清华数学系博士考试题和答案

清华数学系博士考试题和答案

一、选择题（本题型共10题，每题3分，共30分）

1.设函数\fx\在区间\[a,b]\上连续，且对任意\x\in[a,b]\，\fx\neq0\若\\int_{a}^{b}fxdx=0\，则以下说法正确的是（）A.\fx\在\[a,b]\上恒非负B.\fx\在\[a,b]\上恒非正C.\fx\在\[a,b]\上不恒为正也不恒为负D.\fx\在\[a,b]\上存在零点

2.下列极限中，收敛的是（）A.\\lim_{n\to\infty}\left1+\frac{1}{n}\right^{n+1}\B.\\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+1}{n+1}\C.\\lim_{n\to\infty}-1^n n\D.\\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\

3.设\fx\在\x=0\处可导，且\f0=0\，\f0=1\，则\\lim_{x\to0}\frac{fx}{x}=\（）A.0B.1C.2D.不存在

4.线性空间\V\的维数是（）A.任意正整数B.唯一确定的非负整数C.只能是有限正整数D.以上都不对

5.矩阵\A=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}\的特征值为（）A.1,4B.2,3C.-1,5D.无法确定第1页共11页

6.设\fx\是周期为\2\pi\的连续周期函数，其傅里叶级数的部分和\S_nx\，则以下说法正确的是（）A.\S_nx\一定收敛到\fx\B.\S_nx\的和函数是\fx\的周期延拓C.\S_nx\在\[0,2\pi]\上一致收敛到\fx\D.以上都不对

7.设\A,B\为\n\阶矩阵，且\AB=BA\，则以下结论错误的是（）A.\A,B\可交换幂等矩阵B.\A,B\有公共的特征向量C.\A+B\的心特征值是\A\的特征值与\B\的特征值之和D.若\A\可逆，则\A^{-1}B=BA^{-1}\

8.设\fx\在\[0,1]\上二阶可导，\fx\geq0\，则以下积分大小关系正确的是（）A.\\int_{0}^{1}fxdx\geq f\left\frac{1}{2}\right\B.\\int_{0}^{1}fxdx\leq f\left\frac{1}{2}\right\C.\\int_{0}^{1}fxdx=f\left\frac{1}{2}\right\D.无法确定

9.设\X\是\n\维欧氏空间，\\alpha,\beta\in X\，\\alpha\neq0\，若\\alpha\perp\beta\，则以下成立的是（）A.\\\alpha+\beta\^2=\\alpha\第2页共11页^2+\\beta\^2\B.\\\alpha-\beta\^2=\\alpha\^2-\\beta\^2\C.\\alpha\cdot\beta=\\alpha\^2\\beta\^2\D.\\alpha\与\\beta\的夹角为\\frac{\pi}{3}\

10.设\\{a_n\}\是正项级数，若\\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=r\，则以下说法正确的是（）A.当\r1\时，级数收敛B.当\r1\时，级数收敛C.当\r=1\时，级数收敛D.当\r=0\时，级数发散

二、填空题（本题型共15题，每题2分，共30分）

1.设\\lim_{x\to0}1+kx^{\frac{1}{x}}=e^3\，则\k=\______

2.函数\fx=x^2e^x\的\n\阶导数\f^{n}0=\______

3.线性方程组\Ax=b\有解的充要条件是______第3页共11页

4.矩阵\A=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}\的秩\rA=\______

5.设\D\是由\y=x,y=0,x=1\围成的闭区域，则\\iint_D xydxdy=\______

6.若\n\阶矩阵\A\满足\A^2=A\，则称\A\为______矩阵

7.设\\{a_n\}\是等比数列，\a_1=1\，公比\q=2\，则前\n\项和\S_n=\______

8.向量\\alpha=1,2,3\，\\beta=4,5,6\，则\\alpha\与\\beta\的内积\\alpha\cdot\beta=\______

9.设\fx\是\[0,2\pi]\上的连续函数，其傅里叶系数\a_0=\______，\a_n=\______

10.设\fx=x^3+2x^2+3x+4\，则\fx\在\x=1\处的切线方程为______

11.若\fx\在\[0,1]\上连续，则\\int_{0}^{1}fxdx+\int_{1}^{0}f1-xdx=\______

12.设\A\是\n\阶实对称矩阵，则\A\必可对角化，且存在正交矩阵\P\，使得\P^{-1}AP=\______

13.设\\{a_n\}\是发散级数，\\{b_n\}\是收敛级数，则级数\\{a_n+b_n\}\是______级数

14.设\X\是度量空间，\d\是度量，则\dx,y\满足的条件是______，______，______第4页共11页

15.设\fx\在\[a,b]\上可积，且\\int_{a}^{b}fxdx=0\，若\fx\在\[a,b]\上连续，则\fx\在\[a,b]\上______（填“恒为0”或“不恒为0”）

三、计算题（本题型共10题，每题5分，共50分）

1.计算极限\\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}\

2.计算定积分\\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^2}dx\

3.求矩阵\A=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}\的逆矩阵

4.计算\n\阶行列式\D_n=\begin{vmatrix}11\cdots1\\12\cdots2\\\vdots\vdots\ddots\vdots\\1n\cdotsn\end{vmatrix}\（其中第\i\行第\j\列元素为\i-1+j\）

5.求微分方程\y-3y+2y=0\的通解

6.计算二重积分\\iint_D e^{x+y}dxdy\，其中\D\是由\x=0,y=0,x+y=1\围成的区域

7.设\\alpha=1,2,3\，\\beta=4,5,6\，求向量\\alpha\在\\beta\上的投影向量

8.求幂级数\\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\的收敛域

9.计算\n\阶矩阵\A=\begin{bmatrix}11\cdots1\\11\cdots1\\\vdots\vdots\ddots\vdots\\11\cdots1\end{bmatrix}\的特征值

10.设\fx=x^2\，将其在\[0,\pi]\上展开成正弦级数

四、证明题（本题型共10题，每题8分，共80分）第5页共11页

1.证明若\fx\在\[a,b]\上连续，且对任意\c\in[a,b]\，\fc\leq0\，则\fx\在\[a,b]\上恒小于等于

02.证明\n\阶矩阵\A\的秩\rA=1\的充要条件是\A\可表示为\A=\alpha\beta^T\，其中\\alpha,\beta\是\n\维非零列向量

3.证明若\fx\在\[a,b]\上可导，且\fx\leq0\，则\fx\在\[a,b]\上单调递减

4.证明柯西-施瓦茨不等式\\left\int_{a}^{b}fxgxdx\right^2\leq\left\int_{a}^{b}f^2xdx\right\left\int_{a}^{b}g^2xdx\right\，其中\f,g\在\[a,b]\上连续

5.证明\n\维线性空间\V\的任意两个基的元素个数相等

6.证明若\A\是\n\阶正定矩阵，则\A\的所有特征值均为正实数

7.证明若\fx\在\[0,1]\上有连续导数，且\f0=0\，则\\int_{0}^{1}f^2xdx\leq\frac{1}{2}\int_{0}^{1}fx^2dx\

8.证明设\fx\是\[0,2\pi]\上的连续周期函数，其傅里叶级数部分和\S_nx=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}ftD_nx-t dt\，其中\D_nx\是Dirichlet核

9.证明若\A,B\是\n\阶矩阵，且\AB=BA\，则\A,B\可交换幂等矩阵当且仅当\A,B\均为幂等矩阵且\AB=BA\第6页共11页

10.证明设\fx\在\[0,1]\上几乎处处可导，则\fx\在\[0,1]\上有界变差

五、综合应用题（本题型共5题，每题10分，共50分）

1.设\fx\在\[0,1]\上二阶可导，且\f0=f1=0\，\f0=1\，\f1=-1\，证明存在\\xi\in0,1\，使得\f\xi=\pm12\

2.设\A\是\n\阶实反对称矩阵（即\A^T=-A\），证明\A\的特征值为0或纯虚数，且0的特征子空间的维数等于\A\的秩

3.设\fx\是周期为\2\pi\的连续奇函数，证明其傅里叶系数\a_n=0\，\n=0,1,2,\ldots\

4.设\X\是\n\维内积空间，\\alpha,\beta\in X\，证明对任意\\lambda\in\mathbb{R}\，\\\alpha+\lambda\beta\^2=\\alpha\^2+\lambda^2\\beta\^2+2\lambda\alpha\cdot\beta\，且当且仅当\\lambda=-\frac{\alpha\cdot\beta}{\\beta\^2}\时，\\\alpha+\lambda\beta\^2\取最小值第7页共11页

5.设\fx\在\[0,\infty\上连续，且\\int_{0}^{\infty}ft dt\收敛，证明\\lim_{x\to\infty}\int_{0}^{\infty}ft e^{-xt}dt=0\答案汇总

一、选择题

1.C

2.A

3.B

4.B

5.C

6.D

7.A

8.A

9.A

10.A

二、填空题

1.

32.\2n\

3.\A\的秩等于增广矩阵的秩

4.

25.\\frac{1}{8}\

6.幂等

7.\2^n-1\

8.

329.\\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}ft dt\；\\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}ft\cos nt dt\

10.\y=11x-6\

11.\2\int_{0}^{1}fx dx\

12.\\Lambda\（对角矩阵，对角线元素为特征值）

13.发散

14.非负性；对称性；三角不等式

15.恒为0

三、计算题

1.\\frac{1}{2}\

2.\\frac{1}{3}\

3.\\begin{bmatrix}-21\\\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\end{bmatrix}\

4.\\frac{1}{2}n-1!n\

5.\y=C_1e^x+C_2e^{2x}\

6.\\frac{e-1^2}{2}\

7.\\frac{29}{77}4,5,6\

8.\-\infty,+\infty\

9.\n\个特征值\n,0,0,\ldots,0\

10.\\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2-1^{n+1}n}{\pi}\sinnx\

四、证明题第8页共11页

1.反证法，假设存在\c\in[a,b]\使\fc0\，由连续性知存在\c\的邻域使\fx0\，积分大于0矛盾，故恒≤

02.必要性\rA=1\，列向量线性相关，\A=\alpha\beta^T\；充分性\A^2=\alpha\beta^T\alpha\beta^T\，\rA=1\

3.由导数定义，\fx=\lim_{h\to0}\frac{fx+h-fx}{h}\leq0\，故单调递减

4.\\int_{a}^{b}f+\lambda g^2dx\geq0\，判别式\4\int fg^2-4\int f^2\int g^2\leq0\

5.基的定义，反证法，若两个基元素个数不同，推出矛盾（维数定义）

6.正定矩阵\A=Q\Lambda Q^T\，\x^T Ax=\lambda x^Tx0\，故特征值\\lambda0\

7.由柯西不等式\\int f^2\int1^2\geq\int f^2\，结合分部积分\\int f^2=2\int ff\

8.Dirichlet核定义\D_nx=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\cos kx\，\S_nx=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}ftD_nx-tdt\

9.必要性\A^2=A\，\B^2=B\，\AB=BA\；充分性\A^2=A\，\B^2=B\，\AB=BA\

10.有界变差函数的性质可表示为两个增函数之差，几乎处处可导定理

五、综合应用题第9页共11页

1.构造辅助函数\Fx=fx-\frac{1}{6}xx-1\，\F0=F1=0\，由罗尔定理及泰勒展开得证

2.特征方程\\det\lambda E-A=0\，\A^T=-A\推出\\lambda^n=-\lambda^n\，n奇时\\lambda=0\，n偶时\\lambda=\pm i\mu\，0的特征子空间维数为\n-rA\

3.奇函数\f-t=-ft\，\a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}ft\cos ntdt=-\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}ft\cos ntdt=-a_n\，故\a_n=0\

4.展开\\\alpha+\lambda\beta\^2=\alpha+\lambda\beta\cdot\alpha+\lambda\beta=\\alpha\^2+\lambda^2\\beta\^2+2\lambda\alpha\cdot\beta\，求导得极值点\\lambda=-\frac{\alpha\cdot\beta}{\\beta\^2}\

5.由积分收敛定义，对\\forall\epsilon0\，\\existsM0\，\tM\时\ft\epsilon\，积分估计\\int_{0}^{\infty}ft e^{-xt}dt第10页共11页\leq\int_{0}^{M}fte^{-xt}dt+\int_{M}^{\infty}\epsilon e^{-xt}dt\to0\当\x\to\infty\第11页共11页。