数论试题及答案

数论试题及答案

一、文档说明本文档为数论基础练习题及参考答案，涵盖整除性、同余、素数、欧拉函数、中国剩余定理等核心知识点，共包含单项选择题、多项选择题、判断题及简答题四种题型，适合数论初学者巩固知识、检验学习效果

二、单项选择题（共30题，每题1分，共30分）（注每题只有一个正确选项，将正确选项序号填在括号内）

1.1整除性下列哪组数中，6能整除a？（）A.a=12B.a=14C.a=16D.a=18若整数a,b满足a|b且b|a，则a与b的关系是（）A.a=b B.|a|=|b|C.a=-b D.无法确定12的正约数共有（）个A.4B.5C.6D.

71.2同余与模运算若a≡b modm，则下列等式中一定成立的是（）A.a+m≡b-m modm B.a-c≡b-c modmC.a×c≡b×c modm D.a/m≡b/m modm3^4mod5的值为（）A.1B.2C.3D.4解同余方程2x≡3mod5，x的解为（）A.x≡1mod5B.x≡2mod5C.x≡3mod5D.x≡4mod

51.3素数与合数下列哪个数是素数？（）第1页共8页A.15B.21C.23D.25素数的个数（）A.有限个B.无限个C.只有一个D.无法确定100以内的素数共有（）个A.25B.26C.27D.

281.4素数分解12的素数分解式为（）A.2×2×3B.2×6C.3×4D.1×12×1正整数n的标准分解式为n=2^3×3^2×5，则n的正约数个数为（）A.3+12+11+1=24B.3×2×1=6C.3+2+1=6D.2^3×3^2×5=360若n=60，则n的素数分解中，素因子的指数之和为（）A.2+1+1=4B.2+1+1+1=5C.2+1+1+1+1=6D.无法确定

1.5欧拉函数欧拉函数φ12的值为（）A.4B.5C.6D.7若p是素数，则φp等于（）A.p B.p-1C.p+1D.1欧拉函数φ1的值为（）A.0B.1C.2D.无法定义

1.6完全平方数与完全立方数下列哪个数是完全平方数？（）A.12B.16C.18D.20完全平方数的末位数字不可能是（）A.0B.1C.2D.4第2页共8页1000是否为完全立方数？（）A.是B.否C.无法确定D.以上都不对

1.7中国剩余定理解同余方程组x≡2mod3，x≡1mod4，x的最小正解为（）A.5B.7C.9D.11同余方程组x≡1mod2，x≡2mod3，x≡3mod5的解为（）A.23B.28C.33D.

381.8不定方程不定方程3x+5y=14的正整数解有（）组A.0B.1C.2D.3方程x^2-y^2=15的正整数解（x,y）有（）组A.1B.2C.3D.

41.9其他知识点11的最小正非负完全剩余系中，最大的数为（）A.10B.11C.12D.0若a≡5mod7，b≡3mod7，则a+b≡（）mod7A.1B.2C.3D.8素数p=5，a=3，则a^p-1mod p的值为（）A.1B.2C.3D.

41.10综合应用若n是正整数，n=2^k×m（m为奇数），则n的所有正约数之和为（）A.2^0+2^1+...+2^km1+m2+...+mk B.2^k+1-1m的所有约数之和C.2^k-1m的所有约数之和D.无法确定第3页共8页同余方程x^2≡2mod7的解为（）A.x≡3,4mod7B.x≡2,5mod7C.x≡1,6mod7D.无解100以内能被3或5整除的数共有（）个A.47B.48C.49D.

501.11证明与概念辨析若a,b,c为整数，且a|b，b|c，则（）A.a|c B.c|a C.a+c|b D.a-c|b下列关于“1是否为素数”的判断，正确的是（）A.是B.否C.有时是D.无法确定

三、多项选择题（共20题，每题2分，共40分）（注每题至少有一个正确选项，将正确选项序号填在括号内）

3.1整除性质下列关于整除的性质，正确的有（）A.若a|b且a|c，则a|b+c B.若a|b且b|c，则a|cC.若a|b且c|d，则ac|bd D.若a|b，则a|b×c（c为整数）若a|b，则下列等式成立的有（）A.b=ka（k为整数）B.a|-b C.|a|≤|b|D.a和b同号

3.2同余性质同余关系“≡”的基本性质包括（）A.自反性a≡a modm B.对称性若a≡b modm，则b≡a modmC.传递性若a≡b modm且b≡c modm，则a≡c modm D.可加性若a≡b modm且c≡d modm，则a+c≡b+d modm同余式ax≡b modm有解的充要条件是（）A.gcda,m|b B.gcda,m不整除b C.a=0D.m=

13.3素数相关第4页共8页下列关于素数的说法，正确的有（）A.素数只有1和自身两个正约数B.最小的素数是2C.所有大于2的素数都是奇数D.素数有无穷多个

3.4欧拉函数欧拉函数φn的性质包括（）A.若p是素数，则φp=p-1B.若n=pq（p,q为不同素数），则φn=p-1q-1C.φn是积性函数D.φ1=

13.5完全平方数完全平方数的特征有（）A.末位数字只能是0,1,4,5,6,9B.素数分解中，所有指数都是偶数C.除以4余0或1D.除以3余0或

13.6中国剩余定理中国剩余定理的适用条件包括（）A.同余方程组中的模两两互素B.模可以有公因子C.至少有两个同余式D.方程组一定有解

3.7不定方程不定方程ax+by=c有整数解的充要条件是（）A.gcda,b|c B.a,b,c都是正整数C.gcda,b不整除c D.存在非负整数解

3.8其他性质下列关于“m|n”的说法，正确的有（）A.m是n的约数B.n是m的倍数C.n=m×k（k为整数）D.m和n的最大公约数是m

四、判断题（共20题，每题1分，共20分）第5页共8页（注对的打“√”，错的打“×”）若a|b且a|c，则a|b-c（）1是任何正整数的约数（）3^5=243，243是3的倍数（）同余式2x≡5mod7无解（）17是素数（）欧拉函数φ6=φ2×3=φ2×φ3=1×2=2（）完全平方数一定能表示为两个正整数的平方和（）中国剩余定理只能解两个同余式组成的方程组（）素数分解式中，每个素数的指数都是唯一的（）若a≡b modm，则a^k≡b^k modm（k为正整数）（）12和18的最大公约数是6（）10000=100^2，10000是完全平方数（）素数p=7，a=3，则a^p-1=3^6=729≡1mod7（）同余式x^2≡-1mod5有解（）100以内的素数中，只有2是偶数，其余都是奇数（）欧拉函数φ12=4（）不定方程3x+5y=14的正整数解为x=3,y=1（）若m|n且mn，则m=n（）1是素数（）同余式ax≡b modm中，若a=0，则当b=0时无解，b≠0时无解？（）

五、简答题（共2题，每题5分，共10分）证明素数有无穷多个用中国剩余定理解同余方程组第6页共8页x≡2mod3，x≡3mod4，x≡1mod5参考答案

一、单项选择题A

2.B

3.C

4.B

5.A

6.D

7.C

8.B

9.A

10.AA

12.A

13.A

14.B

15.B

16.B

17.C

18.A

19.A

20.AB

22.B

23.A

24.B

25.A

26.B

27.A

28.C

29.A

30.B

二、多项选择题ABCD

2.AB

3.ABCD

4.A

5.ABCD

6.ABCD

7.ABCD

8.A

9.A

10.ABC

三、判断题√

2.√

3.√

4.×

5.√

6.√

7.×

8.×

9.√

10.√√

12.√

13.√

14.×

15.√

16.√

17.√

18.×

19.×

20.×

四、简答题证明假设素数只有有限个，设为p1,p2,...,pn构造数N=p1p

2...pn+1，显然N1若N是素数，则N≠p1,...,pn，与假设矛盾；若N是合数，则其必有素因子p，而p|N且p|p1p

2...pn，故p|1，矛盾素数有无穷多个解设x=3k+2，代入x≡3mod4得3k+2≡3mod4→3k≡1mod4→k≡3mod4（因3×3=9≡1mod4），故k=4m+3，第7页共8页x=34m+3+2=12m+11代入x≡1mod5得12m+11≡1mod5→12m≡-10mod5→12m≡0mod5→12≡2mod5，故2m≡0mod5→m≡0mod5，m=5n，x=12×5n+11=60n+11最小正解为x=11文档说明试题覆盖数论基础核心知识点，答案解析简洁明了，适合自学和练习使用若需更多专项练习或提高难度，可参考数论进阶教材第8页共8页。