测度论试题及答案

测度论试题及答案

一、单项选择题（共30题，每题1分）（以下每题只有一个正确答案，请将正确选项的字母填在括号内）设X为非空集合，\mathcal{A}\subseteq\mathcal{P}X（\mathcal{P}X为X的幂集），若\mathcal{A}满足

（1）X\in\mathcal{A}；

（2）对任意A,B\in\mathcal{A}，A\setminus B\in\mathcal{A}；

（3）对任意A_1,A_2,\cdots\in\mathcal{A}，\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal{A}，则\mathcal{A}称为（）A.半σ代数B.σ代数C.单调类D.环设X,\mathcal{A}为可测空间，A\subseteq X，若对任意B\in\mathcal{A}，\mathcal{A}_B={B\cap C\mid C\in\mathcal{A}}构成B上的σ代数，则A称为（）A.可测集B.完全集C.半可测集D.外测度下列关于Lebesgue测度的描述中，错误的是（）A.非负性对任意A\subseteq\mathbb{R}，\lambdaA\geq0B.空集性\lambda\emptyset=0C.可列可加性对任意可列个互不相交的可测集A_1,A_2,\cdots，\lambda\left\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right=\sum_{n=1}^{\infty}\lambdaA_n D.平移不变性对任意a\in\mathbb{R}，\lambdaA+a=\lambdaA设A\subseteq[0,1]，且\lambdaA=0，则A称为（）第1页共13页A.零测集B.可测集C.稠密集D.开集设f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}，若对任意a\in\mathbb{R}，f^{-1}a,+\infty为可测集，则f称为（）A.连续函数B.可测函数C.单调函数D.线性函数下列函数中，不是可测函数的是（）A.连续函数B.单调函数C.阶梯函数D.无理函数设f_n是可测空间上的可测函数列，若f_n几乎处处收敛于f，则f（）A.一定可测B.一定不可测C.可能可测D.无法判断设f_n是可测函数列，且f_n\to fa.e.，则f_n（）A.一定依测度收敛B.一定几乎一致收敛C.一定几乎处处收敛D.以上都不对设f_n是可测函数列，|f_n|\leq ga.e.，且g可积，则f_n依测度收敛于f，则f（）A.一定可积B.一定不可积C.可能不可积D.无法判断设f_n是可测函数列，且f_n\to fa.e.，f_n\to fa.e.，则（）A.f=fa.e.B.f=feverywhere C.f\neq fa.e.D.无法确定设A\subseteq\mathbb{R}，则A的Lebesgue外测度定义为（）A.\lambda^*A=\inf\left{\sum_{n=1}^{\infty}b_n-a_n\mid A\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}a_n,b_n\right}第2页共13页B.\lambda^*A=\sup\left{\sum_{n=1}^{\infty}b_n-a_n\mid A\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}a_n,b_n\right}C.\lambda^*A=\inf\left{\sum_{n=1}^{\infty}b_n-a_n\mid A\supseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}a_n,b_n\right}D.以上都不对设A,B\subseteq\mathbb{R}，则外测度满足（）A.单调性若A\subseteq B，则\lambda^A\leq\lambda^B B.单调性若A\subseteq B，则\lambda^A\geq\lambda^B C.可加性对任意可列个集合A_1,A_2,\cdots，\lambda^\left\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right=\sum_{n=1}^{\infty}\lambda^A_n D.可减性对任意A,B\subseteq\mathbb{R}，\lambda^A\setminus B=\lambda^A-\lambda^*B设A\subseteq\mathbb{R}，若对任意B\subseteq\mathbb{R}，\lambda^B=\lambda^B\cap A+\lambda^*B\setminus A，则A称为（）A.可测集B.外测度集C.内测度集D.单调集下列关于可测集的描述中，错误的是（）A.空集和全集都是可测集B.有限个可测集的交、并、差仍是可测集C.可列个可测集的交、并仍是可测集第3页共13页D.任意集都是可测集设A\subseteq\mathbb{R}，\lambdaA=0，则（）A.A一定是有限集B.A一定是可列集C.A一定是零测集D.A一定是不可测集设A\subseteq[0,1]，且\lambdaA=1，则A（）A.一定等于[0,1]B.一定是[0,1]的超集C.一定包含[0,1]D.几乎等于[0,1]（即\lambda[0,1]\setminus A=0）设f是A\subseteq\mathbb{R}上的非负可测函数，则f的Lebesgue积分定义为（）A.\int_A f d\lambda=\sup\left{\int_A gd\lambda\mid g\text{为非负简单函数，}g\leq f\right}B.\int_A f d\lambda=\inf\left{\int_A gd\lambda\mid g\text{为非负简单函数，}g\leq f\right}C.\int_A fd\lambda=\sup\left{\int_A gd\lambda\mid g\text{为非负简单函数，}g\geq f\right}D.以上都不对设f是可测集A上的可测函数，则f可积当且仅当（）A.f非负B.|f|可积C.f有界D.f连续下列关于积分性质的描述中，错误的是（）A.线性性\int_A af+bg d\lambda=a\int_A fd\lambda+b\int_A gd\lambda B.单调性若f\leq ga.e.，则\int_A fd\lambda\leq\int_A gd\lambda第4页共13页C.可列可加性对任意可列个互不相交的可测集A_1,A_2,\cdots，\int_{\bigcup A_n}fd\lambda=\sum\int_{A_n}fd\lambda D.绝对连续性对任意\epsilon0，存在\delta0，当\lambdaA\delta时，\int_A|f|d\lambda\epsilon设f_n是可测集A上的非负可测函数列，且f_n\nearrowf，则\int_A fd\lambda=\lim_{n\to\infty}\int_A f_nd\lambda，这是（）A.控制收敛定理B.单调收敛定理C.分部积分定理D.牛顿-莱布尼茨定理设f_n是可测集A上的可测函数列，且|f_n|\leq ga.e.，g可积，f_n\to fa.e.，则\int_A fd\lambda=\lim_{n\to\infty}\int_A f_n d\lambda，这是（）A.控制收敛定理B.单调收敛定理C.拉东-尼科迪姆定理D.里斯定理设f是\mathbb{R}上的可测函数，f可积当且仅当（）A.\int_{\mathbb{R}}f^+d\lambda\infty且\int_{\mathbb{R}}f^-d\lambda\infty B.\int_{\mathbb{R}}f^+d\lambda\infty或\int_{\mathbb{R}}f^-d\lambda\infty C.\int_{\mathbb{R}}|f|d\lambda\infty或\int_{\mathbb{R}}|f|d\lambda=\infty D.以上都不对第5页共13页设f是可测集A上的可积函数，\epsilon0，则存在（），使得f在A的某个紧子集K外满足|f|\epsilon A.紧集K\subseteq AB.开集G\subseteq AC.可测集E\subseteq AD.零测集Z\subseteq A设f是可测集A上的可测函数，f的积分\int_A fd\lambda=0，则（）A.f=0a.e.B.f=0everywhere C.f不一定为0D.以上都不对设A\subseteq\mathbb{R}，则A的Lebesgue测度\lambdaA=0当且仅当（）A.A是开集B.A是闭集C.A是零测集D.以上都不对设f是可测函数，f在A上有界，则f（）A.可积B.不可积C.可能可积D.无法判断设f_n是可测函数列，f_n\to fa.e.，且f_n一致有界，则f_n（）A.依测度收敛B.几乎一致收敛C.几乎处处收敛D.以上都对设f是可测集A上的非负可测函数，f=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\chi_{A_n}，其中c_n为非负常数，A_n为互不相交的可测集，则\int_A fd\lambda=（）A.\sum_{n=1}^{\infty}c_n\lambdaA_nB.\sum_{n=1}^{\infty}c_n\lambdaA C.c_n\lambdaA_nD.以上都不对第6页共13页设f是可测集A上的可测函数，f的积分存在，则f（）A.一定可积B.一定不可积C.可能可积D.无法判断下列关于测度论应用的描述中，错误的是（）A.用于定义Lebesgue积分B.用于描述集合的大小C.用于研究函数的收敛性D.用于解决代数方程

二、多项选择题（共20题，每题2分）（以下每题至少有一个正确答案，请将正确选项的字母填在括号内，多选、少选、错选均不得分）下列关于σ代数的描述中，正确的有（）A.空集属于σ代数B.对补集运算封闭C.对有限并运算封闭D.对可列并运算封闭设X,\mathcal{A}为可测空间，A\subseteq X，则下列关于A的可测性的描述中，正确的有（）A.若A\in\mathcal{A}，则A可测B.若A是开集（在\mathbb{R}中），则A可测C.若A是闭集（在\mathbb{R}中），则A可测D.若A是零测集，则A可测下列关于Lebesgue外测度的性质中，正确的有（）A.非负性B.单调性C.次可列可加性D.平移不变性设A,B\subseteq\mathbb{R}，则外测度满足（）A.若A\subseteq B，则\lambda^A\leq\lambda^B B.对任意a\in\mathbb{R}，\lambda^A+a=\lambda^A第7页共13页C.对任意可列个集合A_1,A_2,\cdots，\lambda^\left\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right\leq\sum_{n=1}^{\infty}\lambda^A_n D.若A\cap B=\emptyset，则\lambda^A\cup B=\lambda^A+\lambda^*B下列关于可测函数的描述中，正确的有（）A.连续函数是可测函数B.单调函数是可测函数C.可测函数的和是可测函数D.可测函数的复合是可测函数设f是可测空间上的可测函数，则f可测等价于（）A.对任意a\in\mathbb{R}，f^{-1}-\infty,a可测B.对任意a\in\mathbb{R}，f^{-1}[a,+\infty可测C.对任意a\in\mathbb{R}，f^{-1}a,+\infty可测D.对任意a\in\mathbb{R}，f^{-1}[-\infty,a]可测设f_n是可测函数列，则下列收敛关系中，正确的有（）A.几乎一致收敛⇒几乎处处收敛B.几乎处处收敛⇒依测度收敛C.依测度收敛⇒几乎处处收敛D.一致收敛⇒几乎一致收敛下列关于Lebesgue积分的性质中，正确的有（）A.线性性B.单调性C.绝对可积性D.可列可加性设f是可测集A上的可测函数，则f可积的充要条件是（）A.f^+可积B.f^-可积C.|f|可积D.f有界下列关于单调收敛定理的描述中，正确的有（）A.条件非负可测函数列f_n\nearrow fB.条件非负可测函数列f_n\searrow fC.结论积分与极限可交换第8页共13页D.结论\int_A fd\lambda=\lim_{n\to\infty}\int_A f_nd\lambda下列关于控制收敛定理的描述中，正确的有（）A.条件可测函数列f_n，存在可积函数g，|f_n|\leqga.e.B.条件可测函数列f_n，存在可测函数g，|f_n|\leqga.e.C.结论f_n\to fa.e.时，\int_A fd\lambda=\lim_{n\to\infty}\int_A f_n d\lambda D.结论f_n\to f依测度时，\int_A fd\lambda=\lim_{n\to\infty}\int_A f_n d\lambda设A\subseteq\mathbb{R}，则下列关于A的Lebesgue测度的描述中，正确的有（）A.区间a,b的测度为b-a B.单点集{x_0}的测度为0C.有限个区间的并的测度等于各区间测度之和D.可列个区间的并的测度等于各区间测度之和下列关于零测集的描述中，正确的有（）A.空集是零测集B.零测集的子集是零测集C.零测集的并是零测集D.零测集的交是零测集设f是可测集A上的可测函数，则下列关于f的积分的描述中，正确的有（）A.若f非负，则积分非负B.若f非负可积，则fa.e.有限第9页共13页C.若f可积，则fa.e.有限D.若f可积，则f在A上有界下列关于可测函数的简单收敛与积分收敛的关系中，正确的有（）A.一致收敛⇒积分收敛B.几乎一致收敛⇒积分收敛C.依测度收敛⇒积分收敛（当有控制函数时）D.几乎处处收敛⇒积分收敛（当有控制函数时）设f是可测集A上的非负可测函数，则下列关于f的积分的描述中，正确的有（）A.积分是测度的推广B.积分与Lebesgue测度相关C.积分具有可列可加性D.积分具有单调性下列关于σ有限测度的描述中，正确的有（）A.若存在可列个可测集A_n，\lambdaA_n\infty，且\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=X，则\lambda是σ有限测度B.Lebesgue测度是σ有限测度C.单点集上的计数测度是σ有限测度D.有限测度一定是σ有限测度设f是可测集A上的可测函数，f在A上的积分存在，则下列关于积分的绝对连续性的描述中，正确的有（）A.对任意\epsilon0，存在\delta0，当\lambdaB\delta时，\int_B|f|d\lambda\epsilon B.对任意\epsilon0，存在\delta0，当\lambdaB\delta时，\int_B fd\lambda\epsilon C.绝对连续性是可积函数的重要性质D.绝对连续性与积分是否存在无关下列关于Lebesgue积分与Riemann积分的关系中，正确的有（）第10页共13页A.连续函数的Riemann积分等于Lebesgue积分B.单调函数的Riemann积分等于Lebesgue积分C.可积函数的Riemann积分等于Lebesgue积分D.以上都不对设f是可测集A上的可测函数，f在A上的积分存在，则f（）A.一定有界B.不一定有界C.一定几乎处处有限D.不一定几乎处处有限

三、判断题（共20题，每题1分）（判断下列命题的对错，对的打√，错的打×）测度论是实分析的基础，主要研究集合的大小和函数的积分（）半σ代数对可列并运算不封闭（）外测度满足可加性（）零测集一定是可测集（）可测集的补集一定可测（）可测函数的极限函数一定可测（）几乎处处收敛的可测函数列一定依测度收敛（）依测度收敛的可测函数列一定几乎处处收敛（）单调收敛定理要求函数列非负（）控制收敛定理的控制函数必须是可积的（）Lebesgue积分的线性性要求被积函数都是非负的（）可积函数一定是有界的（）单点集的Lebesgue测度为0（）区间的Lebesgue测度等于其长度（）可测函数的和一定是可测函数（）第11页共13页可测函数的复合函数一定是可测函数（）零测集的任何子集都是零测集（）可测函数的积分一定存在（）若f可测且积分存在，则|f|可测且积分存在（）单调函数一定是可测函数（）

四、简答题（共2题，每题5分）简述σ代数的定义及其在测度论中的作用简述控制收敛定理的条件和结论，并说明其在积分计算中的意义参考答案

一、单项选择题1-5:B A D AB6-10:D A C A A11-15:A AA DC16-20:D AB DB21-25:AAA CC26-30:ADACD

二、多项选择题1:A,B,C,D2:A,B,C,D3:A,B,C4:A,B,C5:A,B,C,D6:A,B,C,D7:A,D8:A,B,D9:A,B,C10:A,C,D11:A,C12:A,B,C13:A,B,C,D14:A,B,C15:A,B,C,D16:A,B,D17:A,B,D18:A,C19:A,B,C20:B,C

三、判断题1:√2:√3:×4:√5:√6:×7:√8:×9:√10:√11:×12:×13:√14:√15:√第12页共13页16:√17:√18:×19:√20:√

四、简答题σ代数的定义及作用σ代数是可测空间的核心结构，定义为幂集的子集，满足

（1）全集属于该子集；

（2）对补集和可列并运算封闭作用为测度提供可测的标准，使得可测集类具有良好的代数结构，是定义Lebesgue测度和可测函数的基础控制收敛定理条件可测函数列f_n，存在可积函数g，使得|f_n|\leqga.e.，且f_n\to fa.e.（或依测度）结论f可积，且\int fd\lambda=\lim_{n\to\infty}\int f_n d\lambda意义允许在积分与极限交换时不要求一致收敛，仅需几乎处处收敛和有控制函数，极大扩展了积分计算的适用范围，是处理积分极限问题的关键工具第13页共13页。