极限计算试题及答案

极限计算试题及答案

一、前言极限是高等数学的基础概念，也是函数连续性、导数、积分等后续知识的核心工具本试题涵盖极限计算的常见类型与典型方法，包括函数极限、数列极限、未定式求解、重要极限公式应用等，旨在帮助学习者巩固基础、提升解题能力试题分题型设计，答案附后，供自测与参考

二、极限计算练习题

（一）单项选择题（共30题，每题1分）极限$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}$的值为（）A.0B.1C.3D.不存在极限$\lim_{x\to\infty}\left1+\frac{2}{x}\right^x$的值为（）A.$e$B.$e^2$C.$e^x$D.2极限$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$的值为（）A.0B.1C.$e$D.2极限$\lim_{x\to0}\frac{\ln1+x}{x}$的值为（）A.0B.1C.$e$D.$\frac{1}{2}$极限$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}$的值为（）A.0B.$\frac{1}{2}$C.1D.2极限$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$的值为（）A.0B.1C.2D.不存在极限$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x-1}{x^2+5}$的值为（）A.0B.1C.3D.不存在第1页共10页极限$\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}$的值为（）A.0B.1C.$\frac{1}{2}$D.不存在极限$\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}$的值为（）A.0B.$\frac{1}{2}$C.1D.$\frac{1}{3}$极限$\lim_{x\to0}\frac{1-e^x}{x}$的值为（）A.0B.1C.-1D.$e$数列极限$\lim_{n\to\infty}\left1+\frac{1}{n}\right^{n+2}$的值为（）A.$e$B.$e^2$C.$e^3$D.$e^4$极限$\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x}$的值为（）A.0B.1C.$\frac{1}{2}$D.2极限$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$的值为（）A.0B.$\frac{1}{2}$C.1D.2极限$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{2x+1}$的值为（）A.0B.1C.$\frac{1}{2}$D.$\infty$极限$\lim_{x\to0}\frac{e^{x^2}-1}{x^2}$的值为（）A.0B.1C.2D.$e$极限$\lim_{x\to0}\frac{\ln1+x^2}{x^2}$的值为（）A.0B.1C.2D.$e$极限$\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{x-1}$的值为（）A.0B.1C.2D.3极限$\lim_{x\to\infty}\left1-\frac{1}{x}\right^{2x}$的值为（）A.$e^{-2}$B.$e^2$C.$e^{-1/2}$D.$e^{1/2}$第2页共10页极限$\lim_{x\to0}\frac{\tan2x-2\tan x}{x^3}$的值为（）A.0B.1C.2D.3极限$\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}$的值为（）A.0B.$\frac{1}{6}$C.$\frac{1}{3}$D.1极限$\lim_{x\to\infty}\frac{2x+3}{x-1}$的值为（）A.0B.1C.2D.$\infty$极限$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos2x}{x^2}$的值为（）A.0B.1C.2D.4极限$\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}}{x}$的值为（）A.0B.1C.2D.$e$极限$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$的值为（）A.0B.1C.2D.$\frac{1}{2}$数列极限$\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+1}{n^2-1}$的值为（）A.0B.1C.2D.$\infty$极限$\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}$的值为（）A.0B.$-\frac{1}{6}$C.$\frac{1}{6}$D.1极限$\lim_{x\to0}\frac{\arctan x}{x}$的值为（）A.0B.1C.$\frac{1}{2}$D.2极限$\lim_{x\to0}\frac{1-e^{-x}}{x}$的值为（）A.0B.1C.-1D.$e$极限$\lim_{x\to\infty}\left1+\frac{1}{x}\right^{-x}$的值为（）第3页共10页A.$e$B.$e^{-1}$C.$e^2$D.$e^{-2}$极限$\lim_{x\to0}\frac{\ln1+2x}{\sin3x}$的值为（）A.0B.$\frac{2}{3}$C.1D.$\frac{3}{2}$

（二）多项选择题（共20题，每题2分）（多选，每题至少有2个正确选项，多选、错选不得分，少选得1分）下列极限计算正确的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$B.$\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1$C.$\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x}=1$D.$\lim_{x\to0}\frac{\ln1+x}{x}=1$计算$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$可使用的方法有（）A.等价无穷小替换B.洛必达法则C.泰勒展开D.夹逼准则下列极限中，属于$0/0$型未定式的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{x^2-1}{x-1}$B.$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$C.$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}$D.$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$重要极限公式$\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1$的推广形式有（）A.$\lim_{u\to0}\frac{\tan u}{u}=1$B.$\lim_{u\to0}\frac{\arcsin u}{u}=1$第4页共10页C.$\lim_{u\to0}\frac{\sin u^2}{u^2}=1$D.$\lim_{u\to0}\frac{1-\cos u}{u^2}=1$下列极限计算中，结果为$e$的有（）A.$\lim_{x\to\infty}\left1+\frac{1}{x}\right^x$B.$\lim_{x\to0}\left1+x\right^{1/x}$C.$\lim_{x\to\infty}\left1-\frac{1}{x}\right^{-x}$D.$\lim_{x\to0}\left1+2x\right^{1/x}$计算$\lim_{x\to\infty}\frac{x^3+2x}{x^2-1}$时，可使用的方法有（）A.分子分母同除最高次幂B.洛必达法则C.等价无穷小替换D.夹逼准则下列极限中，存在的有（）A.$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x+1}$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}$C.$\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}$D.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}$利用等价无穷小替换求极限时，需满足的条件有（）A.替换的无穷小量在极限过程中趋于0B.替换仅适用于乘积或商的形式C.替换前后极限存在D.替换可用于加减项极限$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}$的特点有（）A.有界函数与无穷小量的乘积B.无界但极限不存在C.可通过夹逼准则判断极限D.可通过等价无穷小替换计算下列函数在$x\to0$时的等价无穷小正确的有（）第5页共10页A.$\sin x\sim x$B.$\tan x\sim x$C.$\ln1+x\simx$D.$e^x-1\sim x$计算$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt{1+x}+1}$时，可采用的方法有（）A.分子有理化B.等价无穷小替换C.洛必达法则D.变量代换极限$\lim_{x\to\infty}\left1+\frac{1}{x}\right^{x+2}$可变形为（）A.$\left1+\frac{1}{x}\right^x\cdot\left1+\frac{1}{x}\right^2$B.$e\cdot\left1+\frac{1}{x}\right^2$C.$\left1+\frac{1}{x}\right^{x}\cdot\left1+\frac{1}{x}\right^2$D.$e^2\cdot\left1+\frac{1}{x}\right^x$下列极限中，属于$\infty-\infty$型未定式的有（）A.$\lim_{x\to0}\left\frac{1}{x}-\frac{1}{\sinx}\right$B.$\lim_{x\to0}\left\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right$C.$\lim_{x\to\infty}\left\sqrt{x^2+1}-x\right$D.$\lim_{x\to\infty}\left\sqrt{x^2+2}-\sqrt{x^2+1}\right$利用泰勒展开求极限$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x-\frac{x^2}{2}}{x^3}$时，可展开的函数有（）A.$e^x$B.$\sin x$C.$\cos x$D.$\ln1+x$数列极限$\lim_{n\to\infty}\frac{n^3+1}{n^2+2n}$的特点有（）第6页共10页A.分子分母均为多项式B.分子次数高于分母C.极限为$\infty$D.可通过分子分母同除最高次幂计算极限$\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin^3x}$的计算步骤包括（）A.通分化简B.等价无穷小替换C.分子因式分解D.变量代换下列函数在$x\to\infty$时的水平渐近线存在的有（）A.$y=\frac{2x+1}{x-1}$B.$y=\frac{x^2}{x+1}$C.$y=e^x$D.$y=\frac{\sin x}{x}$计算$\lim_{x\to0}\frac{\arctan x-x}{x^3}$时，正确的做法有（）A.泰勒展开$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+ox^3$B.洛必达法则C.等价无穷小替换D.分子有理化下列极限中，结果为0的有（）A.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\sin x$B.$\lim_{x\to0}x^2\sin\frac{1}{x}$C.$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{2^x}$D.$\lim_{x\to0}\frac{x}{e^x-1}$复合函数极限计算$\lim_{x\to0}fgx$时，需满足的条件有（）A.$\lim_{x\to0}gx=a$B.$\lim_{u\to a}fu=b$C.$f$在$u=a$处连续D.$gx$在$x=0$处有定义

（三）判断题（共20题，每题1分）（对的打“√”，错的打“×”）$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$（）第7页共10页$\lim_{x\to\infty}\left1+\frac{1}{x}\right^x=e$（）$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$（）$\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=0$（）$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x^2-1}=1$（）$\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=1$（）$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$（）$\lim_{x\to0}\frac{\ln1+x^2}{x^2}=1$（）$\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x}=1$（）$\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=1$（）$\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}}{x}=0$（）$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{1}{2}$（）$\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\frac{1}{2}$（）$\lim_{x\to\infty}\left1+\frac{2}{x}\right^x=e^2$（）$\lim_{x\to0}\frac{1-e^{-x}}{x}=-1$（）$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{\tan3x}=\frac{2}{3}$（）$\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\frac{1}{6}$（）$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos2x}{x^2}=2$（）$\lim_{x\to0}\frac{\ln1+2x}{\sin3x}=\frac{2}{3}$（）$\lim_{n\to\infty}\left1+\frac{1}{n}\right^{n+1}=e$（）第8页共10页

（四）简答题（共2题，每题5分）简述利用等价无穷小替换求极限的基本步骤，并举例说明当遇到$0/0$型或$\infty/\infty$型未定式时，可采用哪些方法求解？至少列举3种并说明适用场景

三、参考答案

（一）单项选择题C

2.B

3.B

4.B

5.B

6.C

7.C

8.A

9.D

10.CB

12.B

13.B

14.D

15.B

16.B

17.D

18.A

19.D

20.BC

22.D

23.C

24.B

25.B

26.B

27.B

28.B

29.B

30.B

（二）多项选择题ABCD

2.ABC

3.BD

4.ABC

5.ABC

6.AB

7.ABC

8.AB

9.AB

10.ABCDAB

12.ABC

13.ABCD

14.A

15.ABD

16.AB

17.AD

18.AB

19.ABC

20.ABC

（三）判断题√

2.√

3.√

4.×

5.√

6.×

7.√

8.√

9.√

10.××

12.√

13.×

14.√

15.×

16.√

17.√

18.√

19.√

20.√

（四）简答题等价无穷小替换求极限的步骤

①确定极限过程中无穷小量的等价关系（如$x\to0$时，$\sin x\sim x$，$\tan x\sim x$等）；第9页共10页

②将原式中的无穷小量替换为等价无穷小；

③计算替换后的极限值举例求$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{\tan2x}$，因$x\to0$时$\sin3x\sim3x$，$\tan2x\sim2x$，替换后得$\lim_{x\to0}\frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}$$0/0$型或$\infty/\infty$型未定式的求解方法

①等价无穷小替换适用于乘积或商中无穷小量的替换，简化计算；

②洛必达法则适用于连续可导函数，分子分母分别求导后再求极限；

③泰勒展开将函数展开为多项式，适用于含指数、三角函数等复杂函数的极限；

④分子分母同除最高次幂适用于多项式之比，通过同除最高次幂化为“0/0”或“常数/常数”形式说明本试题覆盖极限计算的基础题型与核心方法，答案仅供参考，实际解题中需结合具体函数特点选择合适方法通过练习可巩固等价无穷小、洛必达法则、泰勒展开等关键知识点，提升解题效率第10页共10页。