函数的极限教学课件

函数的极限教学课件第一章极限的基本概念与定义学习目标•理解极限的直观含义•掌握极限的严格定义•建立几何直观理解核心概念•函数值的趋近性•极限存在性判断什么是函数的极限？核心概念解析函数的极限描述了当自变量无限接近某个特定值时，函数值的变化趋势和最终趋向这个概念的关键在于趋近过程而非到达状态•函数值随着自变量无限接近某点时的趋近趋势•极限不依赖函数在该点是否有定义•关注的是无限接近而非等于极限的直观几何意义0102观察函数图像识别趋近行为在坐标系中绘制函数曲线，重点关注某点当x逐渐接近目标点时，观察y值的变化模附近的变化趋势式和趋向03确定极限值函数图像在某点附近无限接近的那条水平线的高度即为极限值极限的正式定义（语言）ε-δ对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得当0|x-x₀|δ时，恒有|fx-A|ε成立，则称A为函数fx当x趋于x₀时的极限符号表示1条件解读2ε表示允许的误差范围，δ表示自变量的变化范围逻辑结构例题验证1\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1证明思路这是微积分中最重要的极限之一，我们使用夹逼定理来证明构造不等式\cos x\frac{\sin x}{x}1（当x0时）

2.利用几何关系建立扇形面积比较

3.当x→0时，cos x→

14.由夹逼定理得到结果关键洞察这个极限的几何意义是单位圆上弧长与弦长之比的极限行为数列极限与函数极限的关系函数极限与数列极限之间存在着深刻的内在联系，这种联系为我们提供了另一种理解和计算函数极限的方法等价性定理判断方法函数fx在x₀处的极限存在且等于A，当且仅当对任意趋于x₀的数列通过构造不同的数列来验证函数极限是否存在，如果不同数列给出不同{x}，都有lim fx=A极限值，则原极限不存在ₙₙ这个等价性为我们提供了强有力的工具既可以用函数极限的存在性来判断数列极限，也可以反过来用数列极限来研究函数极限例题证明不存在2\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\sin\left\frac{1}{x}\right010203构造数列1构造数列2得出结论取x_n=\frac{1}{2n\pi}，当n→∞时，取x_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}，当n→两个不同数列给出不同的极限值，因此原极限不\frac{1}{x_n}\sin\left\frac{1}{x_n}\right=2n\pi∞时，\frac{1}{x_n}\sin\left\frac{1}{x_n}\right存在\cdot\sin2n\pi=0=\left\frac{\pi}{2}+2n\pi\right\cdot1\to\infty第二章极限的性质与计算技巧运算法则掌握极限的四则运算规律，为复杂计算奠定基础特殊函数多项式、有理函数等特殊类型函数的极限计算方法重要定理夹逼定理、单侧极限等核心理论工具的应用极限的四则运算法则当两个函数的极限都存在时，它们的和、差、积、商的极限等于各自极限的相应运算结果这些法则大大简化了复杂函数极限的计算过程加法法则减法法则乘法法则除法法则（当\lim gx\neq0时）重要提醒这些法则的前提是参与运算的各个极限都存在且有限例题计算3\lim_{x\to2}3x^2+5x-1解题过程对于多项式函数，可以直接使用代入法计算极限

1.应用极限的四则运算法则

2.分别计算各项的极限

3.将x=2直接代入原式关键结论连续函数在连续点处的极限等于函数值，这使得多项式极限计算变得非常简单多项式与有理函数极限计算多项式和有理函数是微积分中最常见的函数类型，掌握它们的极限计算方法对于学好极限理论至关重要多项式函数在定义域内任意点都连续，极限等于函数值\lim_{x\to x_0}Px=Px_012有理函数当分母不为零时，直接代入；当分母为零时，需要因式分解若Qx_0\neq0，则\lim_{x\to x_0}Rx=\frac{Px_0}{Qx_0}例题计算4\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}因式分解识别问题类型直接代入得到\frac{0}{0}型未定式，需要进行代数变换利用平方差公式分解分子计算极限约分化简对简化后的表达式求极限消除公因子x-1夹逼定理及其应用夹逼定理如果在某点的邻域内有fx≤gx≤hx，且\lim fx=\lim hx=L，那么\lim gx=L定理要点需要构造两个夹逼函数•三个函数的大小关系必须明确•两端函数极限必须相等•中间函数极限自然确定这个定理在处理振荡函数和复杂表达式时特别有效单侧极限的概念单侧极限描述了函数从特定方向趋近某点时的行为，这对于理解函数在不连续点附近的性质至关重要左极限右极限存在条件函数在某点的极限存在当且仅当左极限等于右极限x从小于x₀的方向趋近x₀时，函数值的极限x从大于x₀的方向趋近x₀时，函数值的极限例题判断函数在某点极限是否存在6（单侧极限示例）考虑分段函数0102计算左极限计算右极限03比较结果由于左极限1≠右极限2，所以\lim_{x\to1}fx不存在注意函数在x=1处有定义f1=3，但极限不存在，这说明极限与函数值是两个不同的概念第三章极限的特殊类型与应用无穷极限渐近线研究函数值趋于无穷大的情况利用极限确定函数的渐近行为导数定义重要极限极限在导数概念中的核心作用两个经典的重要极限及其应用无限大与无穷小的极限无限大和无穷小是极限理论中的特殊概念，它们帮助我们描述函数的渐近行为和局部性质无穷大极限当函数值无界增大时表示fx可以任意大无穷小极限当函数值趋于零时fx称为x→x₀时的无穷小例题7验证\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0对任意ε0，取δ=1/ε，当xδ时，有\left|\frac{1}{x}\right|\frac{1}{\delta}=ε，因此极限为0极限与渐近线渐近线描述了函数图像在某些区域的渐近行为，通过极限概念可以精确确定各类渐近线的存在性和位置1垂直渐近线当\lim_{x\to a^{\pm}}fx=\pm\infty时，直线x=a是垂直渐近线2水平渐近线当\lim_{x\to\pm\infty}fx=L时，直线y=L是水平渐近线3斜渐近线当\lim_{x\to\infty}[fx-ax+b]=0时，直线y=ax+b是斜渐近线例题8求函数fx=\frac{2x^2+1}{x^2-1}的渐近线•垂直渐近线x=±1（分母为零点）•水平渐近线y=2（分子分母最高次项系数比）重要极限一\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1这是微积分中最重要的极限之一，它不仅在三角函数求导中起关键作用，还广泛应用于各种极限计算中几何证明思路

1.在单位圆中构造扇形和三角形

2.比较它们的面积关系建立不等式\cos x\frac{\sin x}{x}

14.利用夹逼定理得出结论这个极限反映了弧度制下角的弧长与弦长之比的渐近性质重要极限二\lim_{n\to\infty}\left1+\frac{1}{n}\right^n=e这个极限定义了数学常数e，在指数函数和对数函数理论中占据核心地位指数函数连续复利e^x的导数等于自身的性质源于这个极限数值趋近这个极限体现了连续复利的数学模型随着n增大，\left1+\frac{1}{n}\right^n逐渐接近e≈

2.

71828...扩展形式不定式与洛必达法则简介不定式是指形如\frac{0}{0}、\frac{\infty}{\infty}等无法直接求值的极限形式洛必达法则为处理这类问题提供了有效方法\frac{0}{0}型不定式\frac{\infty}{\infty}型不定式分子分母都趋于0时的极限形式分子分母都趋于无穷时的极限形式示例\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}示例\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x}洛必达法则在一定条件下\lim\frac{fx}{gx}=\lim\frac{fx}{gx}将不定式转化为导数比的极限例题利用洛必达法则计算极限9计算\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}第一次应用洛必达法则原式=\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}（仍为\frac{0}{0}型）第二次应用洛必达法则=\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2}=\frac{e^0}{2}=\frac{1}{2}验证条件•分子分母都可导•分母导数不为零•导数比的极限存在极限在连续性中的作用函数的连续性与极限概念密不可分连续性实际上是极限概念在函数性质描述中的具体应用函数连续的定义函数fx在点x₀处连续，当且仅当\lim_{x\to x_0}fx=fx_0010203函数在x₀有定义极限存在极限等于函数值fx₀存在且有确定值\lim_{x\to x_0}fx存在\lim_{x\to x_0}fx=fx_0例题10判断函数连续性判断fx=\begin{cases}\frac{x^2-1}{x-1}x\neq1\\2x=1\end{cases}在x=1处是否连续由于\lim_{x\to1}fx=2=f1，所以函数在x=1处连续极限在导数定义中的应用导数概念完全建立在极限的基础上，这体现了极限理论在微积分中的基础地位导数的极限定义或者等价地几何意义•割线斜率的极限•切线斜率•瞬时变化率物理意义导数描述了函数的瞬时变化率•位置函数的导数是速度•速度函数的导数是加速度•经济函数的导数是边际效应正是通过极限过程，我们从平均变化率过渡到了瞬时变化率，实现了从离散到连续的思维跨越课堂练习题精选通过多样化的练习题来巩固极限理论的核心概念和计算技巧，培养数学思维和解题能力基础计算题综合应用题

1.\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}

1.判断函数极限是否存在

2.\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}

2.利用夹逼定理求极限

3.\lim_{x\to\infty}\frac{2x+1}{3x-5}

3.确定函数的渐近线思考题

1.构造极限不存在的函数

2.分析连续性与可导性关系

3.探讨极限的物理应用互动环节请同学们选择一道题目进行讲解，分享解题思路和遇到的困难常见极限计算误区与注意事项在学习极限计算过程中，学生经常会遇到一些概念理解和计算方法上的误区识别和避免这些错误对于掌握极限理论至关重要直接代入错误在遇到\frac{0}{0}型时仍然直接代入，忽略了需要进一步化简的步骤正确做法先进行代数变换，消除不定式2混淆极限与函数值认为\lim_{x\to a}fx一定等于fa，忽略了函数可能在该点不连续正确理解极限与函数值是不同的概念3无穷大运算错误对∞-∞、∞/∞等不定式直接进行运算正确方法需要先化简为确定的形式忽略单侧极限对于分段函数或有跳跃间断的函数，忘记检查左右极限完整分析必须验证左右极限是否相等总结函数极限的核心要点通过系统学习，我们掌握了函数极限的完整理论体系让我们回顾和强化这些核心概念理论基础1ε-δ定义与几何意义计算方法2四则运算、夹逼定理、洛必达法则重要应用3连续性判断、导数定义、渐近线分析数学思维培养4从有限到无限、从离散到连续的思维转变，为后续微积分学习奠定基础掌握程度自测•能准确理解极限定义？•熟练计算各类极限？•正确判断极限存在性？•灵活运用极限性质？拓展阅读与学习资源推荐为了进一步深化理解和拓展知识面，推荐以下优质学习资源，帮助同学们在极限理论学习道路上走得更远经典教材在线资源学习工具•《数学分析》华东师范大学•MIT开放课件微积分课程•GeoGebra函数图像工具•《微积分学教程》菲赫金哥尔茨•Khan Academy极限专题•Wolfram Alpha计算验证•《普林斯顿微积分读本》•3Blue1Brown可视化数学•Desmos图形计算器学习建议理论学习与实践练习并重，多思考、多讨论、多总结，逐步建立完整的数学知识体系谢谢聆听！欢迎提问与讨论课堂答疑对于今天学习的内容有任何疑问，欢迎现在提出讨论课后联系邮箱math_teacher@university.edu办公室数学楼301室辅导时间每周

二、四下午2:00-4:00提供一对一答疑服务学而时习之，不亦说乎极限理论是数学分析的入门，也是通向微积分殿堂的钥匙希望同学们能够在理解概念的基础上，通过大量练习掌握计算技巧，为后续的导数、积分学习打下坚实基础数学学习需要持之以恒，相信大家一定能够在数学的海洋中收获知识的珍珠！。