微积分i试题及答案

微积分i试题及答案

一、单项选择题（共30题，每题1分，共30分）（在每题列出的四个选项中，只有一个最符合题目要求，请将正确选项的字母填在括号内）函数fx=\frac{1}{\lnx-1}+\sqrt{4-x}的定义域是（）A.1,4]B.1,2\cup2,4]C.1,4D.[1,4]当x\to0时，与x等价的无穷小量是（）A.\sin xB.\tan x-xC.\sqrt{1+x}-1D.1-\cos x函数fx在x_0处连续是fx在x_0处可导的（）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分也非必要条件极限\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=（）A.0B.\frac{1}{2}C.1D.不存在函数fx=x^3-3x的单调递减区间是（）A.-\infty,-1\cup1,+\inftyB.-1,1C.-\infty,1D.1,+\infty设y=\ln1+x^2，则y=（）A.\frac{21-x^2}{1+x^2^2}B.\frac{21+x^2}{1+x^2^2}C.\frac{2x}{1+x^2}D.\frac{2}{1+x^2}函数fx在闭区间[a,b]上连续是fx在[a,b]上可积的（）第1页共9页A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分也非必要条件定积分\int_0^1x^2dx=（）A.\frac{1}{3}B.\frac{1}{2}C.1D.3反常积分\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx=（）A.0B.1C.2D.发散设fx的一个原函数是x^2，则\int fx dx=（）A.x^2+CB.2x+CC.x^3+CD.2x^2+C函数fx=x e^x的极小值点是（）A.x=-1B.x=0C.x=1D.x=e极限\lim_{x\to\infty}\left1+\frac{2}{x}\right^x=（）A.0B.1C.eD.e^2若fx=\ln1-x，则f0=（）A.-6B.-2C.2D.6函数fx=\frac{x^2-1}{x-1}在x=1处（）A.连续B.有可去间断点C.有无穷间断点D.有跳跃间断点设y=x^3，则当x=1，\Delta x=

0.1时，微分dy=（）A.

0.3B.

0.31C.

0.305D.

0.33定积分\int_{-1}^1x^3dx=（）A.-2B.0C.2D.4设Fx=\int_0^x\sin tdt，则Fx=（）A.\sin xB.\cos xC.-\sin xD.-\cos x第2页共9页函数fx=x+\frac{1}{x}在区间0,+\infty上的最小值是（）A.1B.2C.\sqrt{2}D.不存在极限\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}=（）A.0B.\frac{1}{6}C.-\frac{1}{6}D.不存在若fx=\begin{cases}x,x\geq0\-x,x0\end{cases}，则fx在x=0处（）A.导数为1B.导数为-1C.导数不存在D.连续但不可导设y=\arctan x，则dy=（）A.\frac{1}{1+x^2}dxB.\frac{1}{1-x^2}dxC.1+x^2dxD.1-x^2dx定积分\int_0^\pi\sin x dx=（）A.0B.1C.2D.π函数fx=\frac{1}{x}在区间[1,2]上的平均值是（）A.\ln2B.\ln\frac{1}{2}C.2D.\frac{1}{2}若\int fx dx=x^2+C，则fx=（）A.2xB.x^2C.2x+CD.x+C设fx=x^2，则由曲线fx，x轴及x=1所围图形绕x轴旋转一周的体积是（）A.\frac{\pi}{3}B.\frac{\pi}{2}C.πD.2\pi极限\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}}{x}=（）A.0B.1C.2D.不存在函数fx=\frac{x^2-4}{x-2}在x=2处的可去间断点的类型是（）A.第一类B.第二类C.第三类D.无法判断第3页共9页设y=x\ln x，则y=（）A.\frac{1}{x}B.\ln x+1C.-\frac{1}{x^2}D.\frac{1}{x}+\ln x定积分\int_1^e\frac{1}{x}dx=（）A.0B.1C.e D.e-1反常积分\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx=（）A.0B.1C.2D.发散

二、多项选择题（共20题，每题2分，共40分）（在每题列出的五个选项中，至少有两个符合题目要求，请将正确选项的字母填在括号内，多选、少选、错选均不得分）下列函数中，在x=0处连续的有（）A.fx=\frac{\sin x}{x}（x\neq0），f0=1B.fx=x^2+1C.fx=\begin{cases}x,x\neq0\1,x=0\end{cases}D.fx=\frac{1}{x}（x\neq0），f0=0E.fx=|x|下列极限存在的有（）A.\lim_{x\to0}\frac{1}{2^x-1}B.\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\sin x C.\lim_{x\to0}\frac{x^2+1}{x}D.\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}E.\lim_{x\to+\infty}\left1+\frac{1}{x}\right^x下列函数在x=0处可导的有（）A.fx=|x|B.fx=x^2第4页共9页C.fx=\sin xD.fx=\begin{cases}x,x\geq0\-x,x0\end{cases}E.fx=\ln1+x下列导数计算正确的有（）A.\sin x=\cos xB.\cos x=\sin xC.e^x=e^xD.\ln x=\frac{1}{x}E.x^n=n x^{n-1}下列函数的单调递增区间是0,+\infty的有（）A.fx=x^2B.fx=e^xC.fx=\ln xD.fx=x-\ln x E.fx=x^3下列定积分计算正确的有（）A.\int_0^1x dx=\frac{1}{2}B.\int_0^\pi\cos xdx=0C.\int_1^e\frac{1}{x}dx=1D.\int_0^1x^2dx=\frac{1}{3}E.\int_{-1}^1x^3dx=0下列反常积分收敛的有（）A.\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}dxB.\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}dx C.\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dxD.\int_0^1\frac{1}{1-x}dx E.\int_1^{+\infty}e^{-x}dx下列微分方程中，通解为y=C_1e^x+C_2e^{-x}的有（）A.y-y=0B.y+y=0第5页共9页C.y-y=0D.y+2y+y=0E.y-2y+y=0下列关于函数极值的说法正确的有（）A.导数为0的点一定是极值点B.导数不存在的点可能是极值点C.函数的极大值不一定大于极小值D.函数在闭区间上的最大值一定是极值点或端点函数值E.函数在开区间内的极值点一定是导数为0的点下列定积分的值为0的有（）A.\int_{-a}^a fx dx，其中fx为奇函数B.\int_0^1x^3-1dx C.\int_{-\pi}^\pi\sin xdx D.\int_0^\pi\cos xdx E.\int_{-1}^1x^2dx下列函数中，以2π为周期的有（）A.\sin xB.\cos xC.\sin2xD.\cos3xE.\sin x+\cos x下列极限计算正确的有（）A.\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1B.\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1C.\lim_{x\to\infty}\left1+\frac{1}{x}\right^x=e D.\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}E.\lim_{x\to0}\frac{\ln1+x}{x}=1下列关于导数应用的说法正确的有（）A.函数单调递增时，导数一定为正第6页共9页B.函数二阶导数大于0时，函数图像为凹的C.函数的拐点处二阶导数为0或不存在D.函数在区间[a,b]上连续，则一定存在最大值和最小值E.函数在区间a,b内可导且单调递减，则导数一定小于0下列定积分中，积分值与变量t无关的有（）A.\int_0^1x+t dxB.\int_0^t x^2dx C.\int_t^{t+1}xdxD.\int_0^1fx+t dx（f为连续函数）E.\int_1^2fx dx下列关于原函数的说法正确的有（）A.连续函数一定有原函数B.奇函数的原函数是偶函数C.周期函数的原函数不是周期函数D.若Fx是fx的原函数，则Fx+C也是fx的原函数E.原函数存在的充分条件是函数连续下列微分方程中，一阶微分方程有（）A.y=2xB.y+y=0C.y=\sin x+yD.y=x y+1E.y=y^2下列函数中，在x=0处可导且导数为0的有（）A.fx=x^2B.fx=\sin xC.fx=|x|D.fx=e^x-1E.fx=\cos x下列关于定积分几何意义的说法正确的有（）第7页共9页A.\int_a^b fxdx表示曲线y=fx，x=a，x=b，x轴所围图形的面积代数和B.当fx\geq0时，\int_a^b fxdx等于曲线下方与x轴上方图形的面积C.当fx0时，\int_a^b fxdx等于曲线上方与x轴下方图形的面积D.定积分的值与积分变量的符号无关E.定积分的几何意义与被积函数的奇偶性有关下列极限中，属于“\frac{0}{0}”型的有（）A.\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}B.\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}C.\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}D.\lim_{x\to0}\frac{\ln1+x}{x}E.\lim_{x\to0}\frac{x^2-4}{x-2}下列关于反常积分的说法正确的有（）A.反常积分收敛的充要条件是其极限存在B.\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx收敛当且仅当p1C.若\int_a^{+\infty}fxdx和\int_a^{+\infty}gxdx都收敛，则\int_a^{+\infty}fx+gx dx收敛D.若\int_a^{+\infty}fxdx发散，则\int_a^{+\infty}fx+gx dx一定发散E.反常积分\int_0^1\frac{1}{x}dx发散

三、判断题（共20题，每题1分，共20分）（对的打“√”，错的打“×”）函数fx=\frac{x^2-1}{x-1}在x=1处连续（）第8页共9页当x\to0时，x^2是比x高阶的无穷小量（）函数fx在x_0处可导，则一定在x_0处连续（）\lim_{x\to\infty}\frac{x+1}{x-1}=1（）函数fx=x^2在区间[-1,1]上的最大值是1（）若fx是gx的原函数，则\int fxdx=gx+C（）定积分\int_a^b fxdx的值与积分变量的符号无关（）反常积分\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx收敛（）函数fx=\ln x在x=1处的导数是1（）函数fx=x^3的二阶导数f0=0（）若fx在区间a,b内单调递增，则fx0对所有x\in a,b成立（）极限\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=2（）函数fx=|x|在x=0处导数不存在（）定积分\int_0^\pi\sin xdx=0（）函数fx=\frac{1}{x}在区间0,+\infty上单调递减（）若Fx=\int_0^x t^2dt，则Fx=x^2（）函数fx=x e^x的导数是e^x+x e^x（）定积分\int_1^2xdx=\frac{3}{2}（）反常积分\int_1^{+\infty}e^{-x}dx=1（第9页共9页。