专升本高等数学教学课件

专升本高等数学教学课件目录0102基础知识与函数复习极限与连续函数定义、性质及常见初等函数极限概念、计算技巧及连续性0304导数与微分积分学基础导数定义、求导法则及应用不定积分、定积分及其应用0506多元函数微积分线性代数基础偏导数、全微分及极值问题行列式、矩阵及线性方程组07常微分方程简介复习与典型例题解析微分方程分类及求解方法第一章基础知识与函数复习函数的定义与性质回顾常见初等函数函数是两个变量之间的对应关指数函数、对数函数、三角函系，满足每个自变量对应唯一的数、反三角函数等，熟悉各函数因变量掌握函数的定义域、值的图像特征、性质和变化规律域、单调性等基本概念函数的图像与变换平移、对称、伸缩等几何变换对函数图像的影响，理解变换规律有助于快速绘制复合函数图像函数的单调性与奇偶性单调性分析函数的单调性是函数的重要性质之一对于函数fx，如果在某区间内，当x₁•利用定义证明单调性•利用导数判断单调性•复合函数的单调性判断掌握单调性的判别方法对解不等式和求函数极值具有重要意义奇偶性特征奇函数满足f-x=-fx，图像关于原点对称；偶函数满足f-x=fx，图像关于y轴对称第二章极限与连续极限是高等数学的基础概念，描述了函数在某点附近的变化趋势理解极限的几何意义和代数定义，掌握各种类型极限的计算方法是学好微积分的关键极限的概念与计算技巧无穷小与无穷大比较极限描述了函数值在自变量趋近无穷小是极限为零的函数，无穷某值时的变化趋势包括数列极大是绝对值无限增大的函数掌限、函数极限、左极限和右极限握无穷小的比较和等价无穷小的等概念应用函数的连续性及间断点分类连续函数在某点的左极限、右极限和函数值相等间断点分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点极限计算典型题型夹逼定理应用当函数被两个具有相同极限的函数夹在中间时，该函数的极限存在且等于这个公共极限常用于处理含有正弦、余弦函数的极限计算•limx→0sin x/x=1•limx→∞1+1/x^x=e洛必达法则详解当极限呈现0/0或∞/∞型未定式时，可以使用洛必达法则将分子分母分别求导，直到能够确定极限值为止•确认未定式类型•检查洛必达法则应用条件•重复应用直到求出结果常见极限公式总结掌握重要极限公式能够快速解决复杂的极限计算问题，提高解题效率•limx→01-cos x/x²=1/2•limx→0aˣ-1/x=ln a•limx→0eˣ-1/x=1极限过程可视化理解上图展示了函数在某点附近的极限行为当自变量x无限接近某个值时，函数值fx趋向于一个确定的值L，这就是极限的几何意义理解极限的图形表示有助于:•直观理解极限的定义•判断极限是否存在•识别间断点的类型•理解导数的几何意义第三章导数与微分导数的核心概念导数是函数在某点处的瞬时变化率，反映了函数图像在该点切线的斜率导数的几何意义是切线斜率，物理意义是瞬时速度导数定义fx=limΔx→0[fx+Δx-fx]/Δx基本求导公式与运算法则•xⁿ=n·xⁿ⁻¹高阶导数特点•eˣ=eˣ•ln x=1/x二阶导数反映函数的凹凸性，三阶及以上导数在泰•sin x=cos x勒展开中具有重要作用•cos x=-sin x掌握乘积法则、商法则、链式法则等运算规律导数应用函数单调性与极值判定凹凸性与拐点利用一阶导数判断函数的增减二阶导数判断函数的凹凸性性当fx0时函数递增，fx0时函数凹向上，fx0时fx0时函数递减极值点处一函数凹向下拐点是凹凸性改变阶导数为零或不存在的点曲线的渐近线包括垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线通过求极限确定渐近线方程，完善函数图像的绘制典型例题求函数极值与最值极值问题是导数应用的重点，结合实际问题建立数学模型，运用导数方法求解最优化问题求导数并令其为零确定定义域计算函数的一阶导数，解方程fx=0，得到驻点同时考虑导分析函数的定义域，找出所有可能的极值点候选位置，包括导数不存在的点数为零的点和导数不存在的点比较确定最值判断极值类型比较所有极值点和端点处的函数值，确定函数在给定区间上的利用二阶导数测试或一阶导数的符号变化判断每个候选点是极最大值和最小值大值点、极小值点还是非极值点实际应用中常见的优化问题包括几何图形的面积、体积最值问题，经济学中的成本最小、利润最大问题等第四章积分学基础积分是导数的逆运算，分为不定积分和定积分不定积分求原函数，定积分计算面积、体积等几何量积分学是解决累积问题的重要工具不定积分与基本积分公式定积分的定义与性质牛顿莱布尼茨公式-∫fxdx表示fx的全体原函数基本定积分∫ᵇₐfxdx表示函数fx在区间连接了不定积分与定积分∫ᵇₐfxdx积分公式包括幂函数、指数函数、三[a,b]上与x轴围成图形的代数面积=Fb-Fa，其中Fx是fx的一个角函数等的积分形式具有线性性、可加性等重要性质原函数定积分计算技巧换元积分法通过适当的变量替换简化积分计算包括第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法（变量替换法）•三角替换处理根式积分•指数替换处理指数函数积分•倒数替换处理无穷区间积分分部积分法基于乘积求导法则的逆运算∫udv=uv-∫vdu选择合适的u和dv是成功应用的关键•LIATE原则对数、反三角、代数、三角、指数•循环积分的处理•降次积分的应用常见积分类型归纳掌握有理函数、三角函数、指数函数等典型积分的计算方法，建立积分公式库记忆技巧通过大量练习形成积分直觉，见到积分式立即联想到相应的计算方法定积分应用面积计算体积计算（旋转体）弧长与曲面积分简介计算由曲线围成的平面图形面平面图形绕坐标轴旋转形成的旋计算曲线弧长和曲面面积弧长积当函数在积分区间内为正转体体积包括圆盘法、垫圈法公式s=∫ᵇₐ√1+[fx]²dx为时，积分值即为面积；当函数有和圆筒法等计算方法后续学习曲线积分和曲面积分奠正有负时，需要分段计算绝对定基础•绕x轴旋转V=π∫ᵇₐ[fx]²dx值•直角坐标系下的弧长•绕y轴旋转V=π∫ᵈ[gy]²dy•曲线与x轴围成的面积•参数方程的弧长•绕任意直线旋转的处理•两条曲线之间的面积•旋转曲面的面积•极坐标系下的面积定积分几何意义可视化上图清晰展示了定积分的几何意义函数fx在区间[a,b]上的定积分等于曲线y=fx、x轴以及直线x=a、x=b所围成区域的面积理解定积分的几何意义有助于•建立积分与面积的直观联系•解决实际问题中的累积量计算•理解积分的正负性含义•为多元积分的学习奠定基础•掌握积分的几何应用方法•提高空间想象能力第五章多元函数微积分多元函数微积分将一元函数的微积分概念推广到多个变量的情形研究多元函数的极限、连续、可微性以及在几何、物理中的应用多元函数的极限与连续偏导数与全微分多元函数fx,y在点x₀,y₀处偏导数是多元函数对其中一个变的极限需要从各个方向趋近都得量的导数，其他变量视为常数到相同结果连续性定义类似一全微分dz=∂f/∂xdx+元函数，但判断更加复杂∂f/∂ydy表示函数的线性近似方向导数与梯度方向导数表示函数沿特定方向的变化率梯度∇f是偏导数组成的向量，指向函数增长最快的方向多元函数极值问题无条件极值多元函数的极值问题比一元函数复杂首先求偏导数并令其为零，得到驻点，然后利用二阶偏导数判别法确定极值类型判别方法设Δ=fₓₓ·f_{yy}-fₓᵧ²•Δ0且fₓₓ0极小值•Δ0且fₓₓ0极大值•Δ0鞍点•Δ=0需进一步判断条件极值与拉格朗日乘数法在约束条件gx,y=0下求fx,y的极值构造拉格朗日函数Lx,y,λ=fx,y-λgx,y，求偏导数并令其为零典型例题在椭圆x²+2y²=1上求点x,y，使得x+y达到最值这类问题在几何优化和经济学中有重要应用第六章线性代数基础线性代数是现代数学的重要分支，研究向量、矩阵、线性变换等概念在工程、经济、计算机科学等领域有广泛应用行列式的定义与性质1行列式是方阵的一个标量值，反映线性变换的几何性质掌握行列式的计算方法和基本性质是学习线性代数的基础矩阵的运算与初等变换2矩阵是线性代数的核心工具包括矩阵的加法、乘法、转置、求逆等运算，以及初等行变换的应用线性方程组的解法3高斯消元法是求解线性方程组的基本方法通过初等行变换将增广矩阵化为阶梯形，判断解的存在性和唯一性特征值与特征向量特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，在主成分分析、稳定性分析等领域有重要应用定义与计算方法对于n×n矩阵A，如果存在非零向量x使得Ax=λx，则λ称为A的特征值，x称为对应的特征向量计算步骤

1.求特征方程detA-λI=0的根

2.对每个特征值λᵢ，求解齐次方程组A-λᵢIx=

03.得到对应的特征向量对角化及其应用当矩阵有足够多的线性无关特征向量时，可以相似对角化对角化简化矩阵幂的计算，在微分方程求解中有重要应用线性代数在高数中的应用线性变换与几何意义线性变换保持向量的线性组合关系几何上表现为旋转、缩放、镜像等变换，在计算机图形学中有重要应用二次型与惯性定理二次型fx₁,x₂,...,x=xᵀAx是齐次ₙ二次多项式通过正交变换可将其化为坐标系变换标准形，惯性定理描述了二次型的分在多元微积分中，坐标系的变换（如极类坐标变换、柱面坐标变换）本质上是线性变换，雅可比行列式体现了变换的几何性质第七章常微分方程简介常微分方程描述未知函数及其导数之间的关系，广泛应用于物理、生物、经济等领域的数学建模掌握基本类型微分方程的求解方法是应用数学的重要技能一阶微分方程的分类与解法可分离变量方程一阶微分方程的一般形式为形如dy/dx=fxgy的方程通过Fx,y,y=0包括可分离变量方分离变量得到dy/gy=fxdx，两程、齐次方程、一阶线性方程等边积分即可求解这是最基本的类型，每种类型有相应的求解方微分方程类型法齐次与非齐次线性微分方程一阶线性方程y+Pxy=Qx齐次方程Qx=0时，解为y=Ce^-∫Pxdx；非齐次方程需要求特解常微分方程典型例题微分方程的应用体现了数学与实际问题的紧密联系通过建立数学模型，将实际问题转化为微分方程求解问题人口增长模型物理振动问题马尔萨斯人口模型dp/dt=kp，解得pt=p₀e^kt考虑环境弹簧振动方程mx+kx=0，其中m为质量，k为弹性系数解为阻力的logistic模型dp/dt=kp1-p/K，其中K为环境容量xt=Acosωt+φ，ω=√k/m为角频率解题要点理解物理背景，正确建立微分方程，选择合适的求解方法，验证解的合理性复习重点总结函数与极限函数性质、极限计算技巧、连续性判断1•重要极限公式•洛必达法则应用条件•间断点分类导数与应用求导法则、导数应用于极值和优化问题2•复合函数求导•隐函数求导•极值判定条件积分学不定积分和定积分的计算方法与应用3•换元积分法•分部积分法•定积分几何应用多元函数与线性代数偏导数、多元函数极值、矩阵运算4•梯度与方向导数•条件极值问题•特征值与特征向量典型考试题型汇总专升本高等数学考试涵盖各个知识点，题型分布相对固定掌握各类题型的解题思路和技巧，是取得好成绩的关键选择题解题策略1选择题占分比重大，要求快速准确常考概念辨析、简单计算、图像识别等建议用排除法、特殊值法等技巧提高效率填空题重点内容2填空题多考查基本概念和公式应用常见题型包括极限计算、导数求解、积分计算等注意答案的准确性和规范性计算题解题步骤3计算题是主要得分点，要求过程完整、步骤清晰包括极限计算、求导、积分、微分方程等每个步骤都要写出关键公式和理由应用题建模方法4应用题考查数学建模能力需要理解题意、建立数学模型、求解并解释结果常涉及最值问题、几何应用、物理应用等高数公式速查表这份公式速查表涵盖了专升本高等数学的核心公式，包括导数公式、积分公式、级数公式等考前复习时可以快速查阅，确保公式记忆准确重点公式类别使用建议将常用公式制•基本导数与积分公式作成卡片，随时复习，形•三角函数恒等式成条件反射式的记忆•泰勒级数展开•重要极限公式学习建议与复习规划时间管理策略合理的时间安排是学习成功的保证建议将复习分为三个阶段基础知识巩固、专题训练、综合模拟•基础阶段系统复习各章节知识点•强化阶段专题训练，突破重点难点•冲刺阶段模拟试题，查漏补缺重点突破方法识别薄弱环节建立知识网络错题整理与分析通过做题发现自己的薄弱知识点，制定针对性的将各章节知识点串联起来，形成完整的知识体建立错题本，分析出错原因，总结解题规律定复习计划，集中精力攻克难点系理解概念之间的内在联系期回顾错题，避免重复犯错常见问题答疑在学习高等数学过程中，学生经常遇到一些共同的疑惑和困难以下是针对常见问题的详细解答和学习指导极限计算中的未定式处理积分计算的方法选择遇到0/

0、∞/∞等未定式时，不积分方法的选择需要经验积累要急于使用洛必达法则先尝试一般先考虑是否有现成公式，再代数变形、等价无穷小替换等方考虑换元法，最后考虑分部积分法，这样计算更简便法多做练习培养积分直觉多元函数求偏导的易错点求偏导时要明确哪个是自变量，哪些是常数复合函数的偏导数要用链式法则，注意中间变量的处理互动环节课堂练习题通过实际练习巩固所学知识，提高解题能力以下是精选的典型练习题，涵盖各个重点知识领域1234极限计算导数应用积分计算微分方程求极限limx→0sin3x-求函数fx=x³-3x²+2的极值计算定积分∫₀^πsin²x dx求解微分方程dy/dx+y=e^x3sinx/x³点和极值小组讨论选择其中一题，与同学讨论解题思路，分享不同的解法资源推荐经典教材推荐•《高等数学》（同济大学数学系编）•《数学分析》（华东师范大学数学系编）•《线性代数》（居余马等编）•《概率论与数理统计》（盛骤等编）参考资料•专升本高等数学历年真题集•高等数学解题指导与习题集•数学公式手册结束语坚持学习，掌握方法专升本高数必胜！高等数学的学习是一个循序渐进的过程，需要持之以恒的努力和正确的方法指导通过本课件的学习，相信大家已经对高等数学的核心内容有了深入的理解学习心得总结考试成功要素•理论与实践相结合•扎实的基础知识•勤于思考，善于总结•熟练的计算技能•注重基础，循序渐进•清晰的解题思路•多做练习，熟能生巧•良好的心理素质数学之美在于其逻辑的严谨和应用的广泛，愿每位同学都能在高等数学的学习中收获知识与成长！谢谢聆听感谢大家！感谢各位同学的认真学习和积极参与希望通过这次课程，大家对专升本高等数学有了更深入的理解和掌握欢迎提问与交流持续学习建议对于课程内容有任何疑问，欢迎随时提课后请继续练习，巩固所学知识建议出学习中遇到的问题就是进步的机制定学习计划，定期复习，为考试做好会充分准备联系方式如需进一步辅导或有学习困难，可以通过课程平台或邮箱与我联系，我会尽力帮助大家祝愿所有同学学习进步，考试成功，前程似锦！。