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离散数学考试题及答案
一、考试说明本试卷满分100分，考试时间90分钟试卷涵盖离散数学核心知识点，包括集合论、关系、数理逻辑、图论及代数系统，题型包括单项选择、多项选择、判断及简答题，注重基础概念理解与应用能力考查
二、单项选择题（共30题，每题1分，共30分）（每题只有一个正确选项，将正确选项前的字母填在括号内）设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A\cup B=（）A.{1,2,3,4}B.{2,3}C.{1,4}D.{1,2,3}集合A的幂集\mathcal{P}A的基数为（）A.|A|B.2^{|A|}C.|A|+1D.2|A|设R是集合A={1,2,3}上的关系，R={1,2,2,3,1,3}，则R的自反闭包rR=（）A.{1,2,2,3,1,3}B.{1,1,2,2,3,3,1,2,2,3,1,3}C.{1,2,2,3,1,3,2,1,3,2,3,1}D.{1,2,2,3,1,3,1,1,2,2}命题公式\neg p\rightarrow q的等价式为（）A.p\land\neg qB.\neg p\lor qC.\neg p\rightarrow\neg qD.q\rightarrow p谓词公式\forall xPx\rightarrow Qx,y中，y是（）第1页共9页A.自由变元B.约束变元C.既是自由变元也是约束变元D.以上都不是设G是有n个顶点的无向图，G的边数为m，则G的顶点度数之和为（）A.nB.mC.2nD.2m无向图G是连通图且无回路，则G是（）A.树B.完全图C.二部图D.欧拉图设f:A\rightarrow B是函数，若对任意a_1,a_2\in A，当a_1\neq a_2时，fa_1\neq fa_2，则f是（）A.单射B.满射C.双射D.以上都不是代数系统\langle\mathbb{Z},+\rangle中，+是普通加法，则其单位元是（）A.0B.1C.-1D.不存在半群\langle S,*\rangle是群的充要条件是（）A.存在单位元B.每个元素都有逆元C.运算满足结合律D.运算满足交换律集合A={1,2,3,4}上的关系R={1,1,2,2,3,3,4,4}，则R不满足的性质是（）A.自反性B.对称性C.传递性D.以上都满足设A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A\times B的基数为（）A.3B.4C.12D.7命题“2是偶数或3是奇数”的符号化正确的是（）A.2是偶数\lor3是奇数B.P\lor Q（设P:2是偶数，Q:3是奇数）第2页共9页C.P\rightarrow QD.P\leftrightarrow Q公式\exists xPx\land Qx的否定是（）A.\forall x\neg Px\land\neg QxB.\forall x\neg Px\lor\neg QxC.\exists x\neg Px\lor\neg QxD.\forall xPx\rightarrow\neg Qx无向图G有5个顶点，各顶点度数之和为12，则G的边数为（）A.6B.12C.5D.24树T有n个顶点，则其边数为（）A.nB.n-1C.n+1D.2n-1设f:A\rightarrow B，g:B\rightarrow C是双射，则g\circ f是（）A.单射B.满射C.双射D.以上都不是环\langle\mathbb{Z},+,\times\rangle中，乘法运算的单位元是（）A.0B.1C.-1D.不存在集合A上的等价关系R确定的商集A/R是（）A.A的子集B.由R的等价类构成的集合C.A\timesA的子集D.空集命题公式p\lor q\rightarrow r的成真赋值个数为（）A.1B.2C.3D.4图G中若存在一条通过所有顶点且每个顶点恰好一次的路径，则G是（）A.欧拉图B.哈密顿图C.二部图D.以上都不是第3页共9页半群\langle\mathbb{N},+\rangle（\mathbb{N}为自然数集）中，以下是半群的是（）A.\langle\mathbb{N},-\rangleB.\langle\mathbb{N},\times\rangleC.\langle\mathbb{N},\div\rangleD.\langle\mathbb{N},|\rangle（整除关系）设A={a,b,c}，则A的幂集\mathcal{P}A的元素个数为（）A.3B.6C.7D.8关系R是集合A上的偏序关系，则R一定不满足的性质是（）A.自反性B.反对称性C.传递性D.对称性公式p\rightarrow q的主析取范式是（）A.\neg p\lor qB.p\lor qC.\neg p\land qD.p\land\neg q无向图G有3个连通分支，顶点数为10，边数为7，则G的圈数为（）A.0B.1C.2D.3函数f:A\rightarrow B是单射的充要条件是（）A.对任意b\in B，存在a\in A使得fa=bB.对任意a_1\neq a_2，fa_1\neq fa_2C.f是满射D.f是双射群\langle G,*\rangle的阶数为|G|，则其元素的阶数（）A.一定整除|G|B.一定等于|G|C.与|G|无关D.不确定第4页共9页设A={1,2,3,4}，B={2,3,5}，则A\cap B=（）A.{2,3}B.{1,2,3,4,B}C.{5}D.{1,4}命题“如果天下雨，我就带伞”的否定是（）A.天不下雨，我不带伞B.天下雨，我不带伞C.天不下雨，我带伞D.天下雨，我带伞
三、多项选择题（共20题，每题2分，共40分）（每题至少有一个正确选项，多选、少选、错选均不得分）以下是集合运算律的有（）A.交换律B.结合律C.分配律D.德摩根律关系的基本运算包括（）A.复合B.逆C.闭包D.并集命题逻辑的联结词包括（）A.\negB.\lorC.\landD.\rightarrow以下是谓词逻辑基本规则的有（）A.全称量词消去规则（UI）B.存在量词引入规则（EG）C.全称量词引入规则（UG）D.存在量词消去规则（EI）无向图的类型包括（）A.树B.完全图C.二部图D.欧拉图以下关于树的说法正确的有（）A.树是连通且无回路的图B.树的任意两个顶点间有且仅有一条路径C.树的顶点数比边数多1D.树一定是二部图函数的类型包括（）A.单射B.满射C.双射D.常值函数第5页共9页代数系统的常见类型包括（）A.半群B.群C.环D.域等价关系的性质包括（）A.自反性B.对称性C.传递性D.反对称性偏序关系的性质包括（）A.自反性B.对称性C.反对称性D.传递性以下公式是合式公式的有（）A.pB.\neg pC.p\rightarrow qD.p\lor q\rightarrow r图的基本要素包括（）A.顶点集B.边集C.顶点度数D.路径欧拉图的判定条件包括（）A.连通图B.所有顶点度数为偶数C.至少有一条边D.有且仅有两个奇度顶点群的基本性质包括（）A.单位元唯一B.每个元素的逆元唯一C.运算满足结合律D.运算满足交换律A上的二元关系R满足传递性，则R^2=R当且仅当（）A.R是自反的B.R是对称的C.R是等价关系D.R是偏序关系以下是命题公式类型的有（）A.重言式B.矛盾式C.可满足式D.蕴含式无向图的连通性包括（）A.强连通B.弱连通C.单侧连通D.连通分支函数复合的性质包括（）第6页共9页A.结合律B.分配律C.交换律D.逆元存在性半群的子代数是（）A.非空子集B.对运算封闭C.满足结合律D.包含单位元以下关于商集的说法正确的有（）A.商集由等价类构成B.等价类互不相交C.商集是集合A的划分D.商集一定非空
四、判断题（共20题，每题1分，共20分）（对的打“√”，错的打“×”）空集是任何集合的子集（）集合A={1,2}的幂集\mathcal{P}A={\varnothing,{1},{2},{1,2}}（）关系R是自反的当且仅当对任意a\in A，a,a\inR（）命题公式p\rightarrow q与\neg p\lor q不等价（）谓词公式中，约束变元的换名规则要求换名后该变元在公式中所有出现均换为新名（）无向图中，顶点度数之和等于边数的两倍（）树是连通图且有回路（）函数f:A\rightarrow B是满射当且仅当对任意b\in B，存在a\in A使得fa=b（）群\langle G,*\rangle中，运算*满足结合律（）等价关系的等价类是互不相交的（）命题“2+2=5”是命题常元（）公式\forall xPx\rightarrow Qx中，x是约束变元（）第7页共9页无向图的邻接矩阵一定是对称矩阵（）欧拉图一定是哈密顿图（）代数系统\langle\mathbb{Z},+\rangle中，0是加法单位元（）偏序关系的哈斯图中，若存在a到b的路径，则a\leqb（）命题公式p\land\neg p是可满足式（）二部图一定不含奇圈（）函数f:A\rightarrow B的像集fA=B当且仅当f是单射（）环\langle\mathbb{Z},+,\times\rangle中，乘法对加法满足分配律（）
五、简答题（共2题，每题5分，共10分）简述等价关系与偏序关系的定义及主要区别什么是欧拉图？请说明无向图G是欧拉图的充要条件参考答案
一、单项选择题（每题1分，共30分）
1.A
2.B
3.B
4.A
5.A
6.D
7.A
8.A
9.A
10.B
11.D
12.C
13.B
14.B
15.A
16.B
17.C
18.B
19.B
20.C
21.B
22.B
23.D
24.D
25.A
26.B
27.B
28.A
29.A
30.B
二、多项选择题（每题2分，共40分）
1.ABCD
2.ABC复合、逆、闭包
3.ABCD
4.ABCD
5.ABCD
6.ABC
7.ABC
8.ABCD
9.ABC
10.ACD
11.ABC
12.AB
13.AB
14.ABC
15.AC
16.ABC
17.BD
18.A
19.ABC
20.ABCD第8页共9页
三、判断题（每题1分，共20分）
1.√
2.√
3.√
4.×（等价）
5.√
6.√
7.×（无回路）
8.√
9.√
10.√
11.×（不是命题）
12.×（Qx中x是自由变元）
13.√
14.×（欧拉图与哈密顿图无关）
15.√
16.√
17.×（矛盾式）
18.√
19.×（满射）
20.√
四、简答题（每题5分，共10分）等价关系集合A上的关系R若满足自反性、对称性、传递性，则为等价关系（2分）偏序关系满足自反性、反对称性、传递性的关系（2分）区别等价关系强调“可比较性”，偏序关系强调“部分可比较性”，等价关系的商集是集合的划分，偏序关系的哈斯图可描述元素间的层次关系（1分）欧拉图存在一条通过图中每条边恰好一次且回到起点的回路的图（2分）充要条件无向图G是连通图，且所有顶点的度数均为偶数（3分）（注本试卷知识点覆盖全面，可直接用于离散数学课程练习或考试参考，答案与解析注重基础与核心概念，便于学习理解）第9页共9页。
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