同构问题试题及答案

同构问题试题及答案

一、同构问题概述同构问题是数学中通过构造辅助函数，利用函数单调性、奇偶性、极值等性质解决方程、不等式或函数值比较的一类典型问题其核心在于通过代数变形（如指数化、对数化、加减常数、换元等），将原问题转化为“fx=fgx”的形式，从而利用函数的单调性或对称性简化问题常见类型包括函数同构、方程同构、不等式同构等，是高考、竞赛及大学数学中的高频考点

二、试题部分

（一）单项选择题（共30题，每题1分）设函数fx=e^x-x-1，若关于x的方程fx=k有两个不同的实根x_1,x_2，则（）A.x_1+x_22B.x_1+x_22C.x_1x_21D.x_1x_21已知a=2^{

1.1}，b=e^{

0.1}，c=\ln3，则（）A.abc B.bac C.acb D.bca方程x^2e^x=e^x+x-1的实根个数为（）A.0B.1C.2D.3若不等式e^x-1x\ln x对x0恒成立，则x的取值范围是（）A.0,1B.1,+\infty C.0,+\infty D.无解函数fx=x\ln x-x的最小值为（）A.-1B.0C.1D.e设x_1,x_2是方程e^x=2x+1的两个根，则（）第1页共10页A.x_1+x_2=2B.x_1x_2=1C.x_10x_2D.x_1x_2不等式\frac{e^x}{x}x对x0的解集为（）A.1,+\infty B.0,1C.0,+\infty D.-\infty,0\cup1,+\infty函数fx=e^x-x-2的零点所在区间为（）A.0,1B.1,2C.2,3D.3,4若ab0，则（）A.ae^bbe^a B.ae^bbe^a C.ae^b=be^a D.无法比较方程x^3-e^x=0的实根个数为（）A.0B.1C.2D.3已知fx=e^x-x，若fa=fb且ab，则（）A.a+b0B.a+b0C.a-b0D.a-b0不等式x^2e^xe^x+x-1的解集为（）A.-\infty,1B.1,+\infty C.0,1D.-\infty,0\cup1,+\infty函数fx=x-\ln x的单调递增区间为（）A.0,1B.1,+\infty C.-\infty,1D.-\infty,0\cup1,+\infty设a=3^{

0.2}，b=2^{

0.3}，c=\ln4，则（）A.abc B.bac C.acb D.bca方程e^x=x+2的实根个数为（）A.0B.1C.2D.3若不等式e^x-1x对x0恒成立，则x的取值范围是（）第2页共10页A.0,+\infty B.1,+\infty C.0,1D.无解函数fx=x^2-e^x的极大值点为（）A.x=0B.x=1C.x=2D.不存在设x_1,x_2是方程e^x=x+1的两个根，则（）A.x_1=x_2=0B.x_1=0，x_2=1C.x_10x_2D.x_1x_2不等式\frac{e^x}{x}x对x0的解集为（）A.0,1B.1,+\infty C.0,+\infty D.-\infty,0\cup1,+\infty函数fx=e^x-x-1的最小值为（）A.-1B.0C.1D.e若a=2\ln2，b=e^{\ln3}-1，c=3-e，则（）A.abc B.bac C.acb D.bca方程x^2-e^x=0的实根个数为（）A.0B.1C.2D.3已知fx=e^x-x，若fa=fb且ab，则（）A.a+b0B.a+b0C.a-b0D.a-b0不等式x^3e^xe^x+x^2-1的解集为（）A.-\infty,1B.1,+\infty C.0,1D.-\infty,0\cup1,+\infty函数fx=x\ln x-x的零点为（）A.x=0B.x=1C.x=e D.无零点设a=e^{

0.1}，b=

1.1，c=\ln

1.1则（）A.abc B.bac C.acb D.bca方程e^x=x^2的实根个数为（）第3页共10页A.0B.1C.2D.3若不等式e^x-1x对x0恒成立，则x的取值范围是（）A.0,+\infty B.1,+\infty C.0,1D.无解函数fx=e^x-x-2的零点所在区间为（）A.0,1B.1,2C.2,3D.3,4设x_1,x_2是方程e^x=2x+1的两个根，则（）A.x_1+x_2=2B.x_1x_2=1C.x_10x_2D.x_1x_2

（二）多项选择题（共20题，每题2分）下列可通过同构法解决的问题有（）A.比较e^{2x}与2e^x的大小B.解方程x^2e^x=e^x+1C.解不等式e^xx+1D.判断函数fx=e^x-x的单调性构造辅助函数fx=e^x-x解决的问题有（）A.比较e^{a}与a+1的大小B.解方程e^x=x+1C.求函数fx=e^x-x的极值D.判断方程e^x=x+1的根的个数同构法的核心步骤包括（）A.代数变形构造辅助函数B.分析辅助函数的单调性C.利用函数性质简化问题D.直接代入数值求解下列不等式可通过同构法转化为fxfgx的有（）A.x^2e^xe^x+x-1B.\frac{e^x}{x}x（x0）C.e^x-1x\ln x D.x^3e^xe^x+x^2-1关于函数fx=e^x-x的性质，下列说法正确的有（）A.极小值为0B.在-\infty,0上单调递减C.在0,+\infty上单调递增D.无零点第4页共10页方程e^x=x+2的实根满足的条件有（）A.一个正根，一个负根B.两个正根C.两个负根D.无实根利用同构法解不等式x^2e^xe^x+x-1时，可构造的辅助函数有（）A.fx=e^x-x B.fx=e^x-1C.fx=x^2e^x-e^x D.fx=e^x-x-1下列函数中，可通过同构转化为fx=fgx形式解决的有（）A.fx=e^x-x B.fx=x\ln x-xC.fx=x^2-e^xD.fx=e^x-x^2同构问题中，常见的代数变形手段有（）A.指数化B.对数化C.加减常数D.换元不等式e^xx+1对x0恒成立的证明中，可构造的辅助函数及结论正确的有（）A.构造fx=e^x-x-1，在0,+\infty单调递增，f0=0，得证B.构造fx=e^x-1，在0,+\infty单调递增，fx f0=0C.构造fx=e^x-x，在-\infty,0递减，0,+\infty递增，极小值f0=0D.构造fx=x-\ln x，在0,+\infty递减，极小值f1=1方程x^2e^x=e^x+1的实根个数及性质正确的有（）A.1个实根B.2个实根C.一个正根，一个负根D.无实根设ab0，利用同构法比较ae^b与be^a的大小，正确的步骤有（）第5页共10页A.构造fx=\frac{e^x}{x}B.分析fx在0,+\infty的单调性C.因ab，得fafb，即\frac{e^a}{a}\frac{e^b}{b}，整理得ae^bbe^aD.因ab，得fafb，即\frac{e^a}{a}\frac{e^b}{b}，整理得ae^bbe^a函数fx=x\ln x-x的性质有（）A.极小值为-1B.在0,1单调递减，1,+\infty单调递增C.零点为x=1D.无零点下列同构问题中，可通过构造fx=e^x-x解决的有（）A.比较e^{2}与2+1的大小B.解方程e^x=x+1C.证明不等式e^x-1x（x0）D.判断函数fx=e^x-x的奇偶性方程e^x=x^2的实根满足（）A.一个正根B.两个正根C.一个负根D.无实根在同构法中，利用函数单调性时，需注意的条件有（）A.辅助函数在指定区间单调B.比较的两个量需在单调区间内C.构造的函数需满足fx_1=fx_2D.需明确函数的定义域不等式\frac{e^x}{x}x（x0）的解集为1,+\infty，其构造辅助函数及步骤正确的有（）A.构造fx=\frac{e^x}{x^2}B.分析fx在0,+\infty的单调性C.当x1时，fxf1=e，即\frac{e^x}{x^2}e，整理得\frac{e^x}{x}x第6页共10页D.当0x1时，fxf1=e，即\frac{e^x}{x^2}e，整理得\frac{e^x}{x}x函数fx=e^x-x-2的零点所在区间及性质正确的有（）A.零点在1,2内B.零点在2,3内C.在0,1上单调递减D.在1,+\infty上单调递增同构问题中，常见的“同构模型”有（）A.e^x+x=e^y+y B.x+\ln x=y+\ln yC.e^x-x=e^y-y D.x-\ln x=y-\ln y不等式e^xx\ln x+1（x0）的证明中，可采用的同构构造方法有（）A.构造fx=e^x-x-1，利用单调性B.构造fx=e^x-\lnx-1，求导分析C.构造fx=x\ln x-x，求导分析极小值D.构造fx=e^x-x，比较函数值

（三）判断题（共20题，每题1分）同构问题的核心是构造辅助函数，利用函数性质简化问题（）方程e^x=x+1只有一个实根x=0（）不等式e^xx+1对x0恒成立（）函数fx=e^x-x在-\infty,0单调递增（）同构法中，构造的辅助函数必须是单调函数（）方程x^2e^x=e^x+1有两个实根（）不等式\frac{e^x}{x}x（x0）的解集为1,+\infty（）函数fx=x\ln x-x的极小值为-1（）同构问题中，只能通过指数化构造辅助函数（）第7页共10页不等式e^x-x-10对x0恒成立时，fx=e^x-x-1在0,+\infty单调递增（）方程e^x=x^2有两个正实根（）函数fx=e^x-x-2的零点在区间1,2内（）比较e^{2x}与2e^x的大小，可构造辅助函数fx=e^x-x（）同构法解决问题时，必须先求导分析函数单调性（）不等式e^xx\ln x+1（x0）的解集为0,+\infty（）函数fx=x-\ln x在0,1单调递增（）方程e^x=x+2有两个实根（）同构问题中，“fx=fgx”形式的构造是关键（）不等式x^2e^xe^x+x-1的解集为1,+\infty（）函数fx=e^x-x的最小值为0（）

（四）简答题（共2题，每题5分）简述利用同构法解决不等式x^2e^xe^x+x-1（x0）的步骤构造辅助函数并利用其单调性，证明当x0时，e^xx+1

三、参考答案

（一）单项选择题1-5:B A B B A6-10:A A B B B11-15:BBBA B16-20:ABA AB21-25:B CABB第8页共10页26-30:A DABA

（二）多项选择题ABCDABCDABCABCDBCAACABABCDACACABABABCBCABDABCDADABCDAB

（三）判断题×（还有x=0）×（单调递减）第9页共10页×（一个实根）×（多种变形方式）×（一个正根，一个负根）×（部分问题可直接利用单调性定义）×（单调递减）

（四）简答题步骤

①移项得x^2e^x-e^x-x+10，即e^xx^2-1-x-10；

②因式分解得x-1e^xx+1-10；

③构造辅助函数fx=e^xx+1-1，在0,+\infty单调递增，f0=0，故fx0；

④不等式等价于x-10，即x1，解集为1,+\infty证明构造辅助函数fx=e^x-x-1，求导得fx=e^x-1；当x0时，fx0，故fx在0,+\infty单调递增；又f0=e^0-0-1=0，fxf0=0，即e^xx+1成立文档说明本试题涵盖同构问题常见类型，难度适中，适合高中及大学数学学习参考答案解析简洁，可帮助快速掌握同构法的构造与应用技巧第10页共10页。