理论力学教学课件答案

理论力学教学课件答案汇编第一章质点运动学基础质点运动的描述位置矢量速度矢量加速度矢量描述质点在空间中的位置，用矢量r t表位置矢量对时间的一阶导数，v=dr/dt速度矢量对时间的一阶导数，a=dv/dt⃗⃗⃗⃗⃗示•瞬时速度方向轨迹切线方向•法向加速度改变速度方向•直角坐标系r=xi+yj+zk⃗⃗⃗⃗•速率|v|=√vₓ²+vᵧ²+vᵤ²⃗•位移Δr=r t₂-r t₁⃗⃗⃗典型题目解析质点匀加速运动题目描述详细解答一质点从静止开始做匀加速直线运动，加速度为a已知条件v₀=0,a=2m/s²，求=2m/s²

1.第3秒末的速度大小1第3秒末速度

2.前3秒内的位移v₃=0+2×3=

63.第3秒内的位移m/s2前3秒位移x₃解题思路=0×3+½×2×3²=9m运动学基本方程•v=v₀+at•x=v₀t+½at²•v²=v₀²+2ax第二章质点动力学牛顿运动定律回顾牛顿第一定律惯性定律物体在不受外力或合外力为零时，保持静止状态或匀速直线运动状态数学表达当ΣF=0时，v=常矢量⃗⃗牛顿第二定律动力学基本定律物体加速度与作用在物体上的合外力成正比，与物体质量成反比数学表达F=ma或F=dp/dt⃗⃗⃗⃗牛顿第三定律作用反作用定律两个物体间的作用力和反作用力大小相等、方向相反、作用在不同物体上典型题目解析斜面上的质点受力分析题目设置完整解答过程质量为m=2kg的物体放在倾角θ=30°的光滑斜面上，求物体沿斜面下滑的加速度受力分析•重力mg=2×10=20N•重力沿斜面分量mg sinθ•重力垂直斜面分量mg cosθ•支持力N=mg cosθ关键步骤

1.建立坐标系（沿斜面向下为x轴正方向）第三章质点系运动质点系质心运动定理质心定义质心运动方程质心运动守恒质点系质心是系统质量分布的几何中心，其位置质心的运动仅由外力决定，与内力无关这是质当系统不受外力或外力矢量和为零时，质心保持由各质点位置和质量决定心运动的基本特征静止或匀速直线运动质心坐标r c=Σmᵢrᵢ/M，其中M=Σmᵢ运动方程Ma c=F ext，其中F ext是系⃗⃗⃗⃗⃗统所受外力的矢量和典型题目解析两质点系统质心运动题目描述两个质点m₁=1kg，m₂=2kg，分别位于x₁=0，x₂=3m处它们之间存在相互作用力，但系统不受外力求质心位置和质心运动特点0102计算质心位置分析外力情况根据质心定义公式计算初始质心位置系统不受外力作用，F ext=0⃗xc=m₁x₁+m₂x₂/m₁+m₂=根据质心运动定理，质心将保持匀速直线1×0+2×3/1+2=2m运动或静止03得出结论质心位置固定在x=2m处第四章刚体运动学刚体转动基本概念角运动学量转动运动学关系刚体绕固定轴转动的运动学方程类似于质点直线运动角位移θ角速度ω=ω₀+αt刚体绕固定轴转过的角度角位移θ=ω₀t+½αt²单位弧度rad角速度平方ω²=ω₀²+2αθ线量与角量关系角速度ω•v=ωr（线速度）•a=αr（切向加速度）ω=dθ/dtₜ单位rad/s角加速度αα=dω/dt=d²θ/dt²单位rad/s²典型题目解析转动惯量计算题目计算均匀圆盘绕中心轴的转动惯量半径为R、质量为M的均匀圆盘，求其绕通过圆心且垂直盘面轴的转动惯量积分法求解过程建立坐标系以圆盘中心为原点，将圆盘分成同心圆环微元选择选择半径为r，厚度为dr的圆环作为微元微元质量dm=M/πR²·2πr·dr转动惯量积分常见转动惯量公式I=∫r²dm=∫₀ᴿr²·2M/R²r·drI=2M/R²∫₀ᴿr³dr=2M/R²·[r⁴/4]₀ᴿ•细杆绕端点I=⅓ML²•细杆绕中点I=1/12ML²•实心球I=⅖MR²最终结果I=½MR²这是圆盘绕中心轴转动惯量的标准公式第五章刚体动力学刚体动力学研究力矩与角加速度的关系，以及角动量守恒等重要定律刚体转动动力学方程转矩定义转动定律角动量定理转矩M=r×F基本方程M=Iα角动量L=Iω⃗⃗⃗⃗⃗转矩是使物体产生转动的力学量，其大小等刚体绕固定轴转动时，合外力矩等于转动惯角动量定理M=dL/dt⃗⃗于力臂乘以力的大小量与角加速度的乘积•角动量守恒M=0时，L=常量•转矩方向右手定则确定•类比F=ma•应用陀螺、花样滑冰等•单位N·m•适用绕固定轴转动典型题目解析陀螺运动分析题目陀螺进动角速度计算质量为m、半径为r的均匀圆盘陀螺，以角速度ω₀绕其轴自转当陀螺轴与竖直方向成θ角时，求其进动角速度Ω01确定角动量自转角动量L₀=I₀ω₀=½mr²ω₀方向沿陀螺轴向上02分析外力矩重力矩M=mgl sinθ方向垂直于角动量和重力的平面03应用角动量定理M=dL/dt=LΩsinθ进动角速度Ω=mgl/I₀ω₀=2mgl/mr²ω₀第六章振动理论振动是自然界普遍存在的现象，简谐振动是最基本的振动形式简谐振动基本模型运动方程推导牛顿第二定律ma=-kx标准形式ẍ+ω²x=0其中角频率ω=√k/m通解形式重要参数xt=A cosωt+φ周期T=2π/ω=2π√m/k弹簧振子系统A振幅，φ初相位频率f=1/T=ω/2π质量为m的物体连接弹性系数为k的弹簧，在平衡位置附近做小幅振动能量关系总能量E=½kA²动能与势能相互转化典型题目解析阻尼振动与共振现象题目分析阻尼系数对振动幅度的影响质量为m的物体在弹簧力和阻尼力作用下振动，阻尼力F₍=-bv建立运动方程并分析不同阻尼条件下的运动特征欠阻尼情况临界阻尼过阻尼情况条件b²4mk条件b²=4mk条件b²4mk运动衰减振荡运动最快回到平衡运动缓慢回到平衡xt=Ae⁻ᵞᵗcosωd t+φxt=A+Bte⁻ᵞᵗxt=Ae^r₁t+Be^r₂t其中ωd=√ω²-γ²，γ=b/2m不产生振荡，是工程中常用的理想阻尼其中r₁,r₂为负实根，无振荡现象共振现象分析当驱动频率接近系统固有频率时，振幅急剧增大共振频率ωᵣ=√ω²-2γ²，最大振幅与阻尼系数成反比第七章拉格朗日力学拉格朗日力学是分析力学的重要分支，为复杂系统的动力学分析提供了强有力的工具拉格朗日方程推导与应用广义坐标拉格朗日函数描述系统位置的独立参数qᵢt L=T-V自由度数=坐标数-约束数T动能，V势能运动方程欧拉-拉格朗日方程通过变分原理得到系统运动方程d/dt∂L/∂q̇ᵢ-∂L/∂qᵢ=Qᵢ适用于复杂约束系统Qᵢ广义力拉格朗日方程的优势坐标选择自由可选择最适合的广义坐标系约束处理简便约束力自动消除，无需显式考虑适用性广泛适用于各种复杂的物理系统形式简洁通过标量函数L得到矢量运动方程典型题目解析单摆拉格朗日方程题目推导单摆运动方程长度为l、质量为m的单摆在重力场中振动，以摆角θ为广义坐标，用拉格朗日方程推导运动方程计算动能质点速度v=lθ̇动能T=½mv²=½ml²θ̇²计算势能选择最低点为势能零点势能V=mgl1-cosθ构造拉格朗日函数L=T-V=½ml²θ̇²-mgl1-cosθ应用拉格朗日方程∂L/∂θ̇=ml²θ̇∂L/∂θ=-mgl sinθ运动方程ml²θ̈+mgl sinθ=0即θ̈+g/l sinθ=0小角度近似当θ1时，sinθ≈θ，得到简谐振动方程θ̈+g/lθ=0，周期T=2π√l/g第八章哈密顿力学哈密顿力学是分析力学的另一重要形式，特别适合于统计力学和量子力学的研究哈密顿函数与正则方程广义动量哈密顿函数正则方程定义pᵢ=∂L/∂q̇ᵢ定义H=Σpᵢq̇ᵢ-L方程组广义动量是与广义坐标相共轭的动量，不哈密顿函数通常表示系统的总能量，是q̇ᵢ=∂H/∂pᵢ一定具有动量的量纲坐标和动量的函数ṗᵢ=-∂H/∂qᵢ2n个一阶微分方程替代n个二阶方程哈密顿力学的特点理论优势应用价值对称性坐标与动量地位对等统计力学相空间统计的基础相空间描述系统状态用q,p完全确定量子力学量子化的出发点守恒定律哈密顿量守恒对应能量守恒混沌理论非线性动力学研究正则变换保持运动方程形式不变的变换天体力学多体问题的精确求解典型题目解析简谐振子的哈密顿描述题目写出简谐振子的哈密顿函数质量为m的质点在弹性力F=-kx作用下运动，建立哈密顿函数并写出正则方程1拉格朗日函数L=T-V=½mẋ²-½kx²动能项½mẋ²势能项½kx²2广义动量p=∂L/∂ẋ=mẋ因此ẋ=p/m这里广义动量就是通常的动量3哈密顿函数H=pẋ-L=p·p/m-½mp/m²-½kx²H=p²/2m+½kx²表示系统总能量4正则方程ẋ=∂H/∂p=p/mṗ=-∂H/∂x=-kx这等价于牛顿运动方程相空间轨迹简谐振子在相空间x,p中的轨迹是椭圆，椭圆面积等于作用量，体现了相空间的几何特征能量守恒对应轨迹在等能面上运动第九章非惯性参考系动力学非惯性参考系中需要引入惯性力来保持牛顿定律的形式，这为解决复杂运动问题提供了新的视角惯性力与科里奥利力离心惯性力科里奥利力欧拉惯性力表达式F cf=-mω×ω×r表达式F cor=-2mω×v表达式F E=-mα×r⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向沿径向向外垂直于速度方向当参考系有角加速度时出现大小mω²r大小2mωv sinα方向垂直于α和r⃗⃗在转动参考系中，物体会受到向外的离心力作α为ω与v夹角，导致运动轨迹偏转在角加速度参考系中产生的惯性力⃗⃗用非惯性系中的运动方程在非惯性参考系中，牛顿第二定律修正为ma=F+F cf+F cor+F E⃗⃗⃗⃗⃗其中a是相对加速度，F是真实作用力，其余为惯性力⃗⃗典型题目解析地球自转引起的科里奥利效应题目计算北半球物体偏转方向在北纬φ处，一物体以速度v向东运动求物体受到的科里奥利力方向和大小坐标系建立01确定角速度矢量地球自转角速度ω=

7.27×10⁻⁵rad/s在北纬φ处的分量ωz=ωsinφ（垂直分量）ωy=ωcosφ（水平北向分量）02速度矢量物体向东运动v=v,0,0⃗只有x方向分量03计算科里奥利力F cor=-2mω×v⃗⃗⃗Fx=0Fy=-2mωv sinφ（向南）Fz=2mωv cosφ（向上）04物理解释向东运动的物体在北半球会向南偏转同时有轻微的向上分量这解释了河流右岸冲刷现象复习与总结运动学动力学位置、速度、加速度的关系牛顿运动定律直线运动与曲线运动力与运动的关系分析力学质点系拉格朗日方程质心运动定理哈密顿方程动量守恒定律振动理论刚体运动简谐振动转动惯量与转矩阻尼与共振角动量守恒理论力学知识体系图理论力学构成了经典物理学的基础框架，为现代物理学的发展奠定了坚实基础掌握这些核心概念对于深入学习其他物理分支具有重要意义理论力学学习建议与答疑950+100+重点章节关键公式典型例题掌握核心理论熟记基础方程强化解题训练学习方法建议理论与实践结合不仅要掌握理论推导，更要重视物理图像的理解通过大量习题练习，加深对概念的理解和应用能力的培养注重数学工具理论力学需要扎实的数学基础，特别是微积分、线性代数和微分方程要熟练掌握矢量分析和坐标变换建立知识网络理论力学各章节之间联系密切，要注意知识点的内在联系，构建完整的知识体系框架常见学习误区过分依赖公式背诵应该理解公式的物理意义和适用条件忽视坐标系选择合适的坐标系能大大简化问题混淆不同参考系要明确区分惯性系和非惯性系轻视基础概念高深理论建立在基础概念的准确理解之上学习成功的关键坚持不懈的练习是掌握理论力学的不二法门理论理解与解题训练并重，培养物理直觉和数学技巧，为后续的高等物理学习打下坚实基础记住理论力学不仅是知识，更是一种思维方式！。