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定积分试题及答案
一、单项选择题（共30题，每题1分，共30分）（以下每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在括号内）
1.定积分的几何意义是（）A.曲边梯形的面积B.曲边梯形的代数和C.函数图像与x轴围成的面积D.函数在区间上的最大值与最小值之差
2.设函数fx在区间[a,b]上连续，则\int_{a}^{b}fxdx的值（）A.与区间[a,b]的长度有关，与被积函数无关B.与积分变量的符号有关C.仅由被积函数和积分区间决定D.一定大于
03.若\int_{0}^{1}fxdx=2，\int_{0}^{1}gxdx=1，则\int_{0}^{1}3fx-2gxdx=\A.4B.5C.6D.
74.定积分\int_{-1}^{1}x^3dx的值为（）A.-2B.0C.2第1页共15页D.
15.设Fx=\int_{x}^{0}e^t dt，则Fx=\A.e^x B.-e^x C.e^x-1D.1-e^x
6.定积分\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin xdx的值为（）A.0B.1C.2D.\frac{\pi}{2}
7.牛顿-莱布尼茨公式\int_{a}^{b}fxdx=Fb-Fa成立的条件是（）A.fx在[a,b]上连续B.fx在[a,b]上可导C.Fx是fx的任意原函数D.A和C
8.若fx在[a,b]上连续且为奇函数，则\int_{-a}^{a}fxdx=\A.0B.2\int_{0}^{a}fxdx C.\int_{0}^{a}fxdx D.无法确定
9.定积分\int_{0}^{2}\sqrt{4-x^2}dx表示的几何意义是（）A.半径为2的上半圆面积第2页共15页B.半径为2的圆面积C.半径为2的下半圆面积D.半径为2的圆面积的一半
10.设fx在[a,b]上连续，则\int_{a}^{b}fxdx（）A.等于\int_{a}^{b}ftdtB.等于\int_{a}^{b}f-tdtC.等于-\int_{a}^{b}fxdxD.不一定存在
11.定积分\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx的值为（）A.0B.1C.eD.e-
112.设Fx=\int_{0}^{x^2}t^2dt，则Fx=\A.x^4B.2x^4C.2x^5D.2x^
313.定积分\int_{0}^{1}e^xdx的值为（）A.e B.e-1C.1-e D.
114.若\int_{a}^{b}fxdx=0，则（）A.fx在[a,b]上恒为0第3页共15页B.fx在[a,b]上非负C.被积函数fx的图像在x轴上方与下方的面积相等D.以上都不对
15.定积分\int_{0}^{2\pi}\sin xdx的值为（）A.0B.2C.\pi D.2\pi
16.设fx在[a,b]上连续，且Fx=\int_{a}^{x}ftdt，则Fx=\A.fx B.Fx C.fa D.
017.定积分\int_{-1}^{1}x^2+\sin xdx=\A.\frac{2}{3}B.\frac{4}{3}C.\frac{2}{3}+\sin1D.\frac{4}{3}+\sin
118.若\int_{1}^{k}x^2dx=9，则k=\A.2B.3C.4D.
519.定积分\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos xdx的值为（）第4页共15页A.0B.1C.\frac{\pi}{2}D.
220.设fx在[a,b]上连续，且fx\geq0，\int_{a}^{b}fxdx=0，则（）A.fx在[a,b]上恒为0B.fx在[a,b]上至少有一点为0C.fx在[a,b]上可导D.以上都不对
21.定积分\int_{0}^{1}x^2dx=\A.\frac{1}{3}B.\frac{2}{3}C.1D.
222.设Fx=\int_{x}^{1}\sqrt{1+t^2}dt，则Fx=\A.\sqrt{1+x^2}B.-\sqrt{1+x^2}C.\sqrt{1+1^2}D.-\sqrt{1+1^2}
23.定积分\int_{-2}^{2}|x|dx=\A.0B.2C.4D.8第5页共15页
24.若\int_{a}^{b}fxdx=5，\int_{a}^{c}fxdx=3，则\int_{c}^{b}fxdx=\A.2B.3C.5D.
825.定积分\int_{0}^{\pi}x\sin xdx=\A.\pi B.\pi+1C.\pi-1D.2\pi
26.设fx在[a,b]上连续，则\int_{a}^{b}fxdx（）A.是fx的一个原函数B.是fx的全体原函数C.是一个常数D.是一个函数
27.定积分\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^2}dx的值为（）A.\frac{\pi}{4}B.\frac{\pi}{2}C.\pi D.2\pi
28.若Fx是fx的一个原函数，则\int_{a}^{b}fxdx=\A.Fa-Fb B.Fb-Fa第6页共15页C.Fx|_{a}^{b}D.B和C
29.定积分\int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx（）A.收敛，值为0B.收敛，值为1C.发散D.收敛，值为e
30.设fx在[a,b]上连续，且fx为偶函数，则\int_{-a}^{a}fxdx=\A.0B.2\int_{0}^{a}fxdx C.\int_{0}^{a}fxdx D.无法确定
二、多项选择题（共20题，每题2分，共40分）（以下每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在括号内，多选、少选、错选均不得分）
1.定积分的基本性质包括（）A.区间可加性\int_{a}^{b}fxdx=\int_{a}^{c}fxdx+\int_{c}^{b}fxdx（acb）B.线性性质\int_{a}^{b}k_1fx+k_2gxdx=k_1\int_{a}^{b}fxdx+k_2\int_{a}^{b}gxdx（k_1,k_2为常数）C.比较性质若fx\geq gx在[a,b]上成立，则\int_{a}^{b}fxdx\geq\int_{a}^{b}gxdx第7页共15页D.估值定理mb-a\leq\int_{a}^{b}fxdx\leq Mb-a（m,M分别为fx在[a,b]上的最小值和最大值）
2.关于定积分的几何应用，下列说法正确的有（）A.由曲线y=fx，y=gx及直线x=a，x=b围成的图形面积为\int_{a}^{b}|fx-gx|dxB.绕x轴旋转体体积公式为\pi\int_{a}^{b}[fx]^2dxC.绕y轴旋转体体积公式为2\pi\int_{a}^{b}x|fx|dxD.定积分可用于计算曲边梯形的面积
3.下列关于定积分与不定积分的关系，说法正确的有（）A.定积分是一个常数，不定积分是一族函数B.不定积分是定积分的原函数族C.牛顿-莱布尼茨公式建立了定积分与不定积分的联系D.定积分的值由不定积分在积分上下限的差确定
4.定积分\int_{-2}^{2}fxdx的值与被积函数fx的关系是（）A.仅由fx在[-2,2]上的取值决定B.与fx在区间内的符号有关C.与fx在区间端点的取值无关D.一定大于
05.下列定积分计算正确的有（）A.\int_{0}^{\pi}\sin xdx=2B.\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}C.\int_{-1}^{1}x^3dx=0D.\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos xdx=
16.关于反常积分，下列说法正确的有（）第8页共15页A.反常积分\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx收敛，值为1B.反常积分\int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx发散C.反常积分\int_{-\infty}^{0}e^xdx收敛，值为1D.反常积分\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx收敛，值为
17.定积分\int_{a}^{b}fxdx存在的充分条件有（）A.fx在[a,b]上连续B.fx在[a,b]上有界且只有有限个间断点C.fx在[a,b]上单调有界D.fx在[a,b]上可导
8.下列定积分中，值为0的有（）A.\int_{-1}^{1}x^5dxB.\int_{-2}^{2}x^2\sin xdxC.\int_{-\pi}^{\pi}x\cos xdxD.\int_{-1}^{1}x^3+1dx
9.设Fx=\int_{0}^{x}ftdt，则（）A.Fx=fx B.Fx是fx的一个原函数C.若fx连续，则Fx是fx的原函数D.Fx是一个单调函数
10.定积分\int_{a}^{b}fxdx的物理应用有（）A.计算变力做功B.计算物体的位移C.计算物体的质量（密度函数积分）D.计算旋转体的转动惯量
11.关于定积分的换元法，下列说法正确的有（）第9页共15页A.换元时需替换积分变量和积分上下限B.设x=\varphit，则\int_{a}^{b}fxdx=\int_{\alpha}^{\beta}f\varphit\varphitdtC.换元法可简化复杂定积分的计算D.换元后积分上下限无需调整
12.定积分\int_{0}^{2\pi}f\sin xdx的性质，下列说法正确的有（）A.等于\int_{0}^{2\pi}f\cos xdxB.等于2\int_{0}^{\pi}f\sin xdxC.若fx为偶函数，则等于2\int_{0}^{\pi}f\sin xdxD.以上都不对A.定积分的性质包括（）A.若fx在[a,b]上可积，则\int_{a}^{b}fxdx=-\int_{b}^{a}fxdxB.若fx在[a,b]上可积，c为常数，则\int_{a}^{b}cfxdx=c\int_{a}^{b}fxdxC.若fx和gx在[a,b]上可积，则\int_{a}^{b}fx+gxdx=\int_{a}^{b}fxdx+\int_{a}^{b}gxdxD.若fx在[a,b]上可积，则\int_{a}^{b}fxdx=\int_{a}^{b}fa+b-xdx
14.下列定积分中，可直接用牛顿-莱布尼茨公式计算的有（）A.\int_{0}^{1}x^2dxB.\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}dx第10页共15页C.\int_{0}^{\pi}\sin xdxD.\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx
15.定积分\int_{0}^{1}x^n dx（n为正整数）的值为（）A.\frac{1}{n+1}B.随n增大而减小C.当n=0时，值为1D.当n趋于无穷大时，值趋于
016.设fx在[a,b]上连续，且fx\geq0，则\int_{a}^{b}fxdx=0的充要条件是（）A.fx在[a,b]上恒为0B.存在x_0\in[a,b]，使得fx_0=0C.fx在[a,b]上非负且不恒为0D.以上都不对
17.定积分\int_{0}^{1}e^x dx的计算结果可能为（）A.e-1B.\int_{0}^{1}e^x dxC.F1-F0（Fx是e^x的原函数）D.\int_{0}^{1}e^x dx
18.关于定积分的分部积分法，下列说法正确的有（）A.公式为\int_{a}^{b}uxvxdx=uxvx|{a}^{b}-\int{a}^{b}uxvxdxB.适用于被积函数为乘积形式的定积分C.选择ux和vx时，需满足ux比ux更简单D.可用于计算\int_{0}^{\pi}x\cos xdx
19.定积分\int_{0}^{1}x^2+1dx的几何意义是（）第11页共15页A.曲线y=x^2+1与x轴在[0,1]上围成的面积B.曲线y=x^2+1与x轴在[0,1]上围成的代数面积C.曲线y=x^2+1在[0,1]上的积分值D.函数y=x^2+1在[0,1]上的平均值
20.下列反常积分中收敛的有（）A.\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x}dxB.\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dxC.\int_{1}^{+\infty}e^{-x}dxD.\int_{0}^{1}\frac{1}{1-x}dx
三、判断题（共20题，每题1分，共20分）（请判断下列说法的对错，对的打“√”，错的打“×”）
1.定积分的值与积分区间无关（）
2.若fx在[a,b]上连续，则\int_{a}^{b}fxdx一定存在（）
3.定积分\int_{a}^{b}fxdx的几何意义是曲边梯形的面积（）
4.牛顿-莱布尼茨公式中，Fx必须是fx的一个原函数（）
5.若fx为奇函数，则\int_{-a}^{a}fxdx=0（）
6.\int_{a}^{b}fxdx=\int_{a}^{b}ftdt，这体现了定积分与积分变量符号无关的性质（）
7.定积分\int_{0}^{1}x^2dx的值小于\int_{0}^{1}x^3dx的值（）
8.若fx在[a,b]上可积，则\int_{a}^{b}fxdx一定存在且为常数（）第12页共15页
9.定积分\int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx收敛，值为1（）
10.分部积分法的公式为\int_{a}^{b}uxvxdx=uxvx|{a}^{b}-\int{a}^{b}uxvxdx（）
11.定积分\int_{a}^{b}fxdx的值一定是非负的（）
12.若fx在[a,b]上有界，则\int_{a}^{b}fxdx一定存在（）
13.换元法计算定积分时，只需替换被积函数，积分上下限无需调整（）
14.定积分\int_{0}^{\pi}x\sin xdx的值等于2（）
15.若Fx是fx的原函数，则\int_{a}^{b}fxdx=Fb-Fa（）
16.反常积分\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}dx收敛，值为\frac{\pi}{2}（）
17.定积分\int_{-1}^{1}x^4dx=2\int_{0}^{1}x^4dx，这是利用了被积函数为偶函数的性质（）
18.若\int_{a}^{b}fxdx=0，则fx在[a,b]上恒为0（）
19.定积分\int_{0}^{2\pi}\sin xdx=0，\int_{0}^{2\pi}\cosxdx=0，\int_{0}^{2\pi}\sin x+\cos xdx=0（）
20.定积分\int_{0}^{1}fxdx中，若fx在[0,1]上无界，则积分发散（）
四、简答题（共2题，每题5分，共10分）
1.简述定积分换元法的基本步骤
2.计算由曲线y=x^2与y=2x所围成图形的面积第13页共15页参考答案
一、单项选择题B
2.C
3.B
4.B
5.B
6.B
7.D
8.A
9.A
10.AB
12.D
13.B
14.C
15.A
16.A
17.B
18.B
19.B
20.AA
22.B
23.C
24.A
25.A
26.C
27.A
28.D
29.C
30.B
二、多项选择题ABCD
2.ABCD
3.ABCD
4.ABC
5.ABCD
6.ABD
7.ABC
8.ABC
9.ABC
10.ACDABC
12.BC
13.ABCD
14.ACD
15.ABD
16.A
17.ABCD
18.ABD
19.AC
20.BC
三、判断题×
2.√
3.×
4.√
5.√
6.√
7.×
8.√
9.×
10.××
12.×
13.×
14.√
15.√
16.√
17.√
18.×
19.√
20.√
四、简答题定积分换元法基本步骤
①设x=\varphit，确定t的取值范围[\alpha,\beta]，使\varphi\alpha=a，\varphi\beta=b；
②计算dx=\varphitdt；
③将原积分转化为\int_{\alpha}^{\beta}f\varphit\varphitdt；
④计算新积分，结果为原积分的值第14页共15页图形面积计算解联立y=x^2与y=2x，得交点x=0和x=2面积S=\int_{0}^{2}2x-x^2dx=\left[x^2-\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{2}=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}文档说明本试题覆盖定积分基本概念、性质、计算方法（换元法、分部积分法）、几何应用等核心知识点，题型包括单选、多选、判断和简答，适合定积分基础学习和复习使用答案简洁准确，便于理解和掌握第15页共15页。
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