极限复习试题及答案

极限复习试题及答案

一、单项选择题（共30题，每题1分，共30分）函数fx=\frac{x^2-1}{x-1}在x=1处的极限值为（）A.1B.2C.0D.不存在数列极限\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+2n-1}{2n^2-3n+5}的值为（）A.\frac{3}{2}B.\frac{2}{3}C.3D.2当x\to0^+时，下列变量中是无穷小量的为（）A.e^{\frac{1}{x}}B.\ln xC.\frac{1}{x}D.\sin\frac{1}{x}极限\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}的值为（）A.1B.3C.\frac{1}{3}D.0函数fx=\frac{1}{x-2}在x=2处的间断点类型为（）A.可去间断点B.无穷间断点C.跳跃间断点D.振荡间断点极限\lim_{x\to\infty}\frac{x^3+2x-1}{5x^3+1}的值为（）A.\frac{1}{5}B.1C.0D.5无穷小量\alphax=1-\cos x与无穷小量\betax=x^2的关系是（）A.\alphax是比\betax高阶的无穷小B.\alphax是比\betax低阶的无穷小C.\alphax与\betax是同阶无穷小D.\alphax是比\betax等价的无穷小函数fx=\frac{|x|}{x}在x=0处的左极限为（）A.1B.-1C.0D.不存在第1页共9页极限\lim_{x\to0}1+2x^{\frac{1}{x}}的值为（）A.e^2B.e^{\frac{1}{2}}C.eD.2函数fx=\frac{x^2-4}{x-2}在x=2处的极限值为（）A.0B.2C.4D.不存在当x\to\infty时，下列变量中与\frac{1}{x}等价的无穷小量为（）A.\frac{1}{x+1}B.\sin\frac{1}{x}C.\frac{1}{\sqrt{x}}D.\ln1+x极限\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}使用洛必达法则后的结果为（）A.2B.4C.0D.1函数fx=\ln x在x=1处的导数为（）A.0B.1C.\frac{1}{e}D.e极限\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}的值为（）A.1B.0C.eD.\frac{1}{e}数列{-1^n}的极限情况为（）A.收敛于1B.收敛于-1C.发散D.不存在函数fx=\sqrt{x}在x=0处的右导数为（）A.0B.1C.+\inftyD.不存在极限\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}的值为（）A.\frac{1}{2}B.\frac{1}{3}C.\frac{1}{4}D.\frac{1}{6}当x\to0时，x^2是x-\sin x的（）无穷小量A.高阶B.低阶C.同阶D.等价函数fx=\frac{1}{x^2-1}的可去间断点为（）第2页共9页A.x=1B.x=-1C.x=0D.无极限\lim_{n\to\infty}\left1+\frac{1}{n}\right^n的值为（）A.1B.eC.\frac{1}{e}D.2函数fx在点x_0处连续是fx在该点可导的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.无关极限\lim_{x\to0}\frac{1-\cos2x}{x^2}的值为（）A.0B.1C.2D.4数列{\frac{n}{n+1}}的极限为（）A.0B.1C.2D.不存在函数fx=\frac{x^2-1}{x-1}在x=1处无定义，补充定义f1=（）可使其连续A.0B.1C.2D.3极限\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}的值为（）A.1B.0C.\inftyD.不存在函数fx=\sqrt{1-x}的定义域为（）A.-\infty,1]B.[1,+\inftyC.-\infty,1D.1,+\infty极限\lim_{x\to0}\frac{x^2}{\tan x}的值为（）A.0B.1C.2D.\infty当x\to0时，\sqrt{1+x}-1与x的关系是（）A.等价无穷小B.同阶无穷小（非等价）C.高阶无穷小D.低阶无穷小函数fx=\frac{|x|}{x}在x=0处的极限情况为（）A.左极限=右极限=1B.左极限=右极限=-1第3页共9页C.左极限=1，右极限=-1D.左极限=-1，右极限=1极限\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}的值为（）A.0B.\frac{1}{2}C.1D.2

二、多项选择题（共20题，每题2分，共40分，每题至少有2个正确答案，多选、少选、错选均不得分）下列极限存在的有（）A.\lim_{x\to0}\frac{1}{x}B.\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}C.\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}D.\lim_{x\to0}e^{\frac{1}{x}}函数fx在x_0处连续的条件有（）A.fx在x_0处有定义B.\lim_{x\to x_0}fx存在C.\lim_{x\to x_0}fx=fx_0D.fx在x_0处可导下列无穷小量中，与x等价的有（）A.\sin xB.\tan xC.e^x-1D.\ln1+x极限\lim_{x\to\infty}\frac{a x^2+b x+c}{d x^2+e x+f}（a,d\neq0）的值取决于（）A.a与d的比值B.b与e的比值C.c与f的比值D.分子分母的最高次项系数函数fx在x_0处可导的条件有（）A.左导数存在B.右导数存在C.左导数=右导数D.函数在x_0处连续下列极限计算正确的有（）第4页共9页A.\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=3B.\lim_{x\to0}1+x^{\frac{1}{x}}=eC.\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=1D.\lim_{x\to0}\frac{\ln1+x}{x}=1当x\to0时，x^2是x的（）无穷小量，x^3是x^2的（）无穷小量A.高阶B.低阶C.同阶D.等价函数fx=\frac{1}{x}在区间0,1上（）A.连续B.有界C.无界D.单调递减极限\lim_{x\to2}3x-1的值为（），\lim_{x\to2}x^2-4的值为（）A.5B.0C.3D.8下列函数在x=0处连续的有（）A.fx=\frac{\sin x}{x}（补充定义f0=1）B.fx=\frac{x^2}{x}（补充定义f0=0）C.fx=\sqrt{x}D.fx=\ln|x|数列极限\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}的性质有（）A.收敛B.有界C.单调递增D.单调递减函数fx=\frac{x^2-1}{x+1}在x=-1处（）A.间断B.可去间断点C.无穷间断点D.有定义极限\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}的应用场景包括（）A.三角函数的简化计算B.指数函数的极限C.等价无穷小替换D.导数定义当x\to0时，下列变量中属于无穷大量的有（）A.\frac{1}{x}B.e^{\frac{1}{x}}C.\ln|x|D.\tan x第5页共9页函数fx在区间[a,b]上连续的性质有（）A.有界性B.最值定理C.介值定理D.导数存在极限\lim_{x\to0}\frac{x^2+2x}{x}计算过程中，正确的步骤有（）A.约去公因式xB.得到\lim_{x\to0}x+2C.结果为2D.直接代入x=0得0函数fx=\frac{x^2}{x}在x=0处（）A.无定义B.左极限=右极限=0C.补充定义f0=0后连续D.可导下列函数中，以x=0为间断点的有（）A.fx=\frac{1}{x}B.fx=|x|C.fx=\tan xD.fx=\sqrt{x}极限\lim_{x\to0}1-3x^{\frac{1}{x}}的计算结果及步骤正确的有（）A.结果为e^{-3}B.步骤\lim_{x\to0}[1+-3x]^{\frac{1}{x}}=e^{\lim_{x\to0}-3x^{\frac{1}{x}}}C.利用重要极限公式\lim_{u\to0}1+u^{\frac{1}{u}}=eD.结果为1函数fx在x_0处连续且fx_00，则存在\delta0，使在x_0-\delta,x_0+\delta内（）A.fx0B.fx连续C.fxfx_0D.fx可导

三、判断题（共20题，每题1分，共20分，对的打“√”，错的打“×”）无穷小量是绝对值很小的数（）第6页共9页极限存在的函数一定有界（）函数在某点的左右极限都存在，则该点极限存在（）\lim_{x\to0}\frac{\sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=1（）函数fx=\frac{x^2-1}{x-1}是初等函数（）无穷大量与无穷小量的乘积一定是无穷小量（）极限\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x+1}=1（）函数fx=\sqrt{x}在x=0处连续且可导（）当x\to0时，x与\sin x是等价无穷小量（）函数fx在x_0处可导，则一定在该点连续（）极限\lim_{x\to0}1+x^{\frac{1}{x}}=e（）函数fx=\frac{1}{x^2}在x=0处无界（）若\lim_{x\to x_0}fx=A，\lim_{x\to x_0}gx=B，则\lim_{x\to x_0}[fx\pm gx]=A\pm B（）函数fx=\frac{|x|}{x}在x=0处的极限存在（）极限\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1（）函数fx=\frac{1}{x^2-1}在x=1处是可去间断点（）当x\to0时，\sqrt{1+x}-1与\frac{1}{2}x等价（）函数fx=\tan x在x=0处连续（）极限\lim_{x\to0}\frac{x^2}{\sin x}=0（）函数fx在区间a,b内连续，则在该区间内一定存在最大值和最小值（）

四、简答题（共2题，每题5分，共10分，答案不超过150字）简述利用夹逼准则求极限的基本步骤第7页共9页说明重要极限\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1在极限计算中的应用场景及注意事项参考答案

一、单项选择题（每题1分，共30分）1-5:B AB BB6-10:A C B A C11-15:B AB AC16-20:C ACBB21-25:B CB CB26-30:A AACB

二、多项选择题（每题2分，共40分）31:BC32:ABC33:ABCD34:AD35:ABC36:ABCD37:BC38:AC39:AD40:AB41:AB42:AB43:ACD44:ABC45:ABC46:ABC47:AC48:ACD49:AC50:AB

三、判断题（每题1分，共20分）51:×52:×53:×54:√55:×56:×57:√58:×59:√60:√61:√62:√63:√64:×65:√66:×67:√68:×69:√70:×

四、简答题（每题5分，共10分）夹逼准则求极限步骤

①找到两个函数gx\leq fx\leqhx；

②计算\lim gx=\lim hx=A；

③则\lim fx=A（5分）应用场景三角函数极限化简、等价无穷小替换（如\lim\frac{\sin kx}{kx}=1）注意事项仅适用于x\to0时的\frac{\sin x}{x}形式，需验证变量替换后是否满足条件（5分）第8页共9页文档说明本试题涵盖极限的定义、性质、计算方法及应用，题型包括选择、多选、判断和简答，答案简洁准确，适合复习巩固极限知识点第9页共9页。