清华矩阵分析试题及答案

清华矩阵分析试题及答案

一、单项选择题（共30题，每题1分）本部分共30题，每题只有一个正确答案设V是数域\mathbb{R}上的线性空间，下列关于V的描述错误的是（）A.零向量是V中唯一的零元B.线性空间中的向量加法满足交换律C.非零线性空间一定存在基D.线性空间的维数等于所有向量的个数向量组\alpha_1=1,0,0,\alpha_2=0,1,0,\alpha_3=0,0,1在\mathbb{R}^3中的维数是（）A.1B.2C.3D.4矩阵A=\begin{pmatrix}12\34\end{pmatrix}的秩是（）A.1B.2C.3D.4若矩阵A可逆，则下列等式成立的是（）A.A^2=EB.|A|=0C.A^T=AD.A^{-1}存在向量\alpha=1,2,3与\beta=4,5,6的内积为（）A.28B.29C.30D.31矩阵A=\begin{pmatrix}01\10\end{pmatrix}的特征值是（）A.1,-1B.1,1C.-1,-1D.0,0设A与B相似，则下列说法错误的是（）A.\text{rank}A=\text{rank}BB.|A|=|B|C.A与B有相同的特征值D.A+B=B+A二次型fx_1,x_2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2的矩阵是（）第1页共9页A.\begin{pmatrix}11\11\end{pmatrix}B.\begin{pmatrix}12\21\end{pmatrix}C.\begin{pmatrix}10\01\end{pmatrix}D.\begin{pmatrix}11\01\end{pmatrix}线性空间\mathbb{R}^n的标准基是（）A.1,0,\dots,0,0,1,\dots,0,\dots,0,0,\dots,1B.1,1,\dots,1C.1,0,\dots,0D.以上都不对矩阵A=\begin{pmatrix}10\02\end{pmatrix}的逆矩阵是（）A.\begin{pmatrix}10\02\end{pmatrix}B.\begin{pmatrix}10\01/2\end{pmatrix}C.\begin{pmatrix}01\20\end{pmatrix}D.\begin{pmatrix}20\01\end{pmatrix}向量组\alpha_1=1,2,\alpha_2=2,4的线性相关性是（）A.线性无关B.线性相关C.既无关也不相关D.无法判断矩阵A=\begin{pmatrix}123\456\789\end{pmatrix}的秩是（）A.1B.2C.3D.4正交矩阵的性质不包括（）A.行列式绝对值为1B.逆矩阵等于转置矩阵C.特征值为±1D.列向量两两正交二次型fx_1,x_2,x_3=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2的规范形是（）A.y_1^2+y_2^2+y_3^2B.y_1^2+2y_2^2+3y_3^2第2页共9页C.y_1^2+y_2^2-y_3^2D.无法确定设A是n阶矩阵，\lambda是A的特征值，则A^2的特征值是（）A.\lambdaB.\lambda^2C.2\lambdaD.1/\lambda矩阵A=\begin{pmatrix}11\11\end{pmatrix}的迹是（）A.1B.2C.3D.4线性变换的定义中，不要求满足的条件是（）A.T\alpha+\beta=T\alpha+T\beta B.Tk\alpha=kT\alpha（k为常数）C.T\alpha\beta=T\alphaT\beta D.以上都不是矩阵A=\begin{pmatrix}000\000\000\end{pmatrix}的特征值是（）A.0（三重）B.1（三重）C.1,0,0D.无法确定若A是正交矩阵，则A^T A=（）A.EB.AC.A^{-1}D.A^2二次型fx_1,x_2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2的正惯性指数是（）A.0B.1C.2D.3矩阵A=\begin{pmatrix}10\01\end{pmatrix}与B=\begin{pmatrix}10\01\end{pmatrix}的关系是（）A.相似但不合同B.合同但不相似C.既相似又合同D.既不相似也不合同线性方程组Ax=b有解的充要条件是（）第3页共9页A.\text{rank}A=\text{rank}A,bB.\text{rank}A n C.\text{rank}AnD.b=0矩阵A=\begin{pmatrix}12\34\end{pmatrix}的特征多项式是（）A.\lambda^2-5\lambda-2B.\lambda^2-5\lambda+2C.\lambda^2+5\lambda-2D.\lambda^2+5\lambda+2向量\alpha=1,2,3的范数（2-范数）是（）A.\sqrt{14}B.\sqrt{13}C.\sqrt{12}D.\sqrt{11}矩阵A=\begin{pmatrix}123\456\789\end{pmatrix}的行向量组的秩是（）A.1B.2C.3D.4若A是n阶可逆矩阵，则A^*（伴随矩阵）的特征值是（）A.|A|/\lambdaB.\lambda/|A|C.\lambda|A|D.1/\lambda二次型fx_1,x_2,x_3=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3的矩阵是（）A.\begin{pmatrix}011\101\110\end{pmatrix}B.\begin{pmatrix}01/21/2\1/201/2\1/21/20\end{pmatrix}C.\begin{pmatrix}100\010\001\end{pmatrix}D.\begin{pmatrix}111\111\111\end{pmatrix}线性空间\mathbb{R}^n的维数是（）A.0B.1C.n D.不确定矩阵A=\begin{pmatrix}10\02\end{pmatrix}的迹是（）第4页共9页A.1B.2C.3D.4向量组\alpha_1=1,0,0,\alpha_2=0,1,0,\alpha_3=0,0,1,\alpha_4=1,1,1的秩是（）A.1B.2C.3D.4

二、多项选择题（共20题，每题2分）本部分共20题，每题有多个正确答案，多选、少选、错选均不得分矩阵分析中常见的矩阵类型包括（）A.可逆矩阵B.正交矩阵C.对称矩阵D.奇异矩阵线性空间的基本性质有（）A.对加法封闭B.对象数乘法封闭C.加法满足结合律D.存在零元关于矩阵的秩，下列说法正确的有（）A.矩阵的秩等于非零子式的最高阶数B.行阶梯形矩阵的非零行数就是矩阵的秩C.若A是m\times n矩阵，则\text{rank}A\leq\minm,n D.若A,B是同阶矩阵，则\text{rank}AB\leq\min\text{rank}A,\text{rank}B下列矩阵中，可能是正交矩阵的有（）A.\begin{pmatrix}10\0-1\end{pmatrix}B.\begin{pmatrix}01\10\end{pmatrix}C.\begin{pmatrix}10\01\end{pmatrix}D.\begin{pmatrix}1/21/2\1/2-1/2\end{pmatrix}二次型的标准形具有的特点是（）A.只含平方项B.系数为非零实数第5页共9页C.可通过正交变换或配方法得到D.标准形唯一线性变换的性质包括（）A.保持零向量不变B.保持向量加法不变C.保持数乘不变D.保持线性组合不变矩阵A的特征值与特征向量的关系有（）A.特征向量对应唯一特征值B.特征值为零的特征向量构成零空间C.相似矩阵有相同的特征值D.若\lambda是A的特征值，则\lambda^k是A^k的特征值下列关于正交矩阵的说法正确的有（）A.正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵B.正交矩阵的行向量组两两正交且模长为1C.正交矩阵的乘积仍是正交矩阵D.正交矩阵的特征值为实数矩阵A可相似对角化的条件有（）A.A有n个线性无关的特征向量B.A的每个特征值的代数重数等于几何重数C.A是实对称矩阵D.A是幂等矩阵二次型fx_1,x_2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2的性质有（）A.半正定B.正定C.秩为1D.正惯性指数为2向量组线性相关性的判定方法有（）A.定义法B.秩的方法C.行列式法D.矩阵的初等行变换法矩阵A的行空间和列空间的关系有（）A.行空间的维数等于列空间的维数B.行空间和列空间都是\mathbb{R}^n的子空间第6页共9页C.行空间的基是行阶梯形矩阵的非零行D.列空间的维数等于矩阵的秩关于矩阵的迹，下列说法正确的有（）A.迹是主对角线元素之和B.相似矩阵的迹相等C.迹等于所有特征值之和D.若A,B是同阶矩阵，则\text{tr}A+B=\text{tr}A+\text{tr}B下列二次型中，正定的有（）A.fx_1,x_2=x_1^2+2x_2^2B.fx_1,x_2,x_3=x_1^2+x_2^2+x_3^2C.fx_1,x_2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2D.fx_1,x_2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2线性方程组Ax=b有唯一解的条件是（）A.\text{rank}A=\text{rank}A,b=nB.\text{rank}A=nC.\text{rank}A,b=nD.A可逆矩阵A=\begin{pmatrix}123\456\789\end{pmatrix}的性质有（）A.秩为2B.行向量线性相关C.列向量线性相关D.行列式为0关于线性空间的基，下列说法正确的有（）A.基是线性无关且能线性表示空间中所有向量的向量组B.基的个数等于空间的维数C.基不唯一，但个数唯一第7页共9页D.基的线性组合可以表示空间中的任意向量矩阵A的特征多项式|\lambda E-A|具有的性质有（）A.次数为矩阵的阶数B.首项系数为1C.根为矩阵的特征值D.系数与矩阵的迹和行列式有关二次型fx_1,x_2,x_3=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2-2x_1x_2-2x_2x_3的矩阵可能是（）A.\begin{pmatrix}1-10\-12-1\0-13\end{pmatrix}B.\begin{pmatrix}1-20\-22-2\0-23\end{pmatrix}C.\begin{pmatrix}1-10\-12-1\0-13\end{pmatrix}的转置D.以上都不对下列关于矩阵运算的说法正确的有（）A.AB^T=B^T A^TB.AB^{-1}=B^{-1}A^{-1}C.A^k A^m=A^{k+m}D.A+B^2=A^2+AB+BA+B^2

三、判断题（共20题，每题1分）本部分共20题，正确的打“√”，错误的打“×”零向量是线性空间中唯一的零元（）矩阵的特征值一定是实数（）正交矩阵的乘积仍是正交矩阵（）线性空间的维数等于该空间中所有向量的个数（）矩阵的秩等于其非零特征值的个数（）二次型的正惯性指数与负惯性指数之和等于二次型的秩（）若矩阵A与B合同，则A与B相似（）可逆矩阵一定可以相似对角化（）向量组的极大线性无关组是唯一的（）矩阵的迹等于其所有元素之和（）第8页共9页线性变换的矩阵表示与基的选择无关（）若A是对称矩阵，则A可相似对角化（）矩阵A的零空间是A的特征值为0的特征子空间（）二次型fx_1,x_2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2是半正定的（）正交矩阵的特征值只能是1或-1（）矩阵A的行空间和列空间的维数相等（）线性方程组Ax=b有解的充要条件是b属于A的列空间（\text{col}A）（）若\lambda是矩阵A的特征值，则\lambda的代数重数大于等于几何重数（）矩阵A的逆矩阵存在当且仅当A的行列式不为0（）二次型fx_1,x_2,x_3=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2正定（）

四、简答题（共2题，每题5分）简述矩阵相似对角化的条件如何判断一个二次型是否正定？参考答案

一、单项选择题1-5DCBDA6-10ADAAA11-15BBCCC16-20BCAAB21-25CAAAC26-30AACBC

二、多项选择题1-5ABCD ABCD ABCD ABCAC6-10ABCD BCDABC ABCAC11-15ABCD ADABCDABABD16-20ABCD ABCD第9页共9页。