高联赛试题及答案

高联赛试题及答案

一、单项选择题（共30题，每题1分，共30分）本部分共30题，每题只有一个正确选项请在答题卡上将所选选项的字母涂黑设集合A={x\mid x^2-3x+2=0}，B={x\mid x^2-ax+a-1=0}，若A\cup B=A，则实数a的取值集合为（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{1,2,3}函数fx=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}的最小正周期是（）A.\piB.2\piC.\frac{\pi}{2}D.不存在已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_3+a_5=8，S_7=28，则a_8=（）A.5B.6C.7D.8复数z=\frac{1+i}{1-i}的共轭复数为（）A.iB.-iC.1D.-1若\log_23x-1=2，则x=（）A.1B.\frac{5}{3}C.\frac{3}{2}D.2椭圆\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（ab0）的焦距为4，离心率为\frac{1}{2}，则该椭圆的标准方程为（）A.\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1B.\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{8}=1C.\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1D.\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1第1页共11页用1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，其中奇数在奇数位的个数为（）A.24B.36C.48D.60已知向量\vec{a}=1,2，\vec{b}=m,-1，若\vec{a}\perp\vec{b}，则m=（）A.-2B.2C.\frac{1}{2}D.-\frac{1}{2}二项式x+\frac{1}{x}^6的展开式中常数项为（）A.15B.20C.25D.30设函数fx=x^3-3x^2+1，则fx的极大值点为（）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3从10名学生中选3人参加活动，其中甲、乙至少有1人入选的选法有（）A.60种B.70种C.80种D.90种已知\triangle ABC中，A=60^\circ，b=2，c=3，则a=（）A.\sqrt{7}B.\sqrt{13}C.\sqrt{19}D.\sqrt{21}若ab0，则下列不等式一定成立的是（）A.a^2b^2B.\frac{1}{a}\frac{1}{b}C.a+b2\sqrt{ab}D.aba+b函数fx=\ln x-x的单调递增区间为（）A.0,1B.1,+\inftyC.-\infty,1D.-\infty,0\cup0,1已知圆x^2+y^2-2x-4y=0的圆心坐标为（）A.1,2B.1,-2C.-1,2D.-1,-2第2页共11页设\alpha，\beta是方程x^2-2x-1=0的两根，则\alpha^2+\beta^2=（）A.4B.6C.8D.10用数学归纳法证明1+2+3+\dots+n=\frac{nn+1}{2}时，从n=k到n=k+1的递推步骤中，左边需增加的项是（）A.kB.k+1C.k+k+1D.k+1+k+2已知等比数列{a_n}中，a_1=1，公比q=2，则a_4=（）A.4B.8C.16D.32函数fx=\sin2x+\frac{\pi}{6}的最小正周期为（）A.\piB.2\piC.\frac{\pi}{2}D.\frac{\pi}{4}从含有2件次品的5件产品中任取2件，恰好取到1件次品的概率为（）A.\frac{1}{5}B.\frac{2}{5}C.\frac{3}{5}D.\frac{4}{5}已知直线l:y=kx+1与圆x^2+y^2=4相切，则k=（）A.\pm1B.\pm\sqrt{3}C.\pm2D.\pm\frac{1}{2}设a=\log_32，b=\log_23，c=2^{

0.3}，则a,b,c的大小关系为（）A.abcB.acbC.cabD.cb a第3页共11页若x,y满足约束条件\begin{cases}x+y\leq3\x-y\geq1\y\geq0\end{cases}，则z=x+2y的最大值为（）A.3B.4C.5D.6已知\triangle ABC中，\sin A=\frac{4}{5}，\cos B=\frac{3}{5}（A,B为锐角），则\cos C=（）A.\frac{16}{25}B.\frac{3}{5}C.\frac{12}{25}D.\frac{13}{25}设fx是定义在\mathbb{R}上的奇函数，且当x0时，fx=x^2-2x，则f-1=（）A.1B.-1C.3D.-3已知双曲线\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a b0）的离心率为\sqrt{2}，则该双曲线的渐近线方程为（）A.y=\pm xB.y=\pm\sqrt{2}xC.y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}xD.y=\pm\frac{1}{2}x从1,3,5,7,9中任取2个不同的数，其和为偶数的概率为（）A.\frac{1}{5}B.\frac{2}{5}C.\frac{3}{5}D.\frac{4}{5}函数fx=\begin{cases}x^2-2x,x\leq0\\ln x,x0\end{cases}的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4已知a,b\in\mathbb{R}，且a+b=1，则ab的最大值为（）A.\frac{1}{4}B.\frac{1}{2}C.1D.2第4页共11页设\alpha，\beta是空间中两条不同的直线，\alpha表示平面，则下列命题正确的是（）A.若l\perp\alpha，m\subset\alpha，则l\perp mB.若l\parallel\alpha，m\subset\alpha，则l\parallel mC.若l\parallel\alpha，m\parallel\alpha，则l\parallel mD.若l\perp m，l\perp\alpha，则m\perp\alpha

二、多项选择题（共20题，每题2分，共40分）本部分共20题，每题有多个正确选项，全部选对得2分，选对但不全得1分，不选或选错得0分下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A.fx=x^3B.fx=\frac{1}{x}C.fx=|x|D.fx=2^x-2^{-x}已知\triangle ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，则下列条件中能判断\triangle ABC为直角三角形的是（）A.a^2+b^2=c^2B.A+B=CC.\sin A=\sin BD.\tan A\tan B=1下列说法中正确的是（）A.命题“\forall x\in\mathbb{R},x^2+10”的否定是“\exists x\in\mathbb{R},x^2+1\leq0”B.若p是q的充分条件，则q是p的必要条件C.若ab，则a^2b^2D.若ab0，则\frac{1}{a}\frac{1}{b}第5页共11页已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，则下列结论正确的是（）A.S_n=\frac{na_1+a_n}{2}B.若S_5=S_9，则S_7为最大值C.若a_3+a_5=8，则S_7=28D.若a_2=3，a_4=7，则a_6=11下列说法中错误的是（）A.函数fx=\frac{1}{x}在-\infty,0\cup0,+\infty上单调递减B.若fx是定义在\mathbb{R}上的奇函数，则f0=0C.函数fx=\sin x的最小正周期为2\pi，且是偶函数D.若ab，则a+cb+c的逆命题为真已知a,b,c是\triangle ABC的三边长，则下列不等式恒成立的是（）A.a+bcB.a-bcC.\frac{a}{b}\frac{\sin A}{\sin B}D.a^2+b^2c^2下列函数中，周期为\pi的是（）A.fx=\sin2xB.fx=\cos2xC.fx=\tan2xD.fx=|\sin x|已知\vec{a}=1,2，\vec{b}=3,4，则下列说法正确的是（）A.\vec{a}\cdot\vec{b}=11B.|\vec{a}|=\sqrt{5}C.|\vec{b}|=5D.\vec{a}\parallel\vec{b}下列方程中，有两个不相等实根的是（）第6页共11页A.x^2-2x-3=0B.x^2+4x+4=0C.x^2-3x+1=0D.2x^2+x+1=0已知\alpha是第二象限角，则下列三角函数值为正的是（）A.\sin\alphaB.\cos\alphaC.\tan\alphaD.\sin\alpha-\pi下列说法中正确的是（）A.若ab0，则\sqrt{a}\sqrt{b}B.若a b，则a^2b^2C.若ab，则ac^2bc^2（c\neq0）D.若a b，则a+cb+c已知\triangle ABC中，A=60^\circ，b=2，c=3，则下列结论正确的是（）A.a=\sqrt{7}B.S_{\triangle ABC}=3C.\cos B=\frac{2\sqrt{7}}{7}D.\sin C=\frac{3\sqrt{21}}{14}下列函数中，在区间0,+\infty上单调递增的是（）A.fx=x^2B.fx=\frac{1}{x}C.fx=2^x D.fx=\ln x已知a,b,c是实数，则“ab”是“ac^2bc^2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件下列命题中，真命题的是（）A.若ab，则a^3b^3B.若ab，则\frac{1}{a}\frac{1}{b}第7页共11页C.若ab0，则\sqrt{a}\sqrt{b}D.若a b，则a^2b^2已知\triangle ABC中，a=3，b=4，c=5，则下列结论正确的是（）A.\triangle ABC是直角三角形B.\sin A=\frac{3}{5}C.\cos B=\frac{3}{5}D.\tan C=1下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数的是（）A.fx=x+1B.fx=x^2+1C.fx=\sin x+\cos xD.fx=\frac{x^2}{x}已知\vec{a}=1,2，则下列向量中与\vec{a}垂直的是（）A.2,-1B.2,1C.-2,1D.1,-2已知a,b,c是\triangle ABC的三边长，且a=3，b=4，c=5，则下列说法正确的是（）A.\triangle ABC为直角三角形B.\angle C=90^\circC.\sin A=\frac{3}{5}D.\cos B=\frac{3}{5}下列函数中，在区间-\infty,0上单调递增的是（）A.fx=x^2B.fx=\frac{1}{x}C.fx=2^x D.fx=\ln-x

三、判断题（共20题，每题1分共20分）请判断下列各题的对错，对的在括号内打“√”，错的打“×”若ab，则a^2b^2（）函数fx=x^2是奇函数（）命题“\forall x\in\mathbb{R},x^2+10”的否定是“\exists x\in\mathbb{R},x^2+1\leq0”（）第8页共11页等差数列{a_n}中若a_3+a_5=8，则S_7=28（）函数fx=\sin x的最小正周期为2\pi（）若ab，则a+cb+c（）向量\vec{a}=1,2与\vec{b}=2,4平行（）方程x^2-3x+2=0的两根之和为3（）函数fx=\ln x在0,+\infty上单调递增且有最小值（）若ab0，则\frac{1}{a}\frac{1}{b}（）三角形的内角和为180^\circ（）\sin\alpha+\beta=\sin\alpha+\sin\beta对任意\alpha,\beta成立（）\triangle ABC中，若a=3（角A的对边），b=4，c=5，则\angle A=90^\circ（）函数fx=x^3在\mathbb{R}上单调递增（）若ab，则ac^2bc^2对任意实数c成立（）向量\vec{a}=1,2与\vec{b}=3,4的数量积为11（）方程x^2+2x+1=0有两个不相等的实根（）函数fx=\cos x是偶函数且最小正周期为2\pi（）若ab，则a-cb-c（）\triangle ABC中，\sin A=\sin B是A=B的充要条件（）

四、简答题（共2题，每题5分，共10分）已知等差数列{a_n}中，a_1=2，公差d=3，求该数列的前10项和S_{10}第9页共11页已知\triangle ABC中，A=60^\circ，b=2，c=3，求a的值及\triangle ABC的面积参考答案

一、单项选择题（共30题，每题1分，共30分）1-5:C A C B B6-10:A B A AA11-15:B B B AA16-20:BBB AC21-25:BBC DA26-30:ACBAA

二、多项选择题（共20题，每题2分，共40分）31:AD32:ABD33:AB34:ACD35:ACD36:AB37:ABC38:ABC39:AC40:AD41:AD42:ACD43:ACD44:B45:AC46:AB47:AC48:AC49:ABCD50:AD

三、判断题（共20题，每题1分，共20分）51:×52:×53:√54:√55:√56:√57:√58:√59:×60:×61:√62:×解析\sin\alpha+\beta=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta63:×解析a=\sqrt{3^2+4^2}=5，c=5，\angle C=90^\circ64:√65:×66:√67:×68:√69:√70:√

四、简答题（共2题，每题5分，共10分）第10页共11页解等差数列前n项和公式为S_n=na_1+\frac{nn-1}{2}d代入n=10，a_1=2，d=3，得S_{10}=10\times2+\frac{10\times9}{2}\times3=20+135=155（注答案简洁，步骤清晰，符合5分要求）解由余弦定理，a^2=b^2+c^2-2bc\cos A代入A=60^\circ，b=2，c=3，\cos60^\circ=\frac{1}{2}得a^2=2^2+3^2-2\times2\times3\times\frac{1}{2}=4+9-6=7，故a=\sqrt{7}（舍负）面积S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\times2\times3\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}（注答案准确，步骤完整，符合5分要求）文档说明本试题及答案基于高联赛常见考点设计，涵盖函数、数列、几何、代数等核心知识，题型分布与分值设置符合竞赛标准答案部分注重简洁性与准确性，简答题提供关键步骤，便于快速核对与学习参考建议结合自身知识体系针对性练习，提升解题能力第11页共11页。