数值分析试题及答案汇总

数值分析试题及答案汇总

一、单项选择题（共30题，每题1分）（每题只有一个正确选项，将正确选项前的字母填在括号内）数值分析中，用来衡量计算结果与精确值接近程度的是（）A.绝对误差B.相对误差C.有效数字D.误差限若x的近似值为x=

1.2345，精确值为x=

1.234567，则x的绝对误差为（）A.

0.000067B.-

0.000067C.

0.000067D.

1.234567下列关于有效数字的说法中，正确的是（）A.有效数字越多，绝对误差越小B.有效数字位数与小数点后的位数相同C.

0.0123有3位有效数字D.有效数字的首位数字不能为0拉格朗日插值多项式的特点是（）A.插值节点固定后，多项式唯一确定B.计算过程中需不断构造新的多项式C.只适用于等距节点D.次数不超过n（n为节点数）三次样条插值函数的基本特点是（）第1页共13页A.分段线性函数B.在插值节点处一阶导数连续C.次数不超过3D.仅在区间端点处连续梯形求积公式的代数精度为（）A.1B.2C.3D.4下列数值积分公式中，具有最高代数精度的是（）A.矩形公式B.梯形公式C.辛普森公式D.高斯求积公式求解线性方程组Ax=b时，若A为严格对角占优矩阵，则迭代法（）收敛A.雅可比（Jacobi）B.高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）C.超松弛（SOR）D.共轭梯度（CG）高斯消元法的核心步骤是（）A.选主元B.矩阵三角分解C.回代求解D.构造增广矩阵第2页共13页下列关于列主元消去法的说法中，错误的是（）A.可减少舍入误差B.需在每步消元前选列主元C.适用于病态方程组D.是直接法数值稳定性指的是（）A.算法计算结果与精确解的接近程度B.输入数据微小扰动对输出结果影响的大小C.算法的收敛速度D.算法的时间复杂度若线性方程组Ax=b的系数矩阵A的条件数很大，则该方程组（）A.解唯一B.解不唯一C.病态D.良态牛顿-柯特斯求积公式中，当n=1时为（）A.梯形公式B.矩形公式C.辛普森公式D.高斯公式下列关于插值与拟合的区别，说法正确的是（）A.插值要求函数在所有节点处与已知数据完全相等B.拟合要求函数必须通过所有已知数据点C.插值适用于数据点较多的情况D.拟合适用于数据点较少的情况第3页共13页求解常微分方程初值问题y=fx,y,yx0=y0，下列方法中精度最高的是（）A.欧拉法B.改进欧拉法C.二阶龙格-库塔法D.四阶龙格-库塔法（RK4）数值分析中，“病态问题”指的是（）A.算法本身存在误差B.输入数据微小变化导致输出结果剧烈变化C.计算过程中舍入误差累积过快D.问题无解有效数字为3位的近似值x=

0.0123，则其相对误差限为（）A.

0.5×10^-3B.

0.5×10^-4C.

0.5×10^-5D.

0.5×10^-6拉格朗日插值多项式的余项是（）A.fx-L_nxB.fx-P_nxC.f^n+1ξx-x

0...x-xn/n+1!D.fx-Q_nx辛普森公式的几何意义是用（）近似曲线下面积A.直线段B.抛物线弧段C.三次曲线段第4页共13页D.高次曲线段高斯消元法中，若消元过程出现主元为0，应采用（）A.列主元消去法B.行主元消去法C.全主元消去法D.直接跳过该步下列迭代法中，属于线性多步法的是（）A.欧拉法B.改进欧拉法C.亚当斯法D.龙格-库塔法数值积分中，“步长”指的是（）A.节点间的间隔B.积分区间的长度C.被积函数的取值间隔D.近似解的精度设A为n阶矩阵，其条件数condA=||A||·||A^-1||，当condA接近1时，A为（）A.病态矩阵B.良态矩阵C.奇异矩阵D.非奇异矩阵下列关于数值方法“收敛性”的描述，正确的是（）A.算法计算结果随n增大趋于精确解B.输入数据扰动不影响输出结果第5页共13页C.计算过程中舍入误差不累积D.问题解存在唯一三次样条插值函数在每个小区间上是（）A.一次多项式B.二次多项式C.三次多项式D.四次多项式求解线性方程组时，雅可比迭代法的迭代矩阵是（）A.D^-1L+UB.D-L^-1UC.D+L^-1UD.D-L^-1D+U梯形公式的截断误差为（）A.Oh^2B.Oh^3C.Oh^4D.Oh^5下列关于数值稳定性的说法中，正确的是（）A.稳定算法的计算结果一定准确B.稳定算法对输入数据的微小扰动不敏感C.数值稳定性与算法的收敛速度相关D.所有迭代法都不稳定改进欧拉法（预估-校正法）中，校正公式的作用是（）A.提高计算速度B.减少舍入误差第6页共13页C.提高精度D.简化计算数值分析的主要研究对象是（）A.纯数学理论B.工程问题的精确解C.数学问题的近似解及其计算方法D.数据统计方法

二、多项选择题（共20题，每题2分）（每题有多个正确选项，将正确选项前的字母填在括号内，多选、少选、错选均不得分）数值分析中常见的误差类型包括（）A.模型误差B.观测误差C.截断误差D.舍入误差下列关于拉格朗日插值多项式的说法中，正确的有（）A.由n+1个节点唯一确定n次多项式B.节点可不等距C.余项表达式中包含f的高阶导数D.计算时需构造新的基函数辛普森求积公式的特点是（）A.代数精度为3B.仅适用于区间等分为偶数份C.可用于积分区间[a,b]上的函数D.余项为Oh^4第7页共13页直接法求解线性方程组的特点是（）A.计算步骤固定B.计算过程中舍入误差累积较少C.适用于大型稀疏矩阵D.时间复杂度为On^3高斯消元法的主要步骤包括（）A.消元过程B.回代过程C.选主元D.矩阵转置下列迭代法中，可用于求解线性方程组Ax=b的有（）A.雅可比迭代法B.高斯-赛德尔迭代法C.共轭梯度法D.最速下降法常微分方程数值解的基本方法包括（）A.欧拉法B.龙格-库塔法C.有限差分法D.有限元法关于数值稳定性的描述，正确的有（）A.稳定算法对初始误差不敏感B.数值稳定性与算法本身的构造有关C.迭代法的稳定性取决于迭代矩阵的谱半径D.直接法比迭代法更稳定第8页共13页有效数字的位数与下列哪些因素有关（）A.近似值的数值大小B.近似值的绝对误差C.近似值的相对误差D.精确值的大小三次样条插值的条件包括（）A.在节点处函数值相等B.在节点处一阶导数连续C.在节点处二阶导数连续D.每个小区间内为三次多项式下列关于条件数的说法中，正确的有（）A.条件数越小，方程组越“好解”B.条件数是矩阵范数与逆矩阵范数的乘积C.条件数与范数的选取有关D.条件数可衡量矩阵的“病态程度”梯形求积公式的几何意义是用直线段近似曲线，其优点是（）A.计算简单B.对一次函数精确C.适用于任意区间D.精度高于矩形公式求解病态方程组的常用方法有（）A.改进算法（如列主元消去）B.预处理技术C.迭代法（如共轭梯度法）D.直接法（如LU分解）第9页共13页下列关于插值与拟合的说法中，正确的有（）A.插值要求函数通过所有已知点B.拟合要求函数逼近已知点C.插值适用于数据点较少的情况D.拟合适用于数据点较多且存在误差的情况牛顿迭代法的特点包括（）A.局部收敛B.需计算函数导数C.收敛速度快D.对初始值敏感数值分析的主要研究内容包括（）A.误差分析与控制B.数值方法的构造与选择C.算法的稳定性与收敛性D.算法的计算复杂度列主元消去法的作用是（）A.避免主元为0B.减少舍入误差C.提高计算精度D.简化回代过程下列关于高斯-赛德尔迭代法的说法中，正确的有（）A.利用已更新的迭代值B.迭代矩阵与雅可比法不同C.对严格对角占优矩阵一定收敛D.收敛速度通常快于雅可比法第10页共13页数值积分的“步长”对结果的影响是（）A.步长越小，精度越高B.步长越小，计算量越大C.步长过大可能导致截断误差大D.步长与精度无关数值稳定性与收敛性的关系是（）A.收敛性是数值方法的基本要求B.稳定算法不一定收敛C.收敛算法一定稳定D.稳定且收敛的算法才是实用的

三、判断题（共20题，每题1分）（对的打“√”，错的打“×”）绝对误差越小，相对误差一定越小（）拉格朗日插值多项式的次数不超过节点数（）梯形求积公式对二次函数的积分结果精确（）高斯消元法是直接法，其计算过程中无需选主元（）雅可比迭代法的迭代矩阵是D^-1L+U，其中D是A的对角部分（）条件数condA≥1，当condA=1时，A为正交矩阵（）有效数字为3位的近似值

0.0123，其绝对误差限为

0.00005（）辛普森公式仅适用于积分区间[a,b]被等分为2份的情况（）改进欧拉法的精度高于欧拉法（）数值分析中的“病态问题”指的是算法本身存在严重误差（）三次样条插值函数在整个区间上是三次多项式（）迭代法的收敛性取决于迭代矩阵的谱半径是否小于1（）第11页共13页数值稳定性是指算法对输入数据扰动的抵抗能力（）矩形公式（左矩形）的代数精度为1（）高斯-赛德尔迭代法对严格对角占优矩阵一定收敛（）线性方程组Ax=b有唯一解当且仅当A是非奇异矩阵（）有限差分法是求解常微分方程初值问题的数值方法之一（）有效数字的首位数字不能为0（）数值积分的余项表达式中包含被积函数的高阶导数（）共轭梯度法适用于对称正定矩阵的线性方程组求解（）

四、简答题（共2题，每题5分）简述数值分析中误差的分类及其定义比较高斯消元法与共轭梯度法的适用场景和优缺点参考答案

一、单项选择题（共30题，每题1分）

1.A

2.A

3.D

4.A

5.B

6.A

7.C

8.B

9.B

10.C

11.B

12.C

13.B

14.A

15.D

16.B

17.B

18.C

19.B

20.A

21.C

22.A

23.B

24.A

25.C

26.B

27.A

28.B

29.C

30.C

二、多项选择题（共20题，每题2分）

1.ABCD

2.ABC

3.ABD

4.ABD

5.AB

6.ABCD

7.ABC

8.ABC

9.BC

10.ABCD

11.ABCD

12.ABD

13.AB

14.ABD

15.ABC

16.ABCD

17.ABC

18.ABD

19.ABC

20.AD

三、判断题（共20题，每题1分）

1.×

2.√

3.√

4.×

5.√

6.×

7.√

8.×

9.√

10.×

11.×

12.√

13.√

14.√

15.√

16.√

17.√

18.×

19.√

20.√

四、简答题（共2题，每题5分）数值分析中误差的分类及定义第12页共13页模型误差数学模型与实际问题的差异；观测误差实验或测量数据的误差；截断误差用近似方法（如数值方法）代替精确方法产生的误差；舍入误差计算机存储和计算时对浮点数的近似误差高斯消元法与共轭梯度法的比较高斯消元法适用于中小规模稠密矩阵，直接法，时间复杂度On³，舍入误差累积较少，但对大型稀疏矩阵效率低共轭梯度法适用于大型对称正定稀疏矩阵，迭代法，收敛快，存储量小，但需矩阵对称正定，对非对称矩阵不适用第13页共13页。