函数极限试题及答案

函数极限试题及答案

一、单项选择题（共30题，每题1分）（在每题列出的四个选项中，只有一个最符合题目要求，请将正确答案的序号填在括号内）函数fx在点x=a处极限存在的充分必要条件是（）A.左极限存在B.右极限存在C.左极限和右极限都存在且相等D.函数值等于极限值极限\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}的值为（）A.0B.1C.x D.不存在下列极限计算正确的是（）A.\lim_{x\to\infty}\left1+\frac{1}{x}\right^x=e B.\lim_{x\to0}\left1+x\right^{\frac{1}{x}}=e C.\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=0D.\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=1当x\to0时，无穷小量\sin2x与x的关系是（）A.等价无穷小B.同阶无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小函数fx=\frac{x^2-1}{x-1}在x=1处无定义，则\lim_{x\to1}fx的值为（）A.0B.1C.2D.不存在极限\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2-2x+1}{2x^2+x-3}的值为（）A.0B.\frac{3}{2}C.1D.不存在函数fx=\frac{x^2-4}{x-2}在x=2处补充定义f2=（）可使其连续第1页共10页A.0B.2C.4D.5当x\to0时，与\sqrt{1+x}-1等价的无穷小量是（）A.xB.\frac{x}{2}C.2xD.x^2极限\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}的值为（）A.0B.1C.-1D.不存在函数fx=\frac{1}{x-1}的间断点类型是（）A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}的值为（）A.0B.1C.e D.\frac{1}{e}当x\to\infty时，下列变量中为无穷大量的是（）A.\frac{1}{x}B.x^2+1C.\sin xD.\frac{1}{x-1}函数fx=\frac{x^2}{1-\cos x}在x=0处的极限值为（）A.0B.1C.2D.不存在极限\lim_{x\to\infty}\left1-\frac{2}{x}\right^x的值为（）A.e^{-2}B.e^2C.eD.e^{-1}函数fx=\begin{cases}x+1,x0\x-1,x\geq0\end{cases}在x=0处的左极限是（）A.0B.1C.-1D.2当x\to0时，与\ln1+2x等价的无穷小量是（）A.2xB.xC.x^2D.\frac{x}{2}极限\lim_{x\to0}\frac{\tan3x}{\sin2x}的值为（）第2页共10页A.0B.\frac{3}{2}C.1D.\frac{2}{3}函数fx=\frac{x^2-2x-3}{x^2-9}的可去间断点是（）A.x=3B.x=-3C.x=3和x=-3D.无间断点\lim_{x\to0}\frac{1-\cos2x}{x^2}的值为（）A.0B.1C.2D.4函数fx在点x=a处连续是fx在该点可导的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件极限\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{x-1}的值为（）A.0B.1C.2D.3当x\to0时，与1-\cos2x等价的无穷小量是（）A.2x^2B.x^2C.4x^2D.\frac{x^2}{2}函数fx=\frac{1}{x}在区间0,+\infty内是（）A.连续函数B.有界函数C.单调递增函数D.无穷大量极限\lim_{x\to\infty}\frac{2x+3}{x-1}的值为（）A.0B.1C.2D.不存在函数fx=\frac{x}{|x|}在x=0处的右极限是（）A.-1B.0C.1D.2当x\to0时，无穷小量x^2+2x是x的（）A.等价无穷小B.同阶无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小极限\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}}{x}的值为（）A.0B.1C.2D.e第3页共10页函数fx=\frac{\ln1+x}{x}在x=0处无定义，补充定义f0=（）可使其连续A.0B.1C.e D.2极限\lim_{x\to\infty}\left1+\frac{1}{x+1}\right^{x+1}的值为（）A.0B.1C.e D.e^2函数fx=\sin\frac{1}{x}在x=0处（）A.连续B.有定义C.极限存在D.间断

二、多项选择题（共20题，每题2分）（在每题列出的五个选项中，至少有两个正确答案，请将正确答案的序号填在括号内，多选、少选、错选均不得分）下列极限存在的有（）A.\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}B.\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}C.\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}D.\lim_{x\to0}e^xE.\lim_{x\to0}\frac{|x|}{x}当x\to0时，与x等价的无穷小量有（）A.\sin xB.\tan xC.\ln1+xD.e^x-1E.\sqrt{1+x}-1下列函数在x=0处连续的有（）A.fx=x\sin\frac{1}{x}（补充定义f0=0）B.fx=\frac{\sin x}{x}（补充定义f0=1）C.fx=\frac{x^2}{|x|}（补充定义f0=0）D.fx=\frac{1-\cos x}{x}（补充定义f0=\frac{1}{2}）第4页共10页E.fx=\begin{cases}x,x\neq0\1,x=0\end{cases}函数fx在x=a处有定义是fx在该点连续的（）A.必要条件B.充分条件C.既非充分也非必要条件D.前提条件E.无关联条件极限\lim_{x\to\infty}\frac{a x^2+b x+c}{d x^2+e x+f}（其中a,d\neq0）的值取决于（）A.分子最高次项系数B.分母最高次项系数C.分子分母常数项D.分子分母一次项系数E.分子分母次数关系下列函数中，在定义域内连续的有（）A.fx=\frac{1}{x-1}B.fx=\sin xC.fx=\ln xD.fx=\sqrt{x}E.fx=\tan x当x\to0时，无穷小量x^2与x的关系是（）A.x^2=oxB.x=ox^2C.x^2是比x高阶的无穷小D.x是比x^2高阶的无穷小E.两者等价极限\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}的值为（）A.0B.-\frac{1}{6}C.\frac{1}{6}D.不存在E.无法计算函数fx=\frac{x^2-4}{x-2}在x=2处（）A.无定义B.极限存在C.连续D.间断E.可补充定义使其连续下列函数中，在x=0处有间断点的有（）第5页共10页A.fx=\frac{1}{x}B.fx=\frac{x}{|x|}C.fx=\sin\frac{1}{x}D.fx=\frac{\ln|x|}{x}E.fx=\frac{x^2-1}{x-1}当x\to\infty时，下列变量中为无穷大量的有（）A.x^2+1B.\frac{1}{x}C.2x-3D.e^x（x\to+\infty）E.e^x（x\to-\infty）极限\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}可利用（）计算A.等价无穷小替换B.洛必达法则C.极限运算法则D.重要极限公式E.函数连续性函数fx在x=a处连续的条件包括（）A.\lim_{x\to a^-}fx存在B.\lim_{x\to a^+}fx存在C.\lim_{x\to a}fx=fa D.fa有定义E.\lim_{x\to a^-}fx=\lim_{x\toa^+}fx下列极限计算正确的有（）A.\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=3B.\lim_{x\to0}1+2x^{\frac{1}{x}}=e^2C.\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1D.\lim_{x\to\infty}\left1-\frac{1}{x}\right^x=eE.\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}函数fx=\begin{cases}x,x\leq1\2-x,x1\end{cases}在x=1处（）A.左极限为1B.右极限为1C.极限存在D.连续E.间断当x\to0时，与1-\cos x等价的无穷小量是（）第6页共10页A.x^2B.\frac{x^2}{2}C.2x^2D.x^2E.\frac{x^2}{4}极限\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}-2x}{x^2}的值为（）A.0B.1C.2D.\frac{1}{3}E.\frac{1}{6}函数fx=\frac{x^2-1}{x-1}的间断点类型是（）A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点E.无间断点下列函数中，在x=0处可导的有（）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=\sin xD.fx=\ln xE.fx=\frac{1}{x}极限\lim_{x\to\infty}\frac{x+\sin x}{x}的值为（）A.0B.1C.无穷大D.不存在E.无法确定

三、判断题（共20题，每题1分）（对的打“√”，错的打“×”）函数在某点的极限存在，则该函数在该点一定有定义（）当x\to0时，\sin x与x是等价无穷小量（）无穷小量是绝对值很小的数（）函数fx在x=a处连续，则fx在该点一定有极限（）\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0是重要极限之一（）函数fx=\frac{x}{x-1}在x=1处是无穷间断点（）当x\to0时，\sqrt{1+x}-1与x是同阶无穷小（）第7页共10页函数fx=\sin x在-\infty,+\infty内连续（）\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1的计算过程中，不能直接用等价无穷小替换\tan x\sim x（）函数fx=\frac{x^2-4}{x-2}在x=2处补充定义f2=4后连续（）极限\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x+1}=\infty（）当x\to0时，x\sin\frac{1}{x}是无穷小量（）函数fx=\frac{1}{x^2}在x=0处极限为0，故连续（）\lim_{x\to0}1+x^{\frac{1}{x}}=e的计算中，令t=x则t\to0时成立（）函数fx=\begin{cases}1,x0\0,x=0\-1,x0\end{cases}在x=0处极限存在（）无穷大量一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大量（）当x\to0时，\frac{1-\cos x}{x}是无穷小量（）函数fx=\ln|x|在x=0处有定义，故连续（）\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1可用于等价无穷小替换e^x-1\sim x（）函数fx在x=a处连续是fx在该点可导的必要条件（）

四、简答题（共2题，每题5分）计算极限\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}-2x}{x^3}第8页共10页讨论函数fx=\begin{cases}\frac{\sin x}{x},x\neq0\1,x=0\end{cases}在x=0处的连续性参考答案

一、单项选择题C

2.B

3.A

4.B

5.C

6.B

7.C

8.B

9.A

10.CB

12.B

13.C

14.A

15.B

16.A

17.B

18.A

19.C

20.BD

22.A

23.A

24.C

25.C

26.B

27.C

28.B

29.C

30.D

二、多项选择题ABCD

2.ABCD

3.ABCD

4.AC

5.ABEBCD

7.AC

8.B

9.ABDE

10.ABCDACD

12.ABC

13.CDE

14.ABCE

15.ABCDABD

17.E

18.A

19.AC

20.B

三、判断题×

2.√

3.×

4.√

5.√

6.√

7.×

8.√

9.√

10.√√

12.√

13.×

14.√

15.×

16.√

17.√

18.×

19.√

20.√

四、简答题解利用泰勒展开式e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ox^3，e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+ox^3，代入得第9页共10页分子=[1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}-1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}]-2x=\frac{x^3}{3}+ox^3，极限=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^3}{3}+ox^3}{x^3}=\frac{1}{3}解\lim_{x\to0}fx=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1，且f0=1，因为\lim_{x\to0}fx=f0，函数在x=0处连续第10页共10页。