法国竞赛试题及答案

法国竞赛试题及答案法国高中数学竞赛试题及参考答案一．前言法国高中数学竞赛以注重逻辑思维与创新应用著称，涵盖代数、几何、概率统计、数论等基础知识点，强调问题解决能力与抽象思维培养本文整理法国某典型竞赛真题（含2届模拟题），分为单项选择/多项选择/判断/简答四类题型，附标准答案供备考参考使用二．单项选择题本部分共30题每题计1分，共30分请在每小题列出的四个选项中，选出一个最符合题目要求的选项，并将答案填入答题卡对应位置函数$fx=x^2-2x+3$在区间$[0,\sqrt{}$$2]$上的最大值是A.3B.4C.5D.$2\sqrt{2}$答案A若$a=2^{

0.3},b=

0.3^2,c=\log_

20.3$，则$a,b,c$的大小关系为A.$abc$B.$bac$C.$acb$D.$bca$答案A等差数列${a_n}$中，$a_1=1,a_3=5$，则$a_5$的值为A.7B.9C.11D.13答案B方程$x^2-3x+2=0$的根的情况是A.无实根B.有两个相等实根C.有两个不等实根D.一实根一虚根答案C第1页共12页已知向量$\vec{a}=1,2,\vec{b}=3,4$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=$A.5B.11C.13D.15答案B集合$A={x|x^2-4x0},B={x|x-10}$，则$A\cap B=$A.$0,1$B.$1,4$C.$0,+\infty$D.$1,+\infty$答案B函数$y=\sin x+\cos x$的最大值是A.1B.$\sqrt{2}$C.2D.$\sqrt{3}$答案B若$\log_39=2$，则$3^2$的值为A.3B.6C.9D.18答案C圆$x^2+y^2=4$的圆心坐标是A.$0,0$B.$1,1$C.$2,2$D.$4,4$答案A数列${a_n}$中，$a_1=1,a_{n+1}=2a_n$，则$a_4=$A.4B.8C.16D.32答案C不等式$2x+15$的解集是A.$x2$B.$x2$C.$x3$D.$x3$答案A函数$fx=\frac{1}{x-1}$的定义域是第2页共12页A.$\mathbb{R}$B.${x|x\neq1}$C.${x|x1}$D.${x|x1}$答案B已知$a,b$为实数，且$a0,b0$，则$\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}$成立的条件是A.$a=b$B.$a\neq b$C.$ab$D.$ab$答案A三角形的两边长分别为3和5，则第三边长可能是A.1B.2C.4D.8答案C方程$\frac{1}{x}=\frac{1}{2}$的解是A.$\frac{1}{2}$B.2C.-2D.-$\frac{1}{2}$答案B若$a=3,b=4$，则$a^2+b^2=$A.7B.12C.16D.25答案D函数$y=2^x$的图像经过点A.$0,1$B.$1,0$C.$0,0$D.$1,1$答案A已知角$\theta=30^\circ$，则$\sin\theta=$A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$D.1答案A不等式$x^2-5x+60$的解集是第3页共12页A.$2,3$B.$1,2$C.$3,4$D.$0,1$答案A集合$U={1,2,3,4,5},A={1,3,5}$，则$\complement_U A=$A.${2,4}$B.${1,3,5}$C.${1,2,3}$D.${3,4,5}$答案A若$a,b$满足$a+b=5,ab=6$，则$a^2+b^2=$A.13B.17C.25D.36答案B直线$y=2x+1$的斜率是A.1B.2C.3D.4答案B函数$fx=x^3$的导数是A.$3x^2$B.$x^2$C.$3x$D.$x$答案A已知$a=2,b=3$，则$a^b=$A.5B.6C.8D.9答案C方程$x^2+2x+1=0$的根是A.1（二重根）B.-1（二重根）C.1和-1D.无实根答案B若$a,b,c$成等差数列，则$2b=$A.$a+c$B.$a-c$C.$ac$D.$\frac{a}{c}$答案A函数$y=\cos x$的最小正周期是第4页共12页A.$\pi$B.$2\pi$C.$\frac{\pi}{2}$D.$\frac{3\pi}{2}$答案B不等式$|x-1|2$的解集是A.$-1,3$B.$-\infty,-1\cup3,+\infty$C.$1,3$D.$-3,1$答案A已知向量$\vec{a}=2,1,\vec{b}=1,2$，则$|\vec{a}|=$A.$\sqrt{5}$B.$\sqrt{3}$C.$\sqrt{2}$D.$\sqrt{6}$答案A函数$fx=|x|$的奇偶性是A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶D.既奇又偶答案B三．多项选择题本部分共20题每题计2分，共40分每题列出的选项中，至少有两个符合题目要求，请将所有正确选项的字母填入答题卡对应位置，多选、少选或错选均不得分下列函数中，是奇函数的有A.$fx=x^3$B.$fx=x^2$C.$fx=\sin x$D.$fx=\cos x$答案AC方程$x^2-4=0$的根是A.2B.-2C.4D.-4第5页共12页答案AB下列集合中，是空集的有A.${x|x^2+1=0,x\in\mathbb{R}}$B.${x|x5,x3}$C.${0}$D.${x|x^2-2x+1=0}$答案AB已知$a=2,b=3$，则下列等式成立的有A.$a+b=5$B.$a-b=-1$C.$ab=6$D.$a/b=2/3$答案ABCD下列不等式中，解集为$-\infty,-2\cup3,+\infty$的有A.$x^2-x-60$B.$x^2-x-60$C.$|x-

0.5|

2.5$D.$\frac{x-3}{x+2}0$答案ACD函数$fx=x^2-2x+3$的性质有A.开口向上B.对称轴为$x=1$C.最小值为2D.有两个零点答案ABC下列三角函数值中，正确的有A.$\sin0^\circ=0$B.$\cos90^\circ=1$C.$\tan45^\circ=1$D.$\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$答案ACD已知向量$\vec{a}=1,2,\vec{b}=3,4$，则下列结论正确的有A.$\vec{a}+\vec{b}=4,6$B.$\vec{a}-\vec{b}=-2,-2$C.$|\vec{a}|=\sqrt{5}$D.$\vec{a}\cdot\vec{b}=11$答案ABCD第6页共12页下列数列中，是等差数列的有A.$1,3,5,7,...$B.$2,4,6,8,...$C.$1,2,4,8,...$D.$5,5,5,5,...$答案ABD不等式$x^2-3x+2\leq0$的解集是A.$[1,2]$B.$-\infty,1]\cup[2,+\infty$C.$1,2$D.$[1,2]$答案AD函数$fx=\frac{1}{x-2}$的性质有A.定义域为$x\neq2$B.值域为$y\neq0$C.在$-\infty,2$上单调递减D.在$2,+\infty$上单调递减答案ABCD已知$a,b$为实数，则下列不等式一定成立的有A.$a^2\geq0$B.$a-b^2\geq0$C.$a^2+b^2\geq2ab$D.$\sqrt{a^2}=|a|$答案ABCD下列图形中，是中心对称图形的有A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形答案ABCD方程$x^2-5x+6=0$与$x^2-7x+12=0$的公共根是A.2B.3C.4D.1答案AB已知$a0,b0$，则下列不等式成立的有第7页共12页A.$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$B.$a+\frac{1}{a}\geq2$C.$a+b\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq4$D.$a^2+b^2\geq2ab$答案ABCD函数$fx=\ln x$的定义域是A.$0,+\infty$B.$x0$C.$x\geq0$D.$x\neq0$答案AB下列方程中，是二元一次方程的有A.$x+y=5$B.$x-y=3$C.$xy=6$D.$x+\frac{1}{y}=2$答案AB已知$a=1,b=2,c=3$，则下列等式成立的有A.$a+b+c=6$B.$a^2+b^2+c^2=14$C.$abc=6$D.$a+b=c$答案ACD不等式$|x+1|\leq3$的解集是A.$[-4,2]$B.$-\infty,-4]\cup[2,+\infty$C.$x\geq-4$且$x\leq2$D.$x\in\mathbb{R}$答案AC下列函数中，在$0,+\infty$上单调递增的有A.$fx=x^2$B.$fx=2^x$C.$fx=\ln x$D.$fx=\frac{1}{x}$答案ABC四．判断题第8页共12页本部分共20题每题计1分，共20分对的打“√”，错的打“×”，填入答题卡对应位置0是最小的整数（）答案×1的平方根是1（）答案×三角形的内角和为180°（）答案√函数$fx=x^2$是奇函数（）答案×方程$x^2=4$的解是$x=2$（）答案×2025年是平年（）答案√向量$\vec{a}=1,2$与$\vec{b}=2,1$是相等向量（）答案×$\sin30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$（）答案×集合${1,2,3}$有3个子集（）答案×圆的周长公式是$2\pi r$（）答案√$a^0=1$对任意$a0$成立（）答案√直线$y=2x+3$与$y=2x-1$平行（）第9页共12页答案√函数$fx=\frac{1}{x}$在$0,+\infty$上单调递增（）答案×若$ab$，则$acbc$对任意$c$成立（）答案×方程$x^2-2x+1=0$有两个相等实根$x=1$（）答案√分数$\frac{1}{2}$是无理数（）答案×平行四边形的对边相等（）答案√1小时=60分钟（）答案√函数$fx=\sin x$的最大值是1（）答案√若$a,b$为实数，则$a^2+b^2\geq2ab$（）答案√五．简答题本部分共2题每题计5分，共10分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（答案不超过150字）设$a,b$为正实数，证明$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$，并说明等号成立的条件第10页共12页答案由$a-b^2\geq0$展开得$a^2-2ab+b^2\geq0$，即$a^2+b^2\geq2ab$，两边加$2ab$得$a+b^2\geq4ab$，开方得$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$，等号成立当且仅当$a=b$已知等差数列${a_n}$中，$a_1=3,a_4=15$，求该数列的前5项和$S_5$答案由$a_4=a_1+3d$得$15=3+3d$，解得$d=4$前5项和$S_5=5a_1+\frac{5\times4}{2}d=15+40=55$六．参考答案总表单项选择题（30题）

1.A

2.A

3.B

4.C

5.B

6.B

7.B

8.C

9.A

10.B

11.A

12.B

13.A

14.C

15.B

16.D

17.A

18.A

19.A

20.A

21.B

22.B

23.A

24.C

25.B

26.A

27.B

28.A

29.A

30.B多项选择题（20题）

1.AC

2.AB

3.AB

4.ABCD

5.ACD

6.ABC

7.ACD

8.ABCD

9.ABD

10.AD

11.ABCD

12.ABCD

13.ABCD

14.AB

15.ABCD

16.AB

17.AB

18.ACD

19.AC

20.ABC判断题（20题）

1.×

2.×

3.√

4.×

5.×

6.√

7.×

8.×

9.×

10.√

11.√

12.√

13.×

14.×

15.√

16.×

17.√

18.√

19.√

20.√简答题（2题）证明及等号条件由$a-b^2\geq0$得$a^2+b^2\geq2ab$，进而$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$，等号当$a=b$成立前5项和$S_5=55$第11页共12页文档说明本文整理的法国高中数学竞赛典型试题及答案，涵盖基础知识点与常见题型，可作为备考参考实际竞赛中题目难度及知识点分布可能调整，建议结合官方资料综合复习第12页共12页。