有关极限考研试题及答案

有关极限考研试题及答案

一、引言极限是考研数学（尤其是高等数学）的基础内容，贯穿函数、导数、积分等核心知识点，每年考研中均占一定分值（通常10-15分）为帮助考研学生系统巩固极限知识，提升解题能力，本文整理了极限相关典型试题及答案，涵盖选择、多选、判断、简答四种题型，试题难度贴合考研要求，答案简洁实用，供复习参考

二、单项选择题（共30题，每题1分）当x\to0时，下列无穷小量中与x等价的是（）A.\sin2xB.\ln1+xC.\sqrt{1+x}-1D.x^2极限\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}的值为（）A.0B.\frac{1}{2}C.1D.2数列极限\lim_{n\to\infty}\left1+\frac{2}{n}\right^n的值为（）A.eB.e^2C.e^3D.e^4函数fx=\frac{x^2-1}{x-1}在x=1处极限值为（）A.1B.2C.3D.不存在极限\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x-1}{2x^2-5}的值为（）A.0B.\frac{3}{2}C.1D.不存在当x\to0时，\sqrt{1+x}-1是x的（）无穷小量A.等价B.高阶C.低阶D.同阶非等价极限\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}的值为（）第1页共9页A.0B.\frac{1}{2}C.1D.2函数fx=\frac{\sin x}{x}在x=0处无定义，则\lim_{x\to0}fx的值为（）A.0B.1C.不存在D.2极限\lim_{n\to\infty}\left1-\frac{1}{n^2}\right^n的值为（）A.0B.1C.eD.e^{-1}当x\to0^+时，与\sqrt{x}等价的无穷小量是（）A.xB.\sin\sqrt{x}C.x^2D.\ln1+\sqrt{x}极限\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{x-1}的结果为（）A.1B.2C.3D.4若\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=4，则x\to2时，x^2-4是x-2的（）无穷小量A.等价B.同阶非等价C.高阶D.低阶极限\lim_{x\to\infty}\frac{x+\sin x}{x}的值为（）A.0B.1C.\inftyD.不存在函数fx=\frac{|x|}{x}在x=0处的左极限为（）A.1B.-1C.0D.不存在极限\lim_{x\to0}\frac{\tan x-x}{x^3}的结果为（）A.0B.\frac{1}{3}C.\frac{1}{2}D.1当x\to0时，\sin x-x是x^3的（）无穷小量A.等价B.高阶C.低阶D.同阶非等价极限\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+\dots+n}{n^2}的值为（）第2页共9页A.0B.\frac{1}{2}C.1D.2若\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=a，则a=（）A.0B.1C.3D.不存在极限\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}的值为（）A.0B.1C.2D.不存在函数fx=\frac{x^2-4}{x-2}在x=2处（）A.连续B.有定义C.极限存在D.极限不存在极限\lim_{x\to\infty}\left1+\frac{1}{x}\right^{2x}的值为（）A.eB.e^2C.e^3D.e^4当x\to0时，\arcsin x是x的（）无穷小量A.等价B.高阶C.低阶D.同阶非等价极限\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}的值为（）A.0B.\frac{1}{2}C.1D.2数列a_n=\left1+\frac{1}{n}\right^n当n\to\infty时（）A.收敛于eB.收敛于1C.发散D.无界极限\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}的值为（）A.0B.\frac{1}{2}C.1D.2若\lim_{x\to1}\frac{x^2+ax+b}{x-1}=2，则a+b=（）A.-2B.0C.2D.4极限\lim_{x\to\infty}\frac{2x^3-3x+1}{x^2+2x}的值为（）第3页共9页A.0B.1C.2D.\infty函数fx=\frac{1}{x-1}在x=1处（）A.左极限存在B.右极限存在C.极限存在D.无定义极限\lim_{n\to\infty}\left1+\frac{1}{n+1}\right^n的值为（）A.eB.e^2C.e^{-1}D.1当x\to0时，\tan x-\sin x是x^3的（）无穷小量A.等价B.高阶C.低阶D.同阶非等价

三、多项选择题（共20题，每题2分）下列极限存在的有（）A.\lim_{x\to0}\frac{1}{2^x-1}B.\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}C.\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}D.\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{|x|}关于无穷小量，下列说法正确的有（）A.无穷小量是一个函数B.无穷小量与有界函数的乘积仍是无穷小量C.无穷小量的商一定是1D.常数0是无穷小量极限\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x}{x^2-1}的性质有（）A.极限存在B.极限值为3C.当x\to\infty时收敛D.是未定式下列极限计算正确的有（）A.\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1B.\lim_{x\to0}1+x^{1/x}=eC.\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1D.\lim_{x\to\infty}\left1+\frac{1}{x}\right^x=e第4页共9页当x\to0时，与x等价的无穷小量有（）A.\sin xB.\tan xC.\ln1+xD.e^x-1极限\lim_{x\to0}fx存在的条件有（）A.左极限存在B.右极限存在C.左极限等于右极限D.函数在x=0处有定义下列函数在x=0处连续的有（）A.fx=\frac{\sin x}{x}（补充定义f0=1）B.fx=|x|C.fx=x^2D.fx=\frac{1}{x}关于数列极限，下列说法正确的有（）A.收敛数列一定有界B.有界数列一定收敛C.单调数列一定收敛D.收敛数列的极限唯一极限\lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{a^x}（n0,a1）的结果为（）A.0B.\inftyC.1D.不存在下列极限中，属于\frac{0}{0}型未定式的有（）A.\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}B.\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}C.\lim_{x\to0}\frac{\ln1+x}{x}D.\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}当x\to0时，下列无穷小量中是x的高阶无穷小量的有（）A.x^2B.x+x^2C.\sqrt{x}D.x^3极限\lim_{x\to0}\frac{1-\cos2x}{x^2}的计算方法有（）A.等价无穷小替换B.洛必达法则C.泰勒展开D.重要极限公式第5页共9页关于函数极限的性质，下列说法正确的有（）A.唯一性B.局部有界性C.局部保号性D.存在性数列a_n=-1^n的性质有（）A.发散B.有界C.单调D.无极限极限\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x-1}的结果及性质有（）A.极限不存在B.极限为\inftyC.当x\to\infty时无界D.当x\to\infty时收敛下列极限中，可用等价无穷小替换计算的有（）A.\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}B.\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}C.\lim_{x\to0}\frac{\ln1+x^2}{x}D.\lim_{x\to0}\frac{\sinx^2}{x}函数fx=\frac{x^2-4}{x-2}在x=2处的情况有（）A.无定义B.极限存在C.可去间断点D.连续当x\to0时，下列函数中是无穷小量的有（）A.x^2B.\sin xC.\frac{1}{x}D.e^x-1极限\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}的计算结果及说明正确的有（）A.结果为-\frac{1}{6}B.可通过泰勒展开计算C.属于\frac{0}{0}型未定式D.可直接用洛必达法则计算关于复合函数的极限，下列说法正确的有（）A.若\lim_{u\to a}fu=A，且\lim_{x\to b}gx=a，则\lim_{x\to b}fgx=AB.若\lim_{u\to a}第6页共9页fu=A，且\lim_{x\to b}gx=a，则\lim_{x\to b}fgx可能不存在C.复合函数的极限等于函数极限的复合D.复合函数的极限与内层函数的极限无关

四、判断题（共20题，每题1分）极限\lim_{x\to0}\frac{1}{2^x-1}存在（）无穷小量是一个很小的数（）若\lim_{x\to a}fx=A，则fx在x=a处一定连续（）数列a_n=\frac{1}{n}收敛于0（）极限\lim_{x\to\infty}\frac{x+1}{x}=1（）当x\to0时\sin x与x是等价无穷小量（）函数fx=\frac{1}{x}在x=0处无定义，极限不存在（）极限\lim_{x\to0}1+x^{1/x}=e（）若\lim_{x\to a}fx=A，\lim_{x\to a}gx=B，则\lim_{x\to a}[fx+gx]=A+B（）无穷小量的倒数是无穷大量（）极限\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=0（）单调有界数列一定收敛（）若\lim_{x\to a}fx=A，则fx在x=a处一定有定义（）当x\to0时，\ln1+x与x是等价无穷小量（）极限\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x}=\infty（）函数fx=|x|在x=0处连续（）第7页共9页若\lim_{x\to a}fx=\infty，则fx在x=a处无界（）数列a_n=-1^n收敛于0（）极限\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1（）当x\to0时，\tan x-\sin x是x^3的高阶无穷小量（）

五、简答题（共2题）计算极限\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}（5分）已知极限\lim_{x\to\infty}\left1+\frac{k}{x}\right^{2x}=e^3，求常数k的值（5分）

六、参考答案

一、单项选择题B

2.B

3.B

4.B

5.B

6.A

7.B

8.B

9.B

10.DC

12.B

13.B

14.B

15.B

16.D

17.B

18.C

19.B

20.CB

22.A

23.B

24.A

25.B

26.A

27.D

28.D

29.A

30.D

二、多项选择题BC

2.ABD

3.ABC

4.ABCD

5.ABCD

6.ABC

7.ABC

8.AD

9.AB

10.ACAD

12.ABC

13.ABC

14.ABC

15.BC

16.AB

17.ABC

18.ABD

19.ABC

20.AB

三、判断题×

2.×

3.×

4.√

5.√

6.√

7.×

8.√

9.√

10.××

12.√

13.×

14.√

15.√

16.√

17.√

18.×

19.√

20.×第8页共9页

四、简答题解利用泰勒展开式e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+ox^2，代入得\lim_{x\to0}\frac{1+x+\frac{x^2}{2}+ox^2-1-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^2}{2}+ox^2}{x^2}=\frac{1}{2}解利用重要极限\lim_{x\to\infty}\left1+\frac{a}{x}\right^x=e^a，得\lim_{x\to\infty}\left1+\frac{k}{x}\right^{2x}=e^{2k}=e^3，故2k=3，解得k=\frac{3}{2}说明本文试题覆盖极限核心知识点，答案简洁准确，适合考研学生巩固练习实际复习中建议结合教材例题和真题，加深对极限概念、性质及计算方法的理解第9页共9页。