高数竞赛试题及答案

高数竞赛试题及答案高等数学竞赛模拟试题及参考答案

一、单项选择题（共30题，每题1分，共30分）（在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卡指定位置）极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x^2}{1-\cos x}$的值为（）A.0B.1C.2D.不存在函数$fx=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$处的间断点类型为（）A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点设$y=x^3+2x$，则$y$在$x=1$处的值为（）A.5B.4C.3D.2函数$fx=x^2-2x+3$在区间$[0,2]$上的最大值为（）A.3B.4C.5D.6定积分$\int_0^\pi x\sin x\dx$的值为（）A.$\pi$B.2$\pi$C.$\pi-2$D.$2-\pi$微分方程$y+y=0$的通解为（）A.$y=A\cos x+B\sin x$B.$y=Ae^x+B$C.$y=Ax+Be^x$D.$y=Ae^{2x}+Be^{-2x}$设$fx,y=x^2+xy+y^2$，则$\frac{\partial f}{\partialx}\bigg|_{1,2}$的值为（）A.5B.6C.7D.8级数$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{nn+1}$的和为（）A.1B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{1}{3}$D.$\frac{1}{4}$第1页共15页极限$\lim\limits_{x\to\infty}\left1+\frac{2}{x}\right^x$的值为（）A.1B.$e$C.$e^2$D.$e^3$函数$fx=\ln1+x$的麦克劳林展开式为（）A.$\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}$B.$\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n+1}$C.$\sum_{n=1}^\infty-1^{n+1}\frac{x^n}{n}$D.$\sum_{n=0}^\infty-1^n\frac{x^n}{n+1}$设$x$为实数，则$\int_0^x|t|dt$等于（）A.$\frac{x^2}{2}$B.$-\frac{x^2}{2}$C.$|x|x$D.$|x|^2$曲线$y=x^3-3x$的拐点坐标为（）A.0,0B.1,-2C.-1,2D.不存在行列式$\begin{vmatrix}123\456\789\end{vmatrix}$的值为（）A.0B.1C.2D.3设$A$为$3\times3$矩阵，且$\detA=2$，则$\det2A$的值为（）A.4B.8C.16D.32矩阵$\begin{pmatrix}12\34\end{pmatrix}$的逆矩阵为（）A.$\begin{pmatrix}-21\\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}2-1\-\frac{3}{2}\frac{1}{2}\end{pmatrix}$第2页共15页C.$\begin{pmatrix}-21\\frac{3}{2}\frac{1}{2}\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}2-1\\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$的值为（）A.0B.$\frac{1}{2}$C.1D.2设$y=fx$由方程$xy+\ln y=1$确定，则$y|_{x=0}$的值为（）A.0B.1C.$e$D.$\frac{1}{e}$定积分$\int_0^1\sqrt{1-x^2}dx$的值为（）A.$\frac{\pi}{4}$B.$\frac{\pi}{2}$C.$\pi$D.$2\pi$函数$fx=\frac{1}{x}$在区间$[1,2]$上的平均值为（）A.$\ln2$B.$\ln\frac{1}{2}$C.$2\ln2$D.$\frac{1}{2}\ln2$微分方程$y=y$满足$y0=1$的特解为（）A.$y=e^x$B.$y=e^{-x}$C.$y=1+x$D.$y=x^2$设$z=x^2y+\sinxy$，则$\frac{\partial z}{\partial y}$在$1,0$处的值为（）A.0B.1C.2D.3二重积分$\iint_D xydxdy$，其中$D$由$y=x$和$y=x^2$围成，则该积分值为（）A.$\frac{1}{12}$B.$\frac{1}{24}$C.$\frac{1}{36}$D.$\frac{1}{48}$幂级数$\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n+1}$的收敛半径为（）A.0B.1C.2D.$\infty$极限$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2+1}{n^3-2n+3}\sin n$的值为（）第3页共15页A.0B.1C.$\infty$D.不存在设$fx$在$[a,b]$上连续，则$\int_a^b fxdx$等于（）A.$\int_0^b fxdx-\int_0^a fxdx$B.$\int_a^0fxdx+\int_0^b fxdx$C.$\int_0^a fxdx-\int_0^b fxdx$D.$\int_a^b ftdt$微分方程$y-2y+y=0$的通解为（）A.$y=Ax+Be^x$B.$y=Ae^x+Be^{-x}$C.$y=A\cos x+B\sin x$D.$y=Ae^{2x}+Be^{-2x}$矩阵$A=\begin{pmatrix}123\012\001\end{pmatrix}$的特征值为（）A.1,1,1B.1,1,2C.1,2,3D.0,1,2设向量组$\alpha_1=1,0,0,\alpha_2=0,1,0,\alpha_3=0,0,1$，则该向量组的线性关系为（）A.线性相关B.线性无关C.无法判断D.以上都不是极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}$的值为（）A.0B.$\frac{1}{2}$C.1D.2函数$fx=x^3-3x+1$在区间$[-2,2]$上的最小值为（）A.-3B.-1C.1D.3

二、多项选择题（共20题，每题2分，共40分）（在每题给出的选项中，有多项符合题目要求，请将正确选项前的字母填在答题卡指定位置，多选、少选、错选均不得分）下列函数在$x=0$处连续的有（）第4页共15页A.$fx=\begin{cases}x+1,x\neq0\0,x=0\end{cases}$B.$fx=\frac{\sin x}{x},x\neq0;f0=1$C.$fx=\ln1+x,x\geq0;fx=1-x,x0$D.$fx=\frac{1}{x},x\neq0;f0=0$设$fx$可导，则下列等式正确的有（）A.$d[fx+C]=dfx$（$C$为常数）B.$d[\int fxdx]=fxdx$C.$d[fax+b]=fax+bdx$D.$d[\ln|fx|]=\frac{fx}{fx}dx$下列积分值为0的有（）A.$\int_{-1}^1x^3dx$B.$\int_{-1}^1x\cos xdx$C.$\int_{-1}^1x^2dx$D.$\int_{-1}^1\sin xdx$设$fx$为连续函数，则下列结论正确的有（）A.$\int_a^b fxdx=\int_a^b fa+b-xdx$B.$\int_a^bfxdx=\int_0^1fa+b-atdt$（换元$t=\frac{x-a}{b-a}$）C.$\int_a^b fxdx=\int_a^b fxdx$D.$\int_a^b fxdx=-\int_b^a fxdx$下列微分方程的解可能为$y=e^x$的有（）A.$y-y=0$B.$y-2y+y=0$C.$y=y$D.$y=y$设$z=zx,y$由方程$x^2+y^2+z^2=1$确定，则$\frac{\partialz}{\partial x}$可能的表达式有（）A.$-\frac{x}{z}$B.$\frac{x}{z}$C.$-\frac{z}{x}$D.$\frac{z}{x}$下列级数收敛的有（）A.$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$B.$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n+1}$第5页共15页C.$\sum_{n=1}^\infty\frac{-1^n}{n}$D.$\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{n+1}$设$fx,y$在区域$D$内具有二阶连续偏导数，则下列等式正确的有（）A.$\frac{\partial^2f}{\partial x\partialy}=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}$B.$\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=0$（拉普拉斯方程）C.$\frac{\partial^2f}{\partial x\partialy}=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}$D.$\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partialy}dy=d f$下列函数的不定积分可能为$\sin x+C$的有（）A.$\cos x$B.$\cos x$的导数C.$\sin x$的导数D.$\cosx$的原函数设$A$为$n$阶矩阵，则下列命题正确的有（）A.若$A$可逆，则$A$的特征值不为0B.若$A$对称，则$A$的特征值为实数C.若$A$的秩为$r$，则$A$的特征值中0的个数为$n-r$D.若$A$为正交矩阵，则$|A|=\pm1$下列极限存在的有（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$B.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x+1}$C.$\lim\limits_{x\to0^+}e^{1/x}$D.$\lim\limits_{x\to0}1+x^{1/x}$第6页共15页设$fx$在$[a,b]$上可导，则下列结论正确的有（）A.若$fa=fb$，则存在$\xi\ina,b$，使得$f\xi=0$（罗尔定理）B.对任意$x_1,x_2\ina,b$，存在$\xi\inx_1,x_2$，使得$fx_2-fx_1=f\xix_2-x_1$（拉格朗日中值定理）C.若$fx0$，则$fx$在$a,b$上单调递增D.若$fx0$，则$fx$在$a,b$上为凹函数设$fx$为奇函数，则下列积分可能为0的有（）A.$\int_{-a}^a fxdx$B.$\int_0^a fxdx$C.$\int_{-a}^a fx^2dx$D.$\int_{-a}^a fx^3dx$下列关于定积分的性质，正确的有（）A.若$fx\leq gx$在$[a,b]$上成立，则$\int_a^b fxdx\leq\int_a^b gxdx$B.$\int_a^b fxdx=\int_a^c fxdx+\int_c^bfxdx$（$c\ina,b$）C.$|\int_a^b fxdx|\leq\int_a^b|fx|dx$D.$\int_a^bfxdx=\int_a^b fxdx$设$A,B$为$n$阶矩阵，则下列等式正确的有（）A.$A+B^2=A^2+2AB+B^2$B.$AB^T=B^T A^T$C.$|AB|=|A||B|$D.$AB^{-1}=B^{-1}A^{-1}$设$x$为实数，则下列函数为偶函数的有（）A.$fx=x^2+1$B.$fx=x^3+1$C.$fx=|x|$D.$fx=\cos x$设$fx$在$x=0$处可导，则下列结论正确的有（）第7页共15页A.$f0=0$B.$f0=\lim\limits_{h\to0}\frac{fh-f0}{h}$C.$fx=f0+f0x+ox$D.$fx$在$x=0$处连续下列关于多元函数极值的说法，正确的有（）A.若函数在驻点处二阶偏导数满足$AC-B^20$（$A=f_{xx},B=f_{xy},C=f_{yy}$），则该驻点为极值点B.若函数在驻点处$AC-B^2=0$，则该驻点可能为极值点C.函数在有界闭区域上一定存在最大值和最小值D.函数在无界区域上一定不存在最大值和最小值设$A$为$n$阶矩阵，则下列命题正确的有（）A.若$A$的秩为$r$，则$A$的行向量组的秩为$r$B.若$A$可逆，则$A$的逆矩阵唯一C.若$A$的特征值全为0，则$A$为零矩阵D.若$A$为对称矩阵，则$A$的不同特征值对应的特征向量正交极限$\lim\limits_{x\to\infty}\left\frac{x+1}{x-1}\right^x$的值可能为（）A.$e$B.$e^2$C.$e^{-2}$D.$1$

三、判断题（共20题，每题1分，共20分）（对的在答题卡指定位置填“√”，错的填“×”）若$\lim\limits_{x\to a}fx$存在，则$fx$在$x=a$处连续（）函数$fx=\frac{1}{x}$在$[1,2]$上的最大值为1（）定积分$\int_a^b fxdx$一定存在当且仅当$fx$在$[a,b]$上连续（）第8页共15页若$fx$在$[a,b]$上可积，则$\int_a^b fxdx$是一个常数（）微分方程$y+y=0$的通解为$y=A\cos x+B\sin x$（）设$z=zx,y$由方程$x^2+y^2+z^2=1$确定，则$\frac{\partialz}{\partial x}=\frac{x}{z}$（）幂级数$\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$的收敛半径为$\infty$（）若$fx$为奇函数，则$f0=0$（）设$fx$在$[a,b]$上连续且$fx\geq0$，$\int_a^b fxdx=0$，则$fx\equiv0$在$[a,b]$上（）行列式$\begin{vmatrix}123\456\789\end{vmatrix}=0$（）矩阵$A$的秩等于其行向量组的秩（）若$A$为$n$阶矩阵，且$A^2=E$，则$A$的特征值只能为1或-1（）设$fx$在$[a,b]$上可导，且$fx0$，则$fx$在$a,b$上严格单调递增（）定积分$\int_0^\pi\sin xdx=2$（）函数$fx=x^2$的导数$fx=2x$（）若矩阵$A$可逆，则$A$的伴随矩阵$A^*$也可逆（）二重积分$\iint_D xydxdy$，其中$D$由$y=0$和$y=1$围成，该积分值为0（）设$fx$在$x=0$处可导，则$fx$在$x=0$处可微（）矩阵$\begin{pmatrix}10\01\end{pmatrix}$的逆矩阵是其本身（）第9页共15页设$A,B$为$n$阶矩阵，则$A+BA-B=A^2-B^2$（）

四、简答题（共2题，每题5分，共10分）（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）计算极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1-x-\frac{x^2}{2}}{x^3}$设函数$y=yx$由方程$xy+\ln y=1$确定，求$\frac{dy}{dx}$参考答案

一、单项选择题1-5C A A CB6-10A A A CC11-15A AA CB16-20B B AAA21-25B ABAD26-30AAB BA

二、多项选择题31BC32ABD33ABD34ABD35ACD36AB37AC38ACD39BC40ABD41AD42ABCD43AD44ABC45BCD46ACD47BCD48ABC49ABD50BC

三、判断题51×52√53×54√55√56×57√58√59√60√61√62√63√64√65√66√67√68√69√70×

四、简答题第10页共15页解利用泰勒展开式，$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+ox^3$，代入得分子$=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+ox^3-1-x-\frac{x^2}{2}=\frac{x^3}{6}+ox^3$，极限$=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{x^3}{6}+ox^3}{x^3}=\frac{1}{6}$解方程两边对$x$求导，得$y+xy+\frac{1}{y}y=0$，整理得$y=\frac{-y}{x+\frac{1}{y}}=\frac{-y^2}{xy+1}$说明本试题涵盖高等数学核心知识点，题型、题量符合竞赛常见形式，答案准确，可作为备考练习参考#高等数学竞赛模拟试题及参考答案

一、文档说明本文提供一套高等数学竞赛模拟试题及参考答案，涵盖极限、导数、积分、微分方程、线性代数基础等核心知识点，题型包括单项选择、多项选择、判断及简答题，适用于备考学生熟悉竞赛题型、检验学习成果试题难度贴合竞赛标准，答案准确，可直接用于练习或参考

二、高等数学竞赛模拟试题

（一）单项选择题（共30题，每题1分，共30分）（在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x^2}{1-\cos x}$的值为（）A.0B.1C.2D.不存在函数$fx=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$处的间断点类型为（）A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点设$y=x^3+2x$，则$y$在$x=1$处的值为（）第11页共15页A.5B.4C.3D.2函数$fx=x^2-2x+3$在区间$[0,2]$上的最大值为（）A.3B.4C.5D.6定积分$\int_0^\pi x\sin x\dx$的值为（）A.$\pi$B.2$\pi$C.$\pi-2$D.$2-\pi$微分方程$y+y=0$的通解为（）A.$y=A\cos x+B\sin x$B.$y=Ae^x+B$C.$y=Ax+Be^x$D.$y=Ae^{2x}+Be^{-2x}$设$fx,y=x^2+xy+y^2$，则$\frac{\partial f}{\partialx}\bigg|_{1,2}$的值为（）A.5B.6C.7D.8级数$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{nn+1}$的和为（）A.1B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{1}{3}$D.$\frac{1}{4}$极限$\lim\limits_{x\to\infty}\left1+\frac{2}{x}\right^x$的值为（）A.1B.$e$C.$e^2$D.$e^3$函数$fx=\ln1+x$的麦克劳林展开式为（）A.$\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}$B.$\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n+1}$C.$\sum_{n=1}^\infty-1^{n+1}\frac{x^n}{n}$D.$\sum_{n=0}^\infty-1^n\frac{x^n}{n+1}$设$x$为实数，则$\int_0^x|t|dt$等于（）A.$\frac{x^2}{2}$B.$-\frac{x^2}{2}$C.$|x|x$D.$|x|^2$曲线$y=x^3-3x$的拐点坐标为（）第12页共15页A.0,0B.1,-2C.-1,2D.不存在行列式$\begin{vmatrix}123\456\789\end{vmatrix}$的值为（）A.0B.1C.2D.3设$A$为$3\times3$矩阵，且$\detA=2$，则$\det2A$的值为（）A.4B.8C.16D.32矩阵$\begin{pmatrix}12\34\end{pmatrix}$的逆矩阵为（）A.$\begin{pmatrix}-21\\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}2-1\-\frac{3}{2}\frac{1}{2}\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}-21\\frac{3}{2}\frac{1}{2}\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}2-1\\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$的值为（）A.0B.$\frac{1}{2}$C.1D.2设$y=x^3-3x+1$，则其导数$y$为（）A.$3x^2-3$B.$3x^2+3$C.$x^2-3$D.$x^2+3$定积分$\int_0^\pi\sin x\dx$的值为（）A.0B.1C.2D.$\pi$函数$fx=\frac{1}{x}$在区间$[1,2]$上的平均值为（）A.$\ln2$B.$\ln\frac{1}{2}$C.$2\ln2$D.$\frac{1}{2}\ln2$微分方程$y=y$满足$y0=1$的特解为（）A.$y=e^x$B.$y=e^{-x}$C.$y=1+x$D.$y=x^2$第13页共15页设$z=x^2y+\sinxy$，则$\frac{\partial z}{\partial y}$在$1,0$处的值为（）A.0B.1C.2D.3二重积分$\iint_D xydxdy$，其中$D$由$y=x$和$y=x^2$围成，则该积分值为（）A.$\frac{1}{12}$B.$\frac{1}{24}$C.$\frac{1}{36}$D.$\frac{1}{48}$幂级数$\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n+1}$的收敛半径为（）A.0B.1C.2D.$\infty$极限$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2+1}{n^3-2n+3}\sin n$的值为（）A.0B.1C.$\infty$D.不存在设$fx$在$[a,b]$上连续，则$\int_a^b fxdx$等于（）A.$\int_0^b fxdx-\int_0^a fxdx$B.$\int_a^0fxdx+\int_0^b fxdx$C.$\int_0^a fxdx-\int_0^b fxdx$D.$\int_a^b ftdt$微分方程$y-2y+y=0$的通解为（）A.$y=Ax+Be^x$B.$y=Ae^x+Be^{-x}$C.$y=A\cos x+B\sin x$D.$y=Ae^{2x}+Be^{-2x}$矩阵$A=\begin{pmatrix}123\012\001\end{pmatrix}$的特征值为（）A.1,1,1B.1,1,2C.1,2,3D.0,1,2设向量组$\alpha_1=1,0,0,\alpha_2=0,1,0,\alpha_3=0,0,1$，则该向量组的线性关系为（）第14页共15页A.线性相关B.线性无关C.无法判断D.以上都不是极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}$的值为（）A.0B.$\frac{1}{2}$C.1D.2函数$fx=x^3-3x+1$在区间$[-2,2]$上的最小值为（）A.-3B.-1C.1D.3

（二）多项选择题（共20题，每题2分，共40分）（在每题给出的选项中，有多项符合题目要求，多选、少选、错选均不得分）下列函数在$x=0$处连续的有（）A.$fx=\begin{cases}x+1,x\neq0\0,x=0\end{cases}$B.$fx=\frac{\sin x}{x},x\neq0;f0=1$C.$fx=\ln1+x,x\geq0;fx=1-x,x0$D第15页共15页。