20届华杯赛试题及答案

20届华杯赛试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.一个三角形的三个内角分别为30°，60°和90°，这个三角形是（）（2分）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.不规则三角形【答案】C【解析】三角形内角和为180°，其中有一个角是90°，所以是直角三角形

2.某数的10倍加上12等于它本身的100倍减去108，这个数是（）（2分）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】设这个数为x，列方程10x+12=100x-108，解得x=

43.在一个周长为20厘米的圆中，内接正方形的面积是（）（2分）A.25πB.50πC.100πD.无法计算【答案】A【解析】圆的半径为10/π厘米，正方形对角线为圆的直径20/π厘米，面积是20/π÷√2²×2=25π平方厘米

4.将一个棱长为3的正方体切成27个小正方体，其中一面是红色的有（）个（2分）A.8B.12C.18D.24【答案】C【解析】一面是红色的小正方体位于大正方体的六个面上，每个面有3×3=9个，但边缘重复计算，实际是6×9-12=42-12=30个

5.从一副扑克牌中（除去大小王）随机抽取一张，抽到红桃的概率是（）（2分）A.1/4B.1/2C.1/13D.13/52【答案】A【解析】红桃有13张，扑克牌共52张，概率为13/52=1/

46.一个数除以3余1，除以5余2，除以7余3，这个数最小是（）（2分）A.47B.52C.53D.58【答案】C【解析】同余方程组x≡1mod3，x≡2mod5，x≡3mod7，最小公倍数为105，解得x=

537.一个圆柱的底面半径和高都扩大到原来的2倍，它的体积扩大到原来的（）（2分）A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍【答案】D【解析】体积公式V=πr²h，扩大后V=π2r²2h=8πr²h=8V

8.把一根绳子对折3次后，平均分成5段，每段是这根绳子的（）（2分）A.1/6B.1/5C.1/8D.1/10【答案】A【解析】对折3次后绳子被分成2³=8份，每段占1/8，再分成5段，每段占1/8×5/8=1/

69.一个分数的分子和分母都加上6后，分数值变为5/8，原分数是（）（2分）A.1/2B.3/4C.2/3D.4/5【答案】B【解析】设原分数为a/b，a+6/b+6=5/8，解得a/b=3/

410.一个圆的周长和面积数值相等，这个圆的半径是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】设半径为r，周长2πr=πr²，解得r=1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列哪些数是无理数？（）A.√4B.

0.1010010001…C.

3.14159D.-√3E.1/3【答案】B、D【解析】无理数是不能表示为两个整数之比的数，B和D是无理数

2.一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，它的表面积公式可以是（）A.2ab+bc+acB.4ab+bc+acC.2ab+ac-bcD.a²+b²+c²E.abc【答案】A、C【解析】长方体表面积公式为2ab+bc+ac或2ab+ac-bc

3.以下哪些情况下，两个等底等高的圆柱体积相等？（）A.底面半径相等B.高相等C.侧面展开是正方形D.母线长度相等E.表面积相等【答案】A、B、C【解析】圆柱体积V=πr²h，底面积和高决定体积

4.一个三角形的内心是（）A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高线的交点D.外接圆的圆心E.面积相等的三条小三角形的交点【答案】A、E【解析】内心是内切圆的圆心，是角平分线的交点，且到三边距离相等

5.关于代数式x²-4x+4，下列说法正确的有（）A.它的值总是正数B.它可以分解为x-2²C.它的最小值是0D.它的因式分解结果是x+2x-2E.当x=4时它的值为0【答案】A、B、E【解析】x²-4x+4=x-2²≥0，最小值是0，当x=4时值为4²-16+4=4≠0

三、填空题（每题4分，共32分）

1.一个数的25%是50，这个数的1/3是______【答案】60【解析】设这个数为x，25%x=50，解得x=200，1/3×200=

602.甲数比乙数多20%，乙数比甲数少______%【答案】

16.67【解析】设乙数为100，甲数为120，100-120/120≈

16.67%

3.一个圆柱的底面半径是3厘米，高是5厘米，它的侧面展开图是一个正方形，这个正方形的面积是______平方厘米【答案】225【解析】侧面展开图周长=底面周长=2π×3=6π，高=5，正方形面积=6π²/4=9π²≈

2254.在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C=______度【答案】75【解析】三角形内角和为180°，∠C=180°-60°-45°=75°

5.一个分数的分子增加5，分数值变为5/6，如果分母增加5，分数值变为1/2，原分数是______【答案】2/3【解析】设原分数为a/b，a+5/b=5/6，a/b+5=1/2，解得a=2，b=

36.把一根绳子剪成三段，第一段占全长的1/3，第二段占剩下的1/4，第三段占______【答案】5/12【解析】第二段占1-1/3=2/3的1/4=1/6，第三段占1-1/3-1/6=5/6-1/6=5/

127.一个圆锥的底面半径是4厘米，高是3厘米，它的体积是______立方厘米【答案】

50.24【解析】V=1/3×π×4²×3=16π≈

50.

248.在直角坐标系中，点A2,3关于x轴对称的点的坐标是______【答案】2,-3【解析】关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变号

四、判断题（每题2分，共10分）

1.所有偶数都是合数（）【答案】（×）【解析】2是偶数但不是合数

2.一个等腰三角形一定不是直角三角形（）【答案】（×）【解析】等腰直角三角形是特殊的等腰三角形

3.两个面积相等的三角形一定全等（）【答案】（×）【解析】面积相等的三角形不一定全等，如形状不同但底高乘积相同

4.一个数的平方根一定有两个（）【答案】（×）【解析】负数没有实数平方根

5.圆的直径是它的半径的2倍（）【答案】（√）【解析】这是圆的基本定义

五、简答题（每题4分，共20分）

1.已知一个三角形的三个内角分别为x°，2x°，3x°，求x的值【答案】x=30°【解析】三角形内角和为180°，x+2x+3x=180°，解得x=30°

2.一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，它的表面积和体积分别怎么表示？【答案】表面积2ab+bc+ac，体积abc【解析】表面积是各面面积之和，体积是底面积乘高

3.什么叫互质数？举例说明【答案】公因数只有1的两个数叫互质数如8和15，公因数只有

14.一个分数的分子和分母都减去2后，分数值变为1/2，求原分数【答案】5/8【解析】设原分数为a/b，a-2/b-2=1/2，解得a/b=5/

85.什么是圆的半径？什么是圆的直径？【答案】半径是从圆心到圆上任意一点的线段直径是通过圆心且两端在圆上的线段直径等于半径的2倍

六、分析题（每题10分，共20分）

1.甲、乙两人分别从相距100千米的两地同时出发，相向而行甲的速度是每小时40千米，乙的速度是每小时30千米他们相遇需要多少小时？【答案】

2.5小时【解析】设相遇时间为t小时，40t+30t=100，解得t=

2.5小时

2.一个班级有50名学生，其中男生占60%，女生有多少名？如果男生增加10%，女生减少10%，班级总人数变化吗？【答案】女生有20名总人数不变，仍为50名【解析】女生占40%，20名男生增加10%后占66%，女生减少10%后占34%，50×66%+50×34%=50名

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.一个圆柱的底面半径是4厘米，高是10厘米求这个圆柱的侧面积、表面积和体积【答案】侧面积

251.2平方厘米；表面积

301.44平方厘米；体积

251.2立方厘米【解析】侧面积2π×4×10=80π≈

251.2；表面积80π+2×π×4²=80π+32π=112π≈

301.44；体积1/3×80π≈

251.

22.一个分数的分子和分母都加上3后，分数值变为5/7如果分子减去3，分母加上3，分数值变为1/4求原分数【答案】3/4【解析】设原分数为a/b，a+3/b=5/7，a-3/b+3=1/4，解得a=3，b=4。