2025数二试题及答案

2025数二试题及答案2025年全国硕士研究生招生考试数学

（二）试题及答案2025年全国硕士研究生招生考试数学

（二）试题

一、单项选择题（第1-10小题，每小题3分，共30分）当x\to0时，下列无穷小量中阶数最高的是（）A.x^2B.1-\cos xC.\tan x-\sin xD.\ln1+x^3函数fx=\frac{x^2-1}{xx-1}的可去间断点的个数为（）A.0B.1C.2D.3设函数fx在[0,1]上连续，且f0=0，f1=1，则\int_0^1fxdx（）A.一定等于\frac{1}{2}B.一定大于\frac{1}{2}C.一定小于\frac{1}{2}D.无法确定微分方程y-2y+y=x e^x的特解形式为（）A.A x^2e^xB.A x^3e^xC.A x^2B x+C e^x第1页共9页D.A x^3B x+C e^x设向量组\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性无关，则下列向量组线性相关的是（）A.\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1B.\alpha_1,\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3C.\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3D.\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1+\alpha_2设矩阵A=\begin{pmatrix}12\21\end{pmatrix}，则A的特征值为（）A.-1,3B.1,3C.-1,-3D.1,-3设fx,y=x^2+y^2，则在点1,0处的梯度为（）A.2,0B.0,2C.1,0D.0,1设D是由曲线y=x^2与y=\sqrt{x}围成的闭区域，则\iint_D xy dx dy=（）A.\frac{1}{12}B.\frac{1}{6}第2页共9页C.\frac{1}{4}D.\frac{1}{3}设fx是连续函数，且\int_0^x ftdt=x^2+1，则f1=（）A.2B.3C.4D.5设随机变量X\sim N0,1，Y\sim N1,1，且X与Y相互独立，则P{X+Y\leq1}=（）A.\frac{1}{2}B.\frac{1}{3}C.\frac{1}{4}D.\frac{1}{5}

二、多项选择题（第11-16小题，每小题3分，共18分）下列极限存在的有（）A.\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}B.\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}C.\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x}D.\lim_{x\to0^+}x\ln x设函数fx在[a,b]上可导，则下列结论正确的有（）A.若fa=fb=0，则存在\xi\in a,b，使得f\xi=0B.若fx0在a,b上恒成立，则fx在[a,b]上严格单调递增第3页共9页C.若fx0在a,b上恒成立，则fx在[a,b]上是凹函数D.若fx在x=c\in a,b处取得极值，则fc=0设D是由x=0,y=0,x+y=1围成的三角形区域，则下列积分计算正确的有（）A.\int_D x dx dy=\frac{1}{6}B.\int_D y dx dy=\frac{1}{6}C.\int_D x+y dx dy=\frac{1}{3}D.\int_D x-y dxdy=0设向量组\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4线性相关，则下列结论正确的有（）A.存在不全为零的常数k_1,k_2,k_3,k_4，使得k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3+k_4\alpha_4=0B.向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示C.向量组的秩小于4D.若\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性无关，则\alpha_4可由\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性表示设A是n阶矩阵，则下列结论正确的有（）A.若A可逆，则A的特征值全不为零B.若A的特征值全不为零，则A可逆C.若A与B相似，则A与B的特征多项式相同D.若A与B相似，则A与B的秩相同设随机变量X与Y的联合分布律如下表，则下列结论正确的有（）|X\setminus Y|0|1|第4页共9页|0|\frac{1}{4}|\frac{1}{4}||1|\frac{1}{4}|\frac{1}{4}|A.X与Y相互独立B.P{X=0}=P{Y=0}C.EX=EYD.DX=DY

三、判断题（第17-22小题，每小题2分，共12分）若\lim_{x\to a}fx=A，\lim_{x\to a}gx=B，则\lim_{x\to a}[fx+gx]=A+B（）函数fx=|x-1|在x=1处可导（）若\int_a^b fx dx=0，则fx在[a,b]上恒为零（）微分方程y+y=0的通解为y=C_1\cos x+C_2\sin x（）若矩阵A的秩为r，则A的所有r阶子式都不为零（）设X与Y是两个随机变量，则P{X=Y}=1-P{X\neq Y}（）

四、简答题（第23-24小题，每小题10分，共20分）计算极限\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}计算曲线积分\int_L xy dx+x^2dy，其中L是从点0,0沿y=x^2到点1,1的曲线2025年全国硕士研究生招生考试数学

（二）答案与解析

一、单项选择题（每小题3分，共30分）答案C解析A项等价无穷小为x^2（2阶）；B项等价无穷小为\frac{1}{2}x^2（2阶）；C项\tan x-\sin x=\sin x\sec第5页共9页x-1\sim x\cdot\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}x^3（3阶）；D项等价无穷小为x^3（3阶），但C项展开后为\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{12}x^5+\cdots，阶数更高，选C答案B解析fx=\frac{x-1x+1}{xx-1}=\frac{x+1}{x}（x\neq0,1），x=0处\lim_{x\to0}fx=\infty（无穷间断点），x=1处\lim_{x\to1}fx=2（可去间断点），选B答案D解析fx在[0,1]上连续且端点值为0,1，但函数图像可能在[0,1]上先增后减或其他情况，积分值无法确定，选D答案B解析特征方程r^2-2r+1=0，r=1（二重根），非齐次项x e^x，特解形式为A x^3e^x，选B答案D解析D项\alpha_3+\alpha_1+\alpha_2=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_2+\alpha_3，线性相关，选D答案A解析特征方程|\lambda E-A|=\lambda-1^2-4=0，\lambda=-1或3，选A答案A解析梯度\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}=2x,2y，代入1,0得2,0，选A答案A第6页共9页解析积分区域0\leq x\leq1，x^2\leq y\leq\sqrt{x}，\iint_D xy dxdy=\int_0^1x dx\int_{x^2}^{\sqrt{x}}y dy=\int_0^1x\cdot\frac{1}{2}x-x^4dx=\frac{1}{2}\int_0^1x^2-x^5dx=\frac{1}{2}\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{1}{12}，选A答案B解析两边求导得fx=2x，则f1=2\times1=2？（注原积分\int_0^x ftdt=x^2+1，求导得fx=2x，则f1=2，但原答案可能有误？经计算应为2，选A？此处需确认，原解析可能正确，选A？？）（注正确应为fx=2x，f1=2，选A）答案A解析\X+Y\sim N1,2\，\P\{X+Y\leq1\}=\Phi0=\frac{1}{2}\，选A

二、多项选择题（每小题3分，共18分）答案ABD解析C项\\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x}=\infty\，不存在答案BC解析A项需\fx\可导，否则不成立；D项需\fc=0\或导数不存在，选BC答案ABC解析D项\\int_D x-ydxdy=\int_0^1dx\int_0^{1-x}x-y dy=\int_0^1[x1-x-\frac{1}{2}1-x^2]dx=\frac{1}{12}\neq0\，选ABC第7页共9页答案ABC解析D项若\\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\线性无关，\\alpha_4\不一定可由其表示，选ABC答案ABCD解析A、B由特征值与可逆性关系；C、D由相似矩阵性质，选ABCD答案ABCD解析A项\P\{X=0,Y=0\}=P\{X=0\}P\{Y=0\}\，均成立；B、C、D可直接计算验证，均正确

三、判断题（每小题2分，共12分）×（fx在x=1处左导数-1，右导数1，不可导）×（如fx=x在[-1,1]上积分0，但不恒为0）×（应为“所有r+1阶子式都为零”）

四、简答题（每小题10分，共20分）解用洛必达法则\\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}\解补充曲线\L_1:y=0\（从\1,1\到\0,0\），\L_2:x=1\（从\0,0\到\1,0\），由格林公式\\int_L+\int_{L_1}+\int_{L_2}=\iint_D\frac{\partialQ}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy=\iint_D2x-xdxdy=\int_0^1dx\int_0^{1-x}xdy=\int_0^1x1-xdx=\frac{1}{6}\第8页共9页减去\L_1,L_2\上的积分（均为0），得\\int_L=\frac{1}{6}\注答案与解析仅供参考，具体以官方标准为准第9页共9页。