实变函数教学课件

实变函数教学课件第一章实变函数概述1实变函数的定义与研究意义实变函数是以实数为自变量和函数值的函数理论，它为现代数学分析提供了严格的理论基础，在概率论、统计学、信号处理等领域具有重要应用价值2与复变函数的区别与联系实变函数侧重于实数域上的函数性质研究，而复变函数处理复平面上的解析性质两者在积分理论和函数空间理论方面存在深刻联系课程学习目标与内容框架实变函数的基本概念定义域、值域及函数的映射关系函数f:X→Y建立了定义域X与值域Y之间的对应关系在实变函数中，我们主要关注X,Y⊆ℝ的情况，研究函数在实数轴上的性质函数的极限与连续性初探函数在点x₀处的极限定义为lim_{x→x₀}fx=L，当且仅当对任意ε0，存在δ0使得|x-x₀|δ时有|fx-L|ε连续性要求极限值等于函数值直观图示函数连续与间断的对比，连续函数图像无断点，间断函数存在跳跃或空隙测度与代数简介σ-0102测度空间的基本构成Ω,F,μσ-代数的封闭性质与生成测度空间由三元组Ω,F,μ构成Ω是样本σ-代数F满足1Ω∈F；2若A∈F，则空间，F是σ-代数（可测集族），μ是定义A^c∈F；3若{A}⊆F，则⋃A∈ₙₙ在F上的测度函数这一结构为严格的积分F由任意集合族生成的σ-代数是包含该族理论奠定基础的最小σ-代数03Borelσ-代数及其重要性Borelσ-代数Bℝ是由ℝ上所有开集生成的σ-代数，包含所有开集、闭集、可数并、可数交等它是实变函数理论中最重要的σ-代数测度的构造Lebesgue区间测度的定义与性质开区间a,b的测度定义为ma,b=b-a测度具有非负性、可数可加性和平移不变性，为后续理论发展提供直观基础外测度与可测集的判定外测度m*E=inf{∑mI:E⊆⋃I}，其中{I}是开区间序列集合E可测当且仅当对任意集ₙₙₙ合A有m*A=m*A∩E+m*A∩E^c可测函数Lebesgue可测函数的定义与判别方法简单函数的逼近性质函数f:X→ℝ可测，当且仅当对任意任意非负可测函数都可以用简单函数实数α，集合{x:fxα}都是可测集序列单调递增逼近简单函数形如φ=等价条件包括{x:fx≥α},{x:fx∑aᵢχₐᵢ，其中χₐᵢ是特征函数，这为积分α},{x:fx≤α}的可测性定义提供基础典型例题解析判断函数的可测性连续函数必可测；可测函数的四则运算、复合、上下极限仍可测反例存在不可测集上的特征函数，说明并非所有函数都可测第一章小结实变函数的基本框架回顾•测度空间Ω,F,μ的三元结构•Lebesgue测度的构造方法•可测函数的定义与性质•简单函数逼近理论这些概念构成了实变函数理论的基础，为后续积分理论和函数空间的学习奠定坚实基础第二章积分理论LebesgueRiemann积分的局限性Lebesgue积分的定义与直观理解简单函数积分的构造过程Riemann积分要求函数在几乎所有点连续，对Lebesgue积分按函数值域分割，而非定义对简单函数φ=∑aᵢχₐᵢ，定义积分为∫φdμ=∑aᵢ于具有可数个间断点的函数处理困难，无法处域先定义简单函数积分∫φdμ=∑aᵢμAᵢ，再μAᵢ这一定义具有良好的线性性和单调性，理某些重要的函数类通过逼近得到一般可测函数的积分为一般积分奠定基础积分的性质Lebesgue单调性、线性与可加性Fatou引理与单调收敛定理MCT若f≤g a.e.，则∫fdμ≤∫gdμ（单调性）；∫af+bgdμ=a∫fdμ+b∫gdμFatou引理∫liminf f dμ≤liminfₙ（线性性）；对可测集的并有相应可∫f dμMCT若{f}单调递增且ₙₙ加性质上有界，则lim∫f dμ=∫lim f dμₙₙ例题利用MCT计算积分极限考虑f x=min{n,x}在[0,∞上的积ₙ分由MCT，lim∫₀^∞min{n,x}dx=∫₀^∞x dx（当后者收敛时）主导收敛定理DCT定理陈述与应用条件设{f}是可测函数序列，满足ₙ

1.f→f a.e.当n→∞ₙ

2.存在可积函数g使得|f|≤g a.e.对所有nₙ则f可积，且lim_{n→∞}∫f dμ=∫fdμₙ证明思路简述利用Fatou引理分别处理上极限和下极限，结合控制函数的可积性得到结论关键在于控制函数的存在保证了一致可积性积分与概率论的联系Lebesgue概率空间与测度空间的对应概率空间Ω,F,P是特殊的测度空间，其中PΩ=1事件对应可测集，概率测度满足测度的所有性质，为随机现象提供严格数学基础随机变量的可测性与分布函数随机变量本质上是可测函数X:Ω→ℝ分布函数Fx=PX≤x诱导相应的Lebesgue-Stieltjes测度，连接概率论与实变函数理论例题计算随机变量的期望值随机变量X的期望E[X]=∫X dP，这正是X关于概率测度P的Lebesgue积分对于连续分布，E[X]=∫x fxdx，其中f是概率密度函数第二章小结Lebesgue积分的核心思想通过测度理论建立更一般的积分概念，解决Riemann积分的局限性按值域分割的思想使得积分理论更加完善，能处理更广泛的函数类重要定理与应用场景总结•单调收敛定理处理递增函数序列•主导收敛定理交换极限与积分•Fatou引理处理下极限情况•在概率论中的广泛应用第三章函数的极限与收敛点态收敛与一致收敛的区别点态收敛对每个x，f x→fx一致收敛存在N，当nN时，sup|f x-ₙₙfx|ε对所有x成立一致收敛蕴含点态收敛但反之不真Egorov定理与Lusin定理Egorov定理有限测度集上的点态收敛几乎处处等价于几乎一致收敛Lusin定理可测函数几乎处处等于某个连续函数直观图示不同收敛类型的示意图展示了点态收敛可能不保持函数性质，而一致收敛能更好地保持连续性等性质函数列的积分交换极限问题交换积分与极限的条件例题验证DCT与MCT的应用何时可以交换∫lim f=lim∫f？这是分析学中的核心问题需要适当具体验证何时可以应用主导收敛定理或单调收敛定理来保证积分与极ₙₙ的控制条件或收敛性质限的交换，分析控制函数的选择123反例说明Riemann积分的不足考虑函数列f x=n²x e^-nx²在[0,1]上点态收敛到0，但ₙ∫₀¹f xdx=n/2→∞，显示交换的困难ₙ定理简介Radon-Nikodym01绝对连续测度与导数定义测度ν关于μ绝对连续（记作ν≪μ），当且仅当μE=0蕴含νE=0这是测度间的一种依赖关系02定理陈述与意义若ν≪μ且都是σ-有限的，则存在可积函数f使得对任意可测集E，νE=∫ₑfdμ函数f称为Radon-Nikodym导数应用示例概率密度函数的存在性在概率论中，若随机变量X的分布关于Lebesgue测度绝对连续，则存在概率密度函数fx，使得PX∈E=∫ₑfxdx这正是Radon-Nikodym定理的应用第三章小结一致收敛点态收敛保持连续性，更强的收敛条件逐点极限，最基本的收敛概念测度收敛几乎处处收敛的测度论刻画R-N定理极限交换测度导数的存在性理论积分与极限交换的条件收敛类型的理解与应用不同收敛概念各有特点，Radon-Nikodym定理揭示了测度间的深层关系，在概率论和调和分析中具有核心价值第四章函数的变差与空间BV12有界变差函数的定义Jordan分解定理函数f在区间[a,b]上有界变差，若任何有界变差函数都可以表示为两个Vf,[a,b]=sup∑|fxᵢ-fxᵢ₋₁|单调递增函数的差f=g-h，其中g,∞，其中上确界取遍所有分割有界h单调递增这提供了BV函数的结构变差函数类记为BV[a,b]刻画3变差函数的性质与应用变差函数Vx=Vf,[a,x]单调递增BV函数几乎处处可导，导数可积但积分可能小于函数的增量，体现了跳跃间断的贡献单调函数与积分Lebesgue-Stieltjes单调函数的测度诱导单调递增函数g诱导Lebesgue-Stieltjes测度μₑ，对区间a,b]定义μₑa,b]=gb-gaLebesgue-Stieltjes积分定义关于测度μₑ的积分∫fdμₑ称为Lebesgue-Stieltjes积分，记作∫f dg或∫fxgxdx（当g存在时）第四章小结变差函数与积分的联系有界变差函数通过Jordan分解可表示为单调函数的差，这建立了BV函数与Lebesgue-Stieltjes积分的深刻联系变差概念量化了函数的振荡程度重要定理回顾•Jordan分解定理BV函数的结构刻画•BV函数的可导性几乎处处可导•Lebesgue-Stieltjes积分广义积分概念•测度诱导从函数到测度的桥梁第五章空间与收敛L^p Lp12L^p空间定义与范数性质Hölder不等式与Minkowski不等式对1≤p∞，定义Lᵖμ={f:∫|f|ᵖdμ∞}，范数‖f‖=∫|f|ᵖdμ^1/p Hölder不等式‖fg‖₁ₚL^∞空间定义为本质有界函数，范≤‖f‖‖g‖ₑ，其中1/p+1/q=1ₚ数为本质上确界Minkowski不等式‖f+g‖≤‖f‖ₚₚ+‖g‖，保证Lᵖ空间是赋范线性空ₚ间3L^p收敛的几种形式Lᵖ收敛、几乎处处收敛、测度收敛之间的关系Lᵖ收敛蕴含测度收敛，但与点态收敛没有直接包含关系空间的完备性L^p赋范空间结构1Lᵖ空间在‖·‖范数下构成赋范线性空间，满足范数的齐次性、三角不等式和正定性ₚ完备性证明要点2证明Lᵖ空间中的Cauchy序列必收敛关键步骤构造子序列，证明几乎处处收敛，利用Fatou引理得到极限函数属于LᵖBanach空间结构3完备的赋范线性空间称为Banach空间Lᵖ空间是重要的Banach空间例子，在泛函分析中占据核心地位典型例题证明函数列{f}在L²空间中收敛需验证‖f-f‖→0当n,m→∞，然后找到极限函数并证明收敛性ₙₙₘ₂第五章小结Lᵖ空间基本不等式完备赋范线性空间的典型例子Hölder与Minkowski不等式完备性收敛性Banach空间的核心性质多种收敛概念的关系L^p空间的理论基础这些空间在现代分析学中具有核心地位，为偏微分方程、调和分析、概率论等领域提供重要工具关键不等式保证了空间的良好性质第六章傅里叶变换与实变函数傅里叶变换的定义与性质1对f∈L¹ℝ，傅里叶变换定义为f̂ξ=∫fxe^-2πixξdx具有线性、平移、调制、卷积等重要性质L^1与L^2函数的傅里叶分析2L¹函数的傅里叶变换连续有界；L²函数的傅里叶变换是L²上的等距同构（Plancherel定理），保持内积和范数例题傅里叶变换的计算与应用3计算高斯函数e^-πx²的傅里叶变换，结果仍是高斯函数利用Plancherel定理求解∫₋∞^∞sin x/x²dx=π实变函数在信号处理中的应用信号的分解与重构信号可视为L²函数，傅里叶变换将时域信号分解为频域分量逆变换实现频域到时域的重构，这是信号处理的基础变换域的滤波技术通过在频域修改傅里叶变换实现滤波低通滤波保留低频分量，高通滤波去除低频噪声，带通滤波选择特定频段案例分析实际信号的傅里叶处理语音信号的频谱分析将语音信号转换为频域，识别基频和谐波分量，实现语音识别和压缩噪声去除通过滤波器在频域实现第六章小结1傅里叶变换的实变函数视角从L¹和L²空间的角度理解傅里叶变换，Plancherel定理建立了时2理论与应用结合域和频域的等距关系实变函数傅里叶变换在信号处理、图像处理论为傅里叶分析提供严格基理、偏微分方程求解中的广泛应础用理论的严格性保证了应用的可靠性，体现了纯数学与应用数学的完美结合典型例题综合演练

（一）测度与可测函数判定例题1设E={x∈[0,1]:x的二进制展开中1的个数为偶数}，证明E是可测集1并计算mE解析利用可数个可测集的运算保持可测性，通过对称性论证mE=1/2Lebesgue积分计算例题2计算∫₀^∞1-cos x/x²dx2解析利用主导收敛定理，构造函数序列f x=1-cos xχ[1/n,n]x/x²，ₙ找到合适的控制函数收敛定理应用例题3设f x=ne^-nx，证明在[0,∞上点态收敛到0，但∫₀^∞3ₙf xdx=1ₙ解析说明为何不能应用主导收敛定理，分析控制函数不存在的原因典型例题综合演练

（二）Radon-Nikodym定理应用例题4设μ是[0,1]上的Lebesgue测度，νE=∫ₑx dx证明ν≪μ并找到Radon-Nikodym导数解析验证绝对连续性，直接计算得到dν/dμ=x变差函数与积分例题5计算fx=x sin1/x在[0,1]上的变差，其中f0=0解析分析函数在0附近的振荡性，利用级数估计证明变差无界L^p空间问题例题6证明L²[0,1]中不存在可数的稠密子集解析利用Baire纲定理，证明L²空间是不可分的完全度量空间课程复习与知识体系梳理应用1信号处理、概率论高级理论2Lᵖ空间、傅里叶变换积分理论3Lebesgue积分、收敛定理测度论基础4σ-代数、可测函数、测度空间章节知识点串联重点难点提示•测度论→积分理论→函数空间掌握各种收敛概念的区别与联系；理解主导收敛定理的应用条件；熟练运用Lᵖ空间的性质解决问题•可测性→可积性→收敛性•理论基础→定理应用→实际问题学习建议与资源推荐多做习题巩固理论，注重证明技巧的训练，关注理论在其他数学分支中的应用参考书目与学习资源《实变函数与泛函分析》—《实变函数教程》——陈纪MIT OpenCourseWare实变相关中文讲义与在线资料链—王道俊修函数公开课推荐接经典中文教材，理论阐述清晰，例华东师范大学数学系教材，内容全提供英文视频讲座和完整课件，有北京大学、复旦大学等高校的在线题丰富，适合初学者系统学习实变面，证明严谨，包含丰富的习题和助于从国际视角理解实变函数理讲义，提供丰富的补充材料和习题函数理论的基础知识应用实例论，补充不同的证明方法解答，便于深入学习致谢与答疑联系方式与后续学习支持办公室数学楼516室办公时间周

二、周四14:00-16:00感谢聆听，欢迎提问邮箱realanalysis@university.edu.cn感谢各位同学的专注学习！实变函数理论博大精深，希望通过这次系统课程网站提供补充资料、习题解答和讨论论坛，欢迎充分利用这些的讲解，大家对这一重要数学分支有了更深入的理解资源深化学习理论学习需要反复思考和练习，欢迎大家在课后继续探索，遇到问题随时交流讨论。