数学中级试题及答案

数学中级试题及答案

一、单项选择题（共30题，每题1分）设函数fx=x^3-3x+1，则其导数fx=（）A.3x^2-3B.3x^2+3C.x^2-3D.x^2+3极限\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=（）A.0B.1C.2D.3函数fx=x^2-4x+3的单调递减区间是（）A.-\infty,2B.2,+\inftyC.-\infty,4D.4,+\infty不定积分\int x e^x dx=（）A.x e^x-e^x+CB.xe^x+e^x+CC.\frac{1}{2}x^2e^x+CD.\frac{1}{2}x^2e^x-C矩阵A=\begin{pmatrix}12\34\end{pmatrix}的行列式|A|=（）A.-2B.2C.-10D.10方程x^2+2x-3=0的根为（）A.1和-3B.-1和3C.1和3D.-1和-3设事件A与B互斥，且PA=

0.3，PB=

0.5，则PA\cup B=（）A.

0.2B.

0.3C.

0.5D.

0.8函数fx=\ln1+x的泰勒展开式（在x=0处）为（）A.\sum_{n=1}^{\infty}-1^{n+1}\frac{x^n}{n}B.\sum_{n=0}^{\infty}-1^n\frac{x^n}{n+1}第1页共10页C.\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}D.\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n+1}定积分\int_{0}^{\pi}\sin xdx=（）A.0B.1C.2D.\pi设随机变量X\sim N0,1，则PX

1.96=（）（参考标准正态分布表）A.

0.025B.

0.05C.

0.95D.

0.975线性方程组\begin{cases}x+y=1\2x+3y=4\end{cases}的解为（）A.x=1,y=0B.x=-1,y=2C.x=2,y=-1D.x=0,y=1复数z=1+i的模为（）A.1B.\sqrt{2}C.2D.2\sqrt{2}函数fx,y=x^2+y^2在点1,1处的梯度为（）A.1,1B.2,2C.1,2D.2,1设A,B为两个事件，且PA=

0.6，PB=

0.4，PA|B=

0.5，则PAB=（）A.

0.2B.

0.3C.

0.4D.

0.5矩阵A=\begin{pmatrix}01\10\end{pmatrix}的特征值为（）A.1和-1B.1和1C.-1和-1D.0和1级数\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}的敛散性为（）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.无法判断设X为随机变量，EX=2，DX=4，则E2X+3=（）第2页共10页A.7B.11C.10D.8函数fx=x^3-3x的极值点为（）A.x=0和x=1B.x=1和x=-1C.x=0和x=-1D.x=0和x=2行列式\begin{vmatrix}123\456\789\end{vmatrix}=（）A.0B.6C.12D.18设A为3阶矩阵，且|A|=2，则|2A|=（）A.4B.8C.16D.2概率P0X1对于标准正态变量X\sim N0,1等于（）A.\Phi0B.\Phi1C.1-\Phi0D.\Phi1-\Phi0设fx=\begin{cases}x,0\leq x\leq1\2-x,1x\leq2\end{cases}，则其傅里叶级数在x=1处的和为（）A.1B.

1.5C.2D.0线性空间R^3的维数为（）A.1B.2C.3D.4设A,B为可逆矩阵，则AB^{-1}=（）A.A^{-1}B^{-1}B.B^{-1}A^{-1}C.ABD.A+B方程x^3-3x+1=0在区间0,1内的实根个数为（）A.0B.1C.2D.3第3页共10页设D为x^2+y^2\leq1所围成的区域，则二重积分\iint_D dxdy=（）A.\piB.2\piC.\frac{\pi}{2}D.1随机变量X的概率密度函数为fx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{x-\mu^2}{2\sigma^2}}，则X的分布为（）A.均匀分布B.指数分布C.正态分布D.二项分布矩阵A=\begin{pmatrix}100\020\003\end{pmatrix}的特征值为（）A.1,2,3B.1,1,1C.2,2,2D.无法确定设fx=\sin x，则其3阶导数fx=（）A.\sin xB.-\sin xC.\cos xD.-\cos x设A为n阶矩阵，若A^2=E（E为单位矩阵），则A是（）A.对称矩阵B.正交矩阵C.可逆矩阵D.对角矩阵

二、多项选择题（共20题，每题2分）下列函数中，在x=0处连续的有（）A.fx=\frac{\sin x}{x}（补充定义f0=1）B.fx=x^2\sin\frac{1}{x}（补充定义f0=0）C.fx=\begin{cases}e^x,x\neq0\0,x=0\end{cases}D.fx=\frac{x^2-1}{x-1}（补充定义f1=2）下列定积分计算正确的有（）A.\int_{-1}^{1}x^3dx=0B.\int_{0}^{\pi}\cos xdx=0第4页共10页C.\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx=1D.\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}矩阵的基本运算包括（）A.加法B.乘法C.转置D.求逆下列关于导数的说法正确的有（）A.可导必连续B.连续必可导C.导数为零的点一定是极值点D.极值点处导数必为零下列级数收敛的有（）A.\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}B.\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}C.\sum_{n=1}^{\infty}-1^n\frac{1}{n}D.\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}设X为随机变量，则下列公式正确的有（）A.DX=EX^2-[EX]^2B.EaX+b=aEX+b C.DaX+b=a^2DXD.EXY=EXEY（X,Y独立时）下列矩阵是正交矩阵的有（）A.\begin{pmatrix}1\frac{1}{\sqrt{2}}\\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}B.\begin{pmatrix}01\10\end{pmatrix}C.\begin{pmatrix}1\frac{1}{\sqrt{3}}\\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}D.\begin{pmatrix}10\0-1\end{pmatrix}下列函数是周期函数的有（）A.\sin xB.\cos2xC.\tan xD.e^x第5页共10页线性方程组Ax=b有解的条件是（）A.系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩B.b可由A的列向量组线性表示C.系数矩阵的列向量组线性无关D.增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩设A,B为事件，则下列公式正确的有（）A.PA\cup B=PA+PB-PABB.PA|B=\frac{PAB}{PB}（PB0）C.PAB=PAPB|AD.PA\cap B=PBPA|B下列关于极限的说法正确的有（）A.\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1B.\lim_{x\to0}1+x^{\frac{1}{x}}=e C.\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=1D.\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1矩阵A=\begin{pmatrix}12\34\end{pmatrix}的特征值可能为（）A.1B.-1C.\sqrt{10}D.-\sqrt{10}设fx=x^2，则其在区间[0,2]上的平均值为（）A.\frac{4}{3}B.\frac{8}{3}C.2D.\frac{8}{3}下列关于偏导数的说法正确的有（）A.偏导数存在且连续，则函数可微B.函数可微，则偏导数一定存在C.函数在某点的偏导数存在，则该点连续D.偏导数不存在的点一定不可微第6页共10页设A为n阶矩阵，则下列结论正确的有（）A.若A可逆，则|A|\neq0B.若A的秩为r，则其所有r阶子式不为零C.若A^T=A，则A为对称矩阵D.若AB=AC，且A可逆，则B=C下列关于正态分布的说法正确的有（）A.均值为0，方差为1的正态分布称为标准正态分布B.正态分布的概率密度函数关于均值对称C.正态分布的68-95-

99.7法则是指P\mu-\sigmaX\mu+\sigma\approx

0.68D.正态分布的分布函数\Phix满足\Phi-x=1-\Phix函数fx=x^3-3x+2的零点个数可能为（）A.1B.2C.3D.4设X\sim N\mu,\sigma^2，则下列说法正确的有（）A.PX\mu=

0.5B.PX\mu+\sigma=PX\mu-\sigma C.PX\mu+2\sigma\approx

0.025D.PX\mu+3\sigma\approx

0.9987下列矩阵是正定矩阵的有（）A.\begin{pmatrix}ab\ba\end{pmatrix}（a|b|）B.\begin{pmatrix}20\03\end{pmatrix}C.\begin{pmatrix}11\12\end{pmatrix}D.\begin{pmatrix}01\10\end{pmatrix}设A为n阶实对称矩阵，则下列结论正确的有（）第7页共10页A.A的特征值均为实数B.A可对角化C.不同特征值对应的特征向量正交D.A的秩等于非零特征值的个数

三、判断题（共20题，每题1分）函数fx=\frac{1}{x}在x=0处连续（）若fx在区间[a,b]上可积，则fx在[a,b]上有界（）矩阵乘法满足交换律（）线性方程组Ax=b有唯一解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且等于未知数的个数（）标准正态分布的分布函数\Phi0=

0.5（）若X为随机变量，则EX^2\geq[EX]^2（）函数fx=\sin x的导数是\cos x（）矩阵A的秩等于其行向量组的秩（）二重积分\iint_D fx,y dxdy中，若D关于x和y都对称，则积分结果一定为0（）若事件A与B独立，则PA\cup B=PA+PB-PAPB（）函数fx=x^2在x=0处取得极大值（）矩阵A=\begin{pmatrix}00\00\end{pmatrix}的秩为0（）定积分\int_{a}^{b}fx dx的值与积分变量的符号无关（）若A为可逆矩阵，则A的特征值都不为0（）第8页共10页设X\sim N0,1，则PX

1.645\approx

0.05（）线性空间的维数是唯一确定的（）函数fx=\ln1-x的定义域为-1,1（）若A为n阶矩阵，则|A^k|=|A|^k（k为正整数）（）设A,B为事件，则PA-B=PA-PAB（）若fx在x=a处可导，则fx在x=a处连续（）

四、简答题（共2题，每题5分）简述求函数fx=x^3-3x+1在区间[0,2]上的最大值和最小值的步骤已知随机变量X\sim N1,4，求P1X3的值（结果保留两位小数，参考标准正态分布表\Phi

0.5\approx

0.6915，\Phi1\approx

0.8413）附参考答案

一、单项选择题1-5:ACAAA6-10:ADACA11-15:CBBAA16-20:CABAC21-25:DBCBB26-30:ACACA

二、多项选择题1:ABD2:ABCD3:ABCD4:AC5:ABC6:ABC7:ABD8:ABC9:AB10:ABCD11:ABD12:AB13:AB14:ABD15:ACD16:ABCD17:ABC18:ABCD19:ABC20:ABCD第9页共10页判断1-5:×√×√√6-10:√√√×√11-15:×√√√√16-20:√×√√√简答题解

①求导数fx=3x^2-3；

②求驻点令fx=0，解得x=\pm1，在区间[0,2]内的驻点为x=1；

③计算端点和驻点的函数值f0=1，f1=-1，f2=3；

④比较得最大值为3（x=2），最小值为-1（x=1）解

①标准化P1X3=P\left\frac{1-1}{2}\frac{X-1}{2}\frac{3-1}{2}\right=P0Z1（Z\simN0,1）；

②利用标准正态分布性质P0Z1=\Phi1-\Phi0\approx

0.8413-

0.5=

0.3413，保留两位小数为

0.34第10页共10页。