大一高数历年试题和答案

大一高数历年试题和答案

一、选择题（本题型共15题，每题2分，共30分）

1.函数\fx=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}+\lnx+1\的定义域是（）A.\-1,2]\B.\[-1,2\C.\-1,2\D.\[-1,2]\

2.极限\\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{\tan2x}\的值是（）A.0B.1C.\\frac{3}{2}\D.\\frac{2}{3}\

3.函数\fx=\begin{cases}x^2,x\leq1\\2x-1,x1\end{cases}\在\x=1\处的连续性是（）A.不连续，因为\f1\不存在B.不连续，因为\\lim_{x\to{1^-}}fx\neq\lim_{x\to{1^+}}fx\C.连续，因为\\lim_{x\to1}fx=f1\D.连续，因为\f1=\lim_{x\to1}fx\

4.函数\fx=x^3-3x\的间断点类型是（）第1页共9页A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点

5.设\fx=x\ln x\，则\f1=\（）A.0B.1C.\\ln e\D.\e\

6.\\lim_{x\to\infty}\left1-\frac{2}{x}\right^x\的值是（）A.1B.\e\C.\e^{-2}\D.\e^2\

7.函数\fx=\sin2x\在\x=\frac{\pi}{4}\处的微分\dfx=\（）A.\2\cos2x dx\B.\2\cos\frac{\pi}{2}dx\C.\2\cos\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\pi}{4}dx\D.以上都不对

8.极限\\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}\的值是（A.0B.\\frac{1}{2}\C.1第2页共9页D.

29.函数\fx=x^2-2x+3\在区间\[0,3]\上的最大值是（）A.3B.6C.7D.

1010.设隐函数\x^2+y^2=1\确定\y=yx\，则\y=\（）A.\\frac{x}{y}\B.\-\frac{x}{y}\C.\\frac{y}{x}\D.\-\frac{y}{x}\

11.不定积分\\int x^3-2x+1dx=\（）A.\\frac{1}{4}x^4-x^2+x+C\B.\\frac{1}{4}x^4-x^2+x\C.\\frac{1}{4}x^4-x^2+x+C\（C为常数）D.以上都不对

12.定积分\\int_0^1x^2dx=\（）A.\\frac{1}{3}\B.\\frac{1}{2}\C.1D.

313.微分方程\y=2x\的通解是（）A.\y=x^2+C\（C为常数）第3页共9页B.\y=x^2\C.\y=2x+C\D.\y=2x\

14.函数\fx=\ln1+x\在区间\[0,1]\上满足拉格朗日中值定理的\\xi\值是（）A.0B.1C.\e-1\D.\\ln2-1\

15.极限\\lim_{n\to\infty}\left1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right^n=\（）A.0B.1C.\e\D.\e^2\

二、填空题（本题型共15题，每题2分，共30分）

1.设\fx=\frac{x}{1+x}\，则\ffx=\______

2.极限\\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\______

3.函数\fx=\frac{1}{x-2}\的第二类间断点类型是______间断点

4.设\y=x^2e^x\，则\y=\______

5.函数\fx=x^3-3x\在\x=\______处取得极大值

6.定积分\\int_0^\pi\sin x dx=\______

7.不定积分\\int\frac{1}{x^2+2x+2}dx=\______第4页共9页

8.微分方程\y-3y+2y=0\的通解是______

9.极限\\lim_{x\to0}1+x\sin x^{1/x}=\______

10.函数\fx=\frac{\ln1-x}{x}\当\x=0\时无定义，补充定义\f0=\______可使函数在\x=0\处连续

11.曲线\y=x^3-3x\在点\1,-2\处的切线方程是______

12.设\Fx=\int_0^x t^2dt\，则\Fx=\______

13.函数\fx=x^2\ln x\的单调递减区间是______

14.定积分\\int_1^e\frac{1}{x}dx=\______

15.微分方程\y=\frac{y}{x}\满足初始条件\y_{x=1}=2\的特解是______

三、计算题（本题型共15题，每题4分，共60分）

1.计算极限\\lim_{x\to\infty}\left\frac{x+1}{x-1}\right^x\

2.求函数\fx=\frac{x^2-1}{x-1}\的间断点，并判断类型

3.设\y=\sin^n x\cos nx\中\n\为常数，求\y\

4.计算不定积分\\int x\cos x dx\

5.设隐函数\x y=e^{x+y}\确定函数\y=yx\，求\y\

6.计算定积分\\int_0^1x\sqrt{1-x^2}dx\

7.求函数\fx=x^3-3x^2-9x+5\的单调区间和极值

8.计算极限\\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}\

9.计算不定积分\\int\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx\第5页共9页

10.求曲线\y=x^2-x\与直线\y=x\所围成的平面图形的面积

11.设\Fx=\int_0^x t^2-2t dt\，求\Fx\的最小值及对应的\x\值

12.计算极限\\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}-2x}{x^4}\

13.求微分方程\y-2y-3y=0\的通解

14.计算定积分\\int_0^\pi x\sin xdx\

15.设函数\fx=\begin{cases}x^2,x\leq0\\x+1,x\0，求\\lim_{x\to0}fx\及\fx\是否在\x=0\处连续

四、应用题（本题型共10题，每题5分，共50分）

1.一个物体做直线运动，位移函数为\st=t^3-6t^2+t\（单位米），求物体在\t=2\秒时的速度和加速度

2.求由曲线\y=x^2\与直线\y=2x\所围成的平面图形绕\x\轴旋转一周所得旋转体的体积

3.欲做一个容积为\V\的圆柱形无盖水桶，问底半径\r\和高\h\各取多少时，用料最省（即表面积最小）？

4.某工厂生产某种产品，固定成本为200元，每生产一件产品的可变成本为\

0.05x+10\元（其中\x\为产量），产品售价为\p=50-

0.01x\元/件，求最大利润及此时的产量

5.求曲线\y=\ln x\在点\1,0\处的切线方程，并求该切线与\x\轴、\y\轴所围成的三角形面积第6页共9页

6.一个物体从高处自由落下，忽略空气阻力，位移函数为\st=\frac{1}{2}g t^2\（\g=

9.8m/s^2\），求物体在\t=3\秒时的瞬时速度

7.在抛物线\y=x^2\上找一点，使该点到点\1,0\的距离最短，并求出最短距离

8.求由曲线\y=\sin x\，\y=\cos x\及\x=0\，\x=\frac{\pi}{2}\所围成的平面图形的面积

9.一个长方形周长固定为20米，问长和宽各取多少时，长方形的面积最大？最大面积是多少？

10.求微分方程\y+y=e^{-x}\满足初始条件\y_{x=0}=1\的特解，并求\\lim_{x\to+\infty}yx\

五、证明题（本题型共5题，每题6分，共30分）

1.证明当\x0\时，\\ln1+xx\

2.证明方程\x^3-3x+1=0\在区间\0,1\内至少有一个实根

3.证明函数\fx=x^3-3x+1\在区间\-2,0\内至少有一个零点

4.证明对任意\x0\，有\\frac{x}{1+x}\ln1+x x\

5.证明拉格朗日中值定理条件下，若\fx\满足\fx=0\，则\fx\在区间上为常数答案汇总一选择题答案

1.C

2.C

3.C

4.A

5.B

6.C

7.A（注选项A为\2\cos2xdx\，\fx=2\cos2x\cdot2x=2\cos2x\cdot2=4\cos2x\？哦，原题目7可能有误，正确应为\y=\sin2x\，第7页共9页\y=2\cos2x\，\dfx=2\cos2xdx\，选项A正确，答案

1.C；

2.C；

3.C；

4.A；

5.B；

6.C；

7.A；

8.B；

9.C；

10.B；

11.C；

12.A；

13.A；

14.C；

15.C）二填空题答案

1.\\frac{x}{1+2x}\；

2.\\frac{1}{2}\；

3.无穷；

4.\x^2+4x+2e^x\；

5.\-1\；

6.2；

7.\\arctanx+1+C\；

8.\y=C_1e^x+C_2e^{2x}\（\C_1,C_2\为常数）；

9.\e\；

10.\-1\；

11.\y=3x-5\；

12.\x^2\；

13.\0,\frac{1}{\sqrt{e}}\；

14.1；

15.\y=2x\三计算题答案

1.\e^2\；

2.可去间断点（\x=1\）；

3.\n\sin^{n-1}x\cosn+1x\；

4.\x\sin x+\cos x+C\；

5.\y=\frac{y1-x}{xy-1}\；

6.\\frac{2}{3}\；

7.增区间\-\infty,-1,3,+\infty\，减区间\-1,3\，极大值\10\，极小值\-22\；

8.\\frac{1}{6}\；

9.\\arcsin\frac{x}{2}+C\；

10.\\frac{4}{3}\；

11.最小值\-\frac{4}{3}\，\x=\frac{2}{3}\；

12.\\frac{1}{6}\；

13.\y=C_1e^{3x}+C_2e^x\；

14.\\pi\；

15.\0\，不连续四应用题答案

1.速度\-19m/s\，加速度\-18m/s^2\；

2.\\frac{16\pi}{15}\；

3.\r=\sqrt

[3]{\frac{2V}{\pi}}\，\h=\sqrt

[3]{\frac{4V}{\pi}}\；

4.产量\2000件\，最大利润\199800元\；

5.切线方程\y=x-1\，面积\\frac{1}{2}\；

6.\

29.4m/s\；

7.点\\frac{1}{2},\frac{1}{4}\，最短距离\\frac{\sqrt{5}}{2}\；

8.\2\sqrt{2}-2\；

9.长\5m\，宽\5m\，最大面积\25m^2\；

10.\y=x e^{-x}+e^{-x}\，\\lim_{x\to+\infty}yx=0\第8页共9页五证明题答案

1.构造\gx=x-\ln1+x\，求导\gx=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}0\（\x0\），\gx\单调增且\g0=0\，故\gx0\即\x\ln1+x\；

2.令\fx=x^3-3x+1\，\f0=10\，\f1=-10\，由零点定理得证；

3.同2，\f-2=-8+6+1=-10\，\f0=10\；

4.\gx=\ln1+x-\frac{x}{1+x}=\frac{x-x}{1+x}+\ln1+x-\frac{x}{1+x}=\ln1+x+\frac{-x}{1+x}\，求导\gx=\frac{1}{1+x}-\frac{-x+1}{1+x^2}=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+x^2}0\，\g0=0\，故当\x0\时\gx0\，即\\ln1+x\frac{x}{1+x}\，又由1知\\ln1+xx\；

5.设\fx\在\[a,b]\连续，\a,b\可导，存在\\xi\in a,b\使\f\xi=\frac{fb-fa}{b-a}=0\，即\fb=fa\，由\a,b\任意性知\fx\为常数第9页共9页。