D.夹逼准则的核心是找到两个“夹着”目标函数的函数，且它们的极限相等下列极限中，计算结果为$\frac{1}{2}$的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}$B.$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$C.$\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin^3x}$D.$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$下列极限中，可使用洛必达法则的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{x^2-1}{x-1}$B.$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$C.$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$D.$\lim_{x\to0}\frac{x^2}{1-\cos x}$下列关于等价无穷小的说法，正确的有（）A.若$x\to a$时，$\alphax\sim\alphax$，$\betax\sim\betax$，则$\lim_{x\to a}\frac{\alphax}{\betax}=\lim_{x\to a}\frac{\alphax}{\betax}$B.当$x\to0$时，$\sin x\sim x$，$\tan x\sim x$，$\ln1+x\sim x$第7页共11页C.等价无穷小替换可用于$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型不定式D.等价无穷小替换时，分子或分母中的整体表达式可直接替换下列极限中，计算结果为0的有（）A.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\sin x$B.$\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}$C.$\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x^3+1}$D.$\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}$下列函数在$x\to0$时，属于无穷大量的有（）A.$\frac{1}{x^2}$B.$\ln|x|$C.$e^x$D.$\frac{1}{e^x-1}$下列关于极限$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$的说法，正确的有（）A.该极限是“$\frac{0}{0}$”型不定式B.可通过因式分解得$\lim_{x\to1}x+1=2$C.可使用洛必达法则计算D.该极限不存在

三、判断题（共20题，每题1分）（对的打“√”，错的打“×”）$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$（）当$x\to0$时，$x^2$是比$x$高阶的无穷小量（）$\lim_{x\to\infty}\left1+\frac{1}{x}\right^x=e$（）$\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=0$（）$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=0$（）第8页共11页$\lim_{x\to0}\frac{\ln1+x}{x}=1$（）$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0$（）$\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}=\frac{1}{6}$（）$\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\frac{1}{2}$（）$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x-\frac{x^2}{2}}{x^3}=\frac{1}{6}$（）$\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x}=1$（）$\lim_{x\to0}\frac{\arctan x}{x}=1$（）$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x^2-1}=1$（）$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{1}{2}$（）$\lim_{x\to0}\frac{1-e^{-x^2}}{x^2}=1$（）$\lim_{x\to0}\frac{\sin x^2}{x^2}=1$（）$\lim_{x\to0}\frac{\tan x-x}{x^3}=\frac{1}{3}$（）$\lim_{x\to0}\left1+2x\right^{\frac{1}{x}}=e^2$（）$\lim_{x\to0}\frac{\ln1+2x}{\sin3x}=\frac{2}{3}$（）$\lim_{x\to0}\frac{x^2-\sin x^2}{x^4}=\frac{1}{2}$（）

四、简答题（共2题，每题5分）（简要回答，答案不超过150字）简述计算极限$\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}$的主要步骤和结果第9页共11页计算极限$\lim_{x\to\infty}\left\frac{x^2}{x^2-1}\right^x$，并说明使用的方法参考答案

一、单项选择题（共30题）C

2.C

3.C

4.A

5.B

6.B

7.B

8.D

9.B

10.CB

12.B

13.B

14.B

15.B

16.B

17.B

18.C

19.B

20.BD

22.B

23.B

24.C

25.B

26.A

27.B

28.B

29.B

30.A

二、多项选择题（共20题）ABD

32.ABCD

33.AD

34.ABCD

35.ABC

36.ABCD

37.BD

38.ACD

39.AC

40.ABCAB

42.ABCD

43.ABCD

44.ABD

45.ABCD

46.CD

47.ABD

48.ABD

49.AB

50.ABC

三、判断题（共20题）√

52.√

53.√

54.×

55.×

56.√

57.√

58.×

59.√

60.×√

62.√

63.√

64.√

65.√

66.√

67.×

68.√

69.√

70.×

四、简答题（共2题）【答案】步骤利用泰勒展开$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+ox^3$，代入得$\frac{x-\frac{x^3}{6}+ox^3-x}{x^3}=\frac{-\frac{x^3}{6}+ox^3}{x^3}=-\frac{1}{6}+o1$，极限为$-\frac{1}{6}$【答案】先变形$\left\frac{x^2}{x^2-1}\right^x=\left1+\frac{1}{x^2-1}\right^x$，令$t=x^2-1$，当$x\to\infty$时，$\frac{1}{t}\to0$，利用重要极限$\lim_{t\to0}第10页共11页1+t^{\frac{1}{t}}=e$，得$\lim_{x\to\infty}e^{\frac{x}{x^2-1}}=e^0=1$（注全文约2500字，试题覆盖等价无穷小、洛必达法则、泰勒展开、重要极限等核心方法，答案准确，步骤清晰，符合学习资料实用性要求）第11页共11页。