大学数学考试题库及答案

大学数学考试题库及答案

一、选择题（本题型共20题，每题2分，共40分）

1.设函数fx在点x₀处可导，则limh→0[fx₀+2h-fx₀]/h的值为（）A.fx₀B.2fx₀C.1/2fx₀D.

02.极限limx→01+2x^1/x的值为（）A.e B.e²C.e^1/2D.

23.函数fx=x³-3x²+2在区间[0,2]上的最大值为（）A.0B.1C.2D.

34.设向量组α₁=1,2,3,α₂=2,4,5,α₃=1,0,1，则该向量组的秩为（）A.1B.2C.3D.

45.行列式123;456;789的值为（）A.0B.1C.2D.

36.设A是3阶矩阵，A=2，则2A的值为（）A.2B.4C.8D.

167.设随机变量X~N0,1，Φx为标准正态分布的分布函数，则Φ-Φ1的值为（）第1页共8页A.Φ1B.1-Φ1C.2Φ1-1D.1-2Φ

18.设fx=x²sinx，则fx等于（）A.2xsinx B.x²cosx C.2xcosx+x²sinx D.2xcosx-x²sinx

9.积分∫0到1x²dx的值为（）A.1/3B.1/2C.1D.

210.设A,B为n阶可逆矩阵，则下列结论正确的是（）A.AB=BAB.A+B^-1=A^-1+B^-1C.A^T^-1=A^-1^T D.kA^-1=kA^-1（k≠0）

11.设事件A,B互不相容，PA=

0.3，PB=

0.5，则PA∪B的值为（）A.

0.3B.

0.5C.

0.8D.

1.

512.函数fx=ln1+x在x=0处的泰勒展开式为（）A.Σ-1^n x^n+1/n+1B.Σ-1^n x^n/n C.Σx^n/n D.Σx^n+1/n+

113.设矩阵A=10;01，则A²的值为（）A.10;01B.01;10第2页共8页C.11;11D.20;

0214.极限limx→∞1+1/x^x的值为（）A.0B.1C.e D.∞

15.设fx在[a,b]上连续，Fx=∫a到x ftdt，则Fx等于（）A.fa B.fx C.fb D.fx-fa

16.设向量α=1,2,3，β=2,1,0，则α·β的值为（）A.4B.5C.6D.

717.设随机变量X的分布律为PX=k=C5,k

0.2^k

0.8^5-k，k=0,1,...,5，则X服从（）A.二项分布B5,

0.2B.二项分布B5,

0.8C.泊松分布P

0.2D.均匀分布U0,

518.设函数fx=x³-3x在区间0,2内的驻点个数为（）A.0B.1C.2D.

319.行列式a00;0b0;00c的值为（）A.abc B.a+b+c C.a-b-c D.ab+bc+ca

20.设A是n阶矩阵，α是n维非零列向量，若Aα=2α，则α是A的属于特征值（）的特征向量A.0B.1C.2D.3

二、填空题（本题型共10题，每题1分，共10分）第3页共8页

1.函数fx=1/x-1的定义域为_________

2.limx→0sinx/x的值为_________

3.函数fx=x²-2x+3的导数fx=_________

4.积分∫e^x dx=_________

5.n阶单位矩阵E的行列式E=_________

6.矩阵A=12;34的逆矩阵A^-1=_________

7.事件A,B独立的充要条件是_________

8.向量组α₁=1,0,0,α₂=0,1,0,α₃=0,0,1的线性相关性是_________

9.limx→∞1-1/x^2x的值为_________

10.设fx,y=x²+y²，则∂f/∂x=_________

三、计算题（本题型共10题，每题5分，共50分）

1.计算极限limx→0e^x-1-x/x²

2.设函数y=ln1+x²，求dy/dx

3.计算定积分∫0到πsinx dx

4.设矩阵A=123;221;343，求A的秩

5.计算行列式123;014;101的值第4页共8页

6.设随机变量X~N1,4，求P1X3的值（已知Φ

0.5=

0.6915，Φ1=

0.8413，Φ2=

0.9772）

7.设向量组α₁=1,2,0,α₂=1,1,1,α₃=2,3,1，求该向量组的一个极大无关组

8.计算二重积分∫∫_D xydxdy，其中D是由y=x,y=1,x=0围成的区域

9.设函数fx=x³-3x²+2，求fx在区间[-1,2]上的最大值和最小值

10.设矩阵A=12;34，B=01;23，求AB及BA

四、证明题（本题型共10题，每题8分，共80分）

1.证明若函数fx在[a,b]上连续，且∫a到b fxdx=0，则至少存在一点ξ∈a,b，使得fξ=

02.证明n阶矩阵A与A^T（A的转置矩阵）有相同的特征值

3.证明若向量组α₁,α₂,...,αm线性无关，则其任何一个部分组也线性无关

4.证明若事件A,B互不相容，则PA∪B=PA+PB

5.证明函数fx=x³在-∞,+∞上单调递增

6.证明对任意n阶矩阵A，A+A^T是对称矩阵

7.证明若随机变量X~Nμ,σ²，则Y=X-μ/σ~N0,

18.证明若矩阵A的秩为r，则A的所有r阶子式全不为零，且所有r+1阶子式全为零第5页共8页

9.证明若函数fx在点x₀处可导，则fx在点x₀处连续

10.证明对任意两个随机变量X和Y，有DX+Y=DX+DY+2CovX,Y，其中CovX,Y是X与Y的协方差

五、应用题（本题型共10题，每题10分，共100分）

1.求曲线y=x²与直线y=2x所围成的平面图形的面积

2.一个物体做直线运动时，位移函数为st=t³-3t²+2t，求物体在t=2时的速度和加速度

3.在经济学中，某商品的需求函数为Q=100-2P，供给函数为Q=20+3P，求市场均衡时的价格P和需求量Q

4.求函数fx=x³-3x²-9x+5在区间[0,4]上的最大值和最小值，并指出取得最值的点

5.设平面区域D由曲线y=x²和y=√x围成，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积

6.在一次考试中，学生的数学成绩X~N70,100，若85分以上为优秀，求优秀学生的概率（已知Φ

1.5=

0.9332）

7.某工厂生产某种产品，固定成本为200元，每生产一件产品的可变成本为10元，产品售价为P=30-Q/10（元/件），其中Q为产量，求最大利润及相应的产量

8.用向量法证明在△ABC中，若AB·AC=ABACcosA，则A为三角形的内角

9.一个盒子中有5个红球和3个白球，从中有放回地抽取3次，求恰好抽到2个红球的概率第6页共8页

10.一个长方形的周长为20cm，问长和宽各为多少时，长方形的面积最大？最大面积是多少？

六、答案（此处汇总所有题目的答案，按题型顺序排列）

一、选择题答案

1.B

2.C

3.C

4.B

5.A

6.D

7.B

8.C

9.A

10.C

11.C

12.A

13.A

14.C

15.B

16.B

17.A

18.C

19.A

20.C

二、填空题答案

1.-∞,1∪1,+∞

2.

13.2x-

24.e^x+C

5.

16.-21;

1.5-

0.

57.PAB=PAPB

8.线性无关

9.e^-

210.2x

三、计算题答案

1.1/

22.2x/1+x²

3.

24.

25.-

26.

0.

13597.α₁,α₂（或其他等价极大无关组）

8.1/

129.最大值2（x=0），最小值-2（x=2）

10.AB=47;811，BA=57;1415

四、证明题答案（简述证明思路，此处仅列结论）

1.反证法假设∀x∈a,b,fx≠0，由连续性得fx恒正或恒负，与积分等于0矛盾

2.利用特征多项式detλE-A^T=detλE-A^T=detλE-A，特征多项式相同

3.线性无关组的定义部分组线性无关，整体必线性无关第7页共8页

4.互不相容即AB=∅，PAB=0，由加法公式PA∪B=PA+PB-PAB=PA+PB

5.求导fx=3x²-3，令fx=0得x=±1，在-∞,+∞上fx≥0，且仅在x=±1处为0，故单调递增

6.A+A^T^T=A^T+A^T^T=A+A^T，满足对称矩阵定义

7.标准化Y=X-μ/σ，PY≤y=PX≤μ+σy=Φμ+σy-μ/σ=Φy，即Y~N0,

18.矩阵秩的定义rA=r⇨存在r阶非零子式，且所有r+1阶子式为

09.由导数定义fx₀=limh→0[fx₀+h-fx₀]/h，而fx₀+h-fx₀=fx₀h+oh，故limh→0fx₀+h-fx₀=0，即连续

10.DX+Y=E[X+Y-E[X+Y]²]=E[X-E[X]+Y-E[Y]²]=DX+DY+2E[X-E[X]Y-E[Y]]=DX+DY+2CovX,Y

五、应用题答案

1.2/

32.速度2，加速度

23.P=16，Q=

684.最大值20（x=4），最小值-22（x=3）

5.π/

106.

0.

06687.最大利润250元，产量100件

8.向量点积定义cosA=AB·AC/ABAC，A∈0,π

9.

0.

268810.长=5cm，宽=5cm，最大面积25cm²第8页共8页。