数列压轴题试题及答案

数列压轴题试题及答案

一、文档说明数列是高中数学的核心内容之一，也是高考数学压轴题的常见考点本文整理了数列压轴题的典型试题及参考答案，涵盖单项选择、多项选择、判断及简答题，题目聚焦高考高频考点（如递推数列、求和公式、参数范围、不等式证明等），难度梯度合理，可帮助学生系统练习、巩固解题技巧，提升应对压轴题的能力

二、单项选择题（共30题，每题1分）（共30题，以下为题目，答案见文末“参考答案”）

1.已知数列${a_n}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，则$a_5$的值为（）A.15B.16C.31D.

322.数列${a_n}$的前$n$项和$S_n=n^2+2n$，则$a_3$等于（）A.5B.7C.9D.

113.等比数列${a_n}$中，$a_2=2$，$a_5=16$，则公比$q$为（）A.2B.3C.4D.

84.已知等差数列${a_n}$的公差$d=2$，$a_3=5$，则$a_7$等于（）A.9B.11C.13D.

155.数列${a_n}$的通项公式为$a_n=3n-2$，则该数列的前$n$项和$S_n$为（）A.$\frac{3n^2-n}{2}$B.$\frac{3n^2+n}{2}$C.$3n^2-n$D.$3n^2+n$

6.若数列${a_n}$是递增数列，且$a_n=n^2-kn+4$，则实数$k$的取值范围是（）第1页共10页A.$-\infty,2$B.$-\infty,3$C.$2,+\infty$D.$3,+\infty$

7.已知等比数列${a_n}$的各项均为正数，且$a_1a_5=4$，则$\log_2a_3$的值为（）A.1B.2C.3D.

48.数列${a_n}$满足$a_1=1$，$a_n=\frac{1}{1-a_{n-1}}$（$n\geq2$），则$a_4$等于（）A.$-\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{2}$C.1D.

29.等差数列${a_n}$中，$a_1+a_2+a_3=12$，$a_4+a_5+a_6=18$，则$a_7+a_8+a_9$等于（）A.24B.30C.36D.

4210.已知数列${a_n}$的前$n$项和$S_n=2^n-1$，则$a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2$等于（）A.$4^n-1$B.$\frac{4^n-1}{3}$C.$2^n-1$D.$\frac{2^n-1}{3}$

11.等比数列${a_n}$中，$a_1=1$，$a_4=8$，则前4项和$S_4$为（）A.15B.16C.31D.

3212.数列${a_n}$的递推公式为$a_{n+1}=a_n+2n$，$a_1=1$，则$a_n$的通项公式为（）A.$n^2-n+1$B.$n^2+n-1$C.$n^2-n$D.$n^2+n$

13.已知等差数列${a_n}$的前$n$项和$S_n$，且$S_5=20$，$S_{10}=70$，则$S_{15}$等于（）A.120B.150C.180D.210第2页共10页

14.若数列${a_n}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+3$，则$a_n$的通项公式为（）A.$2^n+1$B.$2^n-1$C.$2^{n+1}-3$D.$2^{n+1}-1$

15.已知等比数列${a_n}$的公比$q=2$，前$n$项和$S_n=2^n-1$，则该数列的首项$a_1$为（）A.1B.2C.3D.

416.数列${a_n}$的前$n$项和$S_n=n^2-2n+3$，则$a_2+a_4+a_6$等于（）A.10B.12C.14D.

1617.等差数列${a_n}$中，$a_5=3$，$a_9=11$，则$a_{13}$等于（）A.15B.17C.19D.

2118.若数列${a_n}$是等比数列，且$a_2=4$，$a_4=16$，则$a_6$等于（）A.32B.64C.128D.

25619.已知数列${a_n}$的通项公式为$a_n=-1^n\cdot n$，则前$n$项和$S_n$为（）A.$-1^n\cdot\frac{n}{2}$B.$-1^n\cdot\frac{n+1}{2}$C.$-1^n\cdot n$D.$-1^n\cdotn+1$

20.等差数列${a_n}$中，$a_1=1$，$d=2$，则前$n$项和$S_n$的最小值为（）A.0B.1C.2D.

321.等比数列${a_n}$中，$a_1=1$，$a_2=2$，则$a_3+a_4+a_5$等于（）A.14B.16C.18D.20第3页共10页

22.数列${a_n}$满足$a_1=2$，$a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}$，则$a_4$等于（）A.$\frac{2}{5}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{1}{4}$D.$\frac{1}{5}$

23.已知等差数列${a_n}$的前$n$项和$S_n=kn^2+k-1n$，则$k$的值为（）A.0B.1C.2D.

324.若数列${a_n}$的前$n$项和$S_n=3^n-2$，则$a_n$的表达式为（）A.$a_n=2\cdot3^{n-1}$B.$a_n=2\cdot3^{n-1}-2$C.$a_n=\begin{cases}1,n=1\2\cdot3^{n-1},n\geq2\end{cases}$D.$a_n=\begin{cases}1,n=1\2\cdot3^{n-1}-2,n\geq2\end{cases}$

25.等比数列${a_n}$中，$a_1=1$，$q=-\frac{1}{2}$，则前4项和$S_4$为（）A.$\frac{5}{8}$B.$\frac{15}{8}$C.$\frac{3}{8}$D.$\frac{7}{8}$

26.数列${a_n}$的递推公式为$a_{n+1}=a_n+3$，$a_1=1$，则前5项和$S_5$为（）A.30B.35C.40D.

4527.等差数列${a_n}$中，$a_1+a_2=5$，$a_3+a_4=9$，则$a_5+a_6$等于（）A.13B.14C.15D.

1628.若数列${a_n}$的前$n$项和$S_n=2n^2-3n$，则$a_3+a_5+a_7$等于（）第4页共10页A.30B.35C.40D.

4529.等比数列${a_n}$中，$a_2=6$，$a_4=24$，则$a_6$等于（）A.48B.72C.96D.

12030.数列${a_n}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2n-1$，则$a_n$的通项公式为（）A.$n^2$B.$n^2-1$C.$n^2-2n$D.$n^2-2n+1$

三、多项选择题（共20题，每题2分）（共20题，以下为题目，答案见文末“参考答案”）

1.下列数列中，是等差数列的有（）A.$a_n=2n+1$B.$a_n=n^2$C.$a_n=5$（常数数列）D.$a_n=3n-2$

2.已知等比数列${a_n}$的公比$q=2$，则下列说法正确的有（）A.$a_3=4a_1$B.$a_4=8a_2$C.$\frac{a_5}{a_3}=4$D.$a_n=2^{n-1}a_1$

3.等差数列${a_n}$中，若$a_1=1$，$d=3$，则下列说法正确的有（）A.$a_4=10$B.$S_4=22$C.若$a_k=16$，则$k=6$D.$a_2+a_5=14$

4.数列${a_n}$的前$n$项和$S_n=n^2$，则下列说法正确的有（）A.$a_n=2n-1$B.$a_3=5$C.$a_2+a_3=11$D.$S_n$是$n$的二次函数

5.等比数列${a_n}$中，若$a_1=1$，$a_4=8$，则下列说法正确的有（）A.公比$q=2$B.前4项和$S_4=15$C.$a_5=16$D.$a_2a_3=16$第5页共10页

6.下列数列中，是等比数列的有（）A.$a_n=2^n$B.$a_n=0$（零数列）C.$a_n=-1^n$D.$a_n=3\cdot2^{n-1}$

7.等差数列${a_n}$中，$S_n$为前$n$项和，若$S_5=20$，则下列说法正确的有（）A.$a_3=4$B.$a_2+a_4=8$C.$S_5=5a_3$D.$a_5=8$

8.已知数列${a_n}$的递推公式为$a_{n+1}=2a_n$，$a_1=1$，则下列说法正确的有（）A.$a_n=2^{n-1}$B.前$n$项和$S_n=2^n-1$C.$a_3=4$D.$S_3=7$

9.等比数列${a_n}$中，若公比$q=-1$，则下列说法正确的有（）A.各项正负交替B.是摆动数列C.前$n$项和$S_n=\begin{cases}a_1,n\text{为奇数}\0,n\text{为偶数}\end{cases}$D.$a_2a_3=a_1a_4$

10.等差数列${a_n}$中，若$a_1+a_3=4$，$a_2+a_4=8$，则下列说法正确的有（）A.$d=2$B.$a_5=10$C.$S_5=25$D.$a_6=12$

11.数列${a_n}$的前$n$项和$S_n=2^n-1$，则下列说法正确的有（）A.$a_n=2^{n-1}$B.是等比数列C.$a_1=1$D.$S_3=7$

12.等比数列${a_n}$中，若$a_2=3$，$a_5=81$，则下列说法正确的有（）A.公比$q=3$B.$a_1=1$C.$a_3=27$D.前5项和$S_5=121$

13.在等差数列${a_n}$中，若$a_1=5$，$d=-2$，则下列说法正确并能使$a_n0$的有（）第6页共10页A.$n=3$B.$n=4$C.$n=5$D.$n=6$

14.已知数列${a_n}$的通项公式为$a_n=-1^nn+1$，则下列说法正确的有（）A.$a_1=-2$B.$a_2=3$C.$a_3=-4$D.前3项和$S_3=-3$

15.$\triangle ABC$的三边长成等差数列，且公差为1，则下列说法正确的有（）A.$a_1$（最小边）可能为2B.$a_1$（最小边）可能为1C.三边长可能为3,4,5D.三边长可能为2,3,

416.等比数列${a_n}$中，若$a_1=1$，$a_3=4$，则下列说法正确的有（）A.公比$q=2$（或$-2$）B.$a_2=2$（或$-2$）C.$a_4=8$（或$-8$）D.前4项和$S_4=15$（或5）

17.等差数列${a_n}$中，若$S_n=0$，且$n$为偶数，则下列说法正确的有（）A.$a_1+a_n=0$B.$a_2+a_{n-1}=0$C.中间两项之和为0D.前$n$项和与项数$n$成正比

18.数列${a_n}$的递推公式为$a_{n+1}=a_n+2n+1$，$a_1=1$，则下列说法正确的有（）A.$a_2=4$B.$a_3=9$C.$a_4=16$D.通项公式$a_n=n^2$

19.等比数列${a_n}$中，若$a_1=1$，$a_2=2$，则下列说法正确的有（）A.前$n$项和$S_n=2^n-1$B.$a_5=16$C.$a_3=4$D.$S_4=15$

20.若数列${a_n}$是等差数列，且$a_1+a_2+a_3=12$，$a_4+a_5+a_6=18$，则下列说法正确的有（）第7页共10页A.公差$d=1$B.前9项和$S_9=63$C.$a_7+a_8+a_9=24$D.$a_1=3$

四、判断题（共20题，每题1分）（共20题，以下为题目，答案见文末“参考答案”）

1.常数列既是等差数列也是等比数列（）

2.等差数列${a_n}$中，若$a_5=3$，$a_9=11$，则$a_{13}=19$（）

3.等比数列${a_n}$的公比$q=2$，则$a_4=8a_1$（）

4.数列${a_n}$的前$n$项和$S_n=n^2-2n$，则$a_n=2n-3$（）

5.若数列${a_n}$的通项公式为$a_n=-1^n$，则该数列是等比数列（）

6.等差数列${a_n}$中，$a_1=2$，$d=3$，则$a_5=14$（）

7.等比数列${a_n}$中，若$a_1=1$，$a_3=4$，则$a_5=16$（）

8.数列${a_n}$的递推公式为$a_{n+1}=a_n+2$，$a_1=1$，则$a_n=2n-1$（）

9.等差数列${a_n}$的前$n$项和$S_n=kn^2+k-1n$，则$k=1$（）

10.等比数列${a_n}$的各项均为正数，且$a_1=1$，$a_2=2$，则$a_4=8$（）

11.数列${a_n}$的前$n$项和$S_n=3^n-2$，则$a_n=3^{n-1}$（$n\geq2$）（）

12.若$a_n$是等比数列，则$a_2^2=a_1a_3$（）

13.等差数列${a_n}$中，$S_n$是关于$n$的二次函数（）

14.等比数列${a_n}$的公比$q=0$，则数列各项均为0（）第8页共10页

15.数列${a_n}$的递推公式为$a_{n+1}=a_n\cdot2$，$a_1=1$，则$a_n=2^{n-1}$（）

16.等差数列${a_n}$中，若$a_1=1$，$a_4=7$，则$d=2$（）

17.等比数列${a_n}$中，$a_1=2$，$a_3=8$，则$a_2=4$（）

18.数列${a_n}$的前$n$项和$S_n=2n^2$，则$a_n=4n-2$（）

19.若数列${a_n}$是等比数列，且$a_2=4$，$a_4=16$，则$a_6=32$（）

20.等差数列${a_n}$中，$a_5=5$，$a_{10}=15$，则$a_{15}=25$（）

五、简答题（共2题，每题5分）（共2题，以下为题目，答案见文末“参考答案”）

1.已知数列${a_n}$的前$n$项和$S_n=2n^2-n+1$，求数列${a_n}$的通项公式，并判断该数列是否为等差数列

2.设等差数列${a_n}$的前$n$项和为$S_n$，已知$a_3=5$，$S_5=25$，求数列${a_n}$的通项公式及前$n$项和$S_n$参考答案

一、单项选择题1-5:C CA CA6-10:B A A AB11-15:AAA CA16-20:C BB AA21-25:A DB CA26-30:B AC CA

二、多项选择题ACD

2.ABCD

3.AB

4.ABCD

5.ABCD第9页共10页ACD

7.ABC

8.ACD

9.ABCD

10.ABCDABCD

12.ACD

13.BD

14.ACD

15.ACDABCD

17.ABC

18.ABCD

19.ABCD

20.ABCD

三、判断题×

2.√

3.√

4.√

5.√√

7.√

8.√

9.√

10.√√

12.√

13.×

14.√

15.√√

17.×

18.√

19.×

20.√

四、简答题解当$n=1$时，$a_1=S_1=2×1^2-1+1=2$；当$n\geq2$时，$a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2-n+1-[2n-1^2-n-1+1]=4n-3$；验证$n=1$时，$4×1-3=1≠2$，故$a_n=\begin{cases}2,n=1\4n-3,n\geq2\end{cases}$因$a_1=2$，$a_2=5$，$a_3=9$，$a_2-a_1=3$，$a_3-a_2=4$，公差不相等，故不是等差数列解设等差数列${a_n}$的首项为$a_1$，公差为$d$，由$a_3=5$得$a_1+2d=5$；$S_5=25$，即$5a_1+\frac{5×4}{2}d=25$，化简得$a_1+2d=5$，联立解得$a_1=1$，$d=2$；故通项公式$a_n=1+2n-1=2n-1$，前$n$项和$S_n=n^2$文档说明本文试题覆盖数列核心考点，答案简洁准确，适合学生日常练习及备考复习使用通过练习可巩固递推关系、求和公式、等差等比数列性质等重点内容，提升解决压轴题的能力第10页共10页。