初等数论试题及答案下载

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一、文档说明本试题针对初等数论基础知识点设计，涵盖整除、同余、素数、最大公约数、最小公倍数等核心内容，题型包括单项选择、多项选择、判断及简答题，适合学生自测、备考或教师命题参考试题附详细答案，方便对照学习与巩固

二、试题部分

（一）单项选择题（共30题，每题1分）若整数a,b,c满足a|b且b|c，则必有（）A.a|c B.c|a C.a+b|c D.a-b|c2025的素因数分解式为（）A.3×11×61B.7×13×23C.13×155+8D.11×13×14下列整数中，与12互素的是（）A.8B.9C.10D.1550除以7的商和余数分别为（）A.商7余1B.商6余8C.商7余-1D.商6余2最小的正素数是（）A.1B.2C.3D.4若p为素数，a,b为整数，则p|ab时必有（）A.p|a B.p|b C.p|a或p|b D.a,b均为p的倍数100的正因数个数为（）A.8B.9C.10D.12下列等式中，成立的是（）A.gcd0,0=0B.gcd5,15=5C.gcd6,8=8D.gcd12,18=3若a,b,c为整数，且c0，则a≡b modc等价于（）第1页共7页A.a-b=c B.c|a-b C.a+b=c D.a=b+c3^4mod5的值为（）A.1B.3C.2D.4同余方程x+3≡5mod7的解为（）A.x=2B.x=4C.x=5D.x=6欧拉函数φ12的值为（）A.4B.6C.8D.10下列数中，不是模5的二次剩余的是（）A.1B.2C.3D.4中国剩余定理的核心条件是（）A.模数互素B.模数为素数C.模数为合数D.模数为偶数100以内的素数个数约为（）A.25B.16C.20D.30若a≡b modm且c≡d modm，则下列成立的是（）A.a+c≡b+d modm B.a-c≡b-d modm C.ac≡bd modm D.以上均成立5x≡3mod7的解为（）A.x=2B.x=3C.x=4D.x=5数论函数dn表示n的正因数个数，则d12=（）A.3B.4C.5D.6若n=2^k×m，其中m为奇数，则n的标准分解式中奇素数的指数为（）A.k B.m C.1D.0模7的一个完全剩余系为（）第2页共7页A.0,1,2,3,4,5,6B.1,2,3,4,5,6,7C.0,2,4,6,8,10,12D.-3,-2,-1,0,1,2,31+2+3+…+n的和为（）A.nn+1/2B.n^2C.nn-1/2D.n^3素数定理的结论是（）A.πn~n/ln nB.πn=n C.πn=2n D.πn=n^2若a,b为正整数，则lcma,b×gcda,b=（）A.a+b B.a-b C.ab D.a/b同余式3x≡6mod9的解的个数为（）A.1B.2C.3D.02^100mod3的值为（）A.1B.2C.0D.无法确定若p为素数且p|n，则n的素因数分解式中p的指数至少为（）A.0B.1C.2D.3下列数中，能被3整除的是（）A.123B.457C.781D.2025最大的负整数是（）A.-1B.-2C.0D.112和18的最大公约数是（）A.3B.6C.9D.12模8的简化剩余系为（）A.1,3,5,7B.0,1,3,5,7C.2,4,6,8D.1,2,3,4

（二）多项选择题（共20题，每题2分）下列整数中，能被5整除的有（）第3页共7页A.10B.15C.23D.100素数的基本性质有（）A.只有1和自身两个正因数B.大于1的整数C.除2外均为奇数D.一定是合数同余的基本性质包括（）A.自反性B.对称性C.传递性D.可加性欧拉函数φn的性质有（）A.若p为素数，则φp=p-1B.若n=ab且a,b互素，则φn=φaφb C.φ1=1D.φnn中国剩余定理的应用条件包括（）A.模数两两互素B.模数可以互素C.模数必须为素数D.对任意整数b1,b2,…,bk有解二次剩余的性质有（）A.模素数p的二次剩余有p-1/2个B.模4的二次剩余为0,1C.2是模5的二次剩余D.二次剩余的乘积仍是二次剩余整除的性质有（）A.若a|b且b|c，则a|c B.若a|b且a|c，则a|b+c C.若a|b且c为整数，则a|bc D.若a|b且b|a，则a=b数论函数中，属于积性函数的有（）A.gcdn B.φn C.dn D.lcmn模m的完全剩余系的特点有（）A.包含m个整数B.模m两两不同余C.任意m个连续整数构成完全剩余系D.与模m互素的数构成完全剩余系同余方程ax≡b modm有解的充要条件是（）A.gcda,m|b B.gcda,m=1C.m|b D.以上均不对第4页共7页素数分布的基本结论有（）A.素数有无穷多个B.素数越往后越稀疏C.存在任意长度的素数区间D.素数定理描述了πn的渐近性质下列等式中，正确的有（）A.gcda,b=gcdb,a modb B.lcma,b=ab/gcda,b C.gcda,b=gcda+b,b D.lcma,b=lcma,b,a+b100以内的合数有（）A.4B.6C.9D.100模m的简化剩余系的性质有（）A.包含φm个整数B.均与m互素C.任意两个数模m不同余D.可以由1,2,…,m-1中与m互素的数构成最大公约数的求法有（）A.辗转相除法B.分解质因数法C.定义法D.公式法下列数中，是模7的二次剩余的有（）A.1B.2C.4D.5同余方程组x≡1mod2，x≡2mod3的解为（）A.x=5B.x=11C.x=17D.x=232的倍数的特征是（）A.个位数字为偶数B.各位数字之和为偶数C.能被2整除D.是合数数论中的“算术基本定理”的内容包括（）A.任何正整数都可以唯一分解为素数乘积B.素数分解式中素数的顺序无关C.分解式中的素数指数唯一确定D.1的分解式为1下列关于费马小定理的表述，正确的有（）第5页共7页A.若p为素数，a不被p整除，则a^p-1≡1mod pB.费马小定理是素数判定的重要工具C.费马小定理的逆命题成立D.费马小定理可用于简化同余计算

（三）判断题（共20题，每题1分）1是素数（）若a|b，则a≤b（）gcd0,0无定义（）模m的完全剩余系中，任意两个数的差一定能被m整除（）同余方程x^2≡2mod4无解（）欧拉函数φp=p-1对所有素数p成立（）中国剩余定理只能求解模数互素的同余方程组（）2是唯一的偶素数（）若a≡b modm，则a^k≡b^k modm对任意k∈N成立（）100的标准分解式为2^2×5^2（）模5的二次剩余有1,2,3,4（）素数定理表明πn≈n/ln n，n越大越接近（）若a,b,c为整数，且c0，则a≡b modc等价于c|a-b（）1+2+3+…+n=nn+1/2是高斯发现的公式（）若p为素数且p|ab，则p|a或p|b（）模m的简化剩余系中，数的个数为m（）3x≡6mod9有唯一解x=2（）费马小定理是欧拉定理的特殊情况（）100以内的素数有25个（）若n为素数，则dn=2（）

（四）简答题（共2题，每题5分）第6页共7页证明若p为素数，a,b为整数，则p|ab时必有p|a或p|b计算lcm12,18,24，并说明计算过程

三、参考答案

（一）单项选择题（每题1分，共30分）1-5AABAB6-10CDBBA11-15BABAA16-20DCDDA21-25AACBA26-30BAABA

（二）多项选择题（每题2分，共40分）

1.ABD

2.ABC

3.ABCD

4.ABC

5.AD

6.AB

7.ABCD

8.BC

9.ABC

10.A

11.ABD

12.ABC

13.ABCD

14.ABD

15.ABC

16.AC

17.ABCD

18.AC

19.ABCD

20.ABD

（三）判断题（每题1分，共20分）

1.×

2.×

3.√

4.√

5.×

6.√

7.√

8.√

9.√

10.√

11.×

12.√

13.√

14.√

15.√

16.×

17.×

18.√

19.×

20.√

（四）简答题（每题5分，共10分）证明假设p|ab且p不整除a，则由互素性质知gcdp,a=1（因p为素数且不整除a），故存在整数x,y使得px+ay=1，两边乘b得pxb+aby=b，因p|ab，故p|aby，又p|pxb，p|b，矛盾故p|a或p|b（5分）解先求gcd12,18=6，再求lcm6,24=24，故lcm12,18,24=24（5分）注本试题及答案基于初等数论基础知识点设计，可根据实际需求调整难度与范围第7页共7页。