三角函数的试题及答案

三角函数的试题及答案

一、单选题

1.在直角三角形中，若一个锐角的正弦值为

0.6，则它的余弦值为（）（1分）A.

0.8B.

0.4C.

0.75D.

0.2【答案】A【解析】在直角三角形中，sin²θ+cos²θ=1若sinθ=

0.6，则cos²θ=1-

0.6²=1-

0.36=

0.64，因此cosθ=√

0.64=

0.

82.函数y=sin2x+π/3的周期是（）（1分）A.2πB.πC.π/2D.π/4【答案】B【解析】函数y=sinkx+φ的周期为2π/|k|对于y=sin2x+π/3，k=2，因此周期为2π/2=π

3.函数y=cosx-π/4的图像关于（）对称（1分）A.x轴B.y轴C.原点D.直线x=π/4【答案】D【解析】函数y=cosx-π/4的图像关于直线x=π/4对称

4.下列哪个函数是偶函数？（）（1分）A.y=sinxB.y=tanxC.y=cosxD.y=cscx【答案】C【解析】cosx是偶函数，即满足f-x=fx

5.函数y=tanx的图像在区间π/2,3π/2内（）（1分）A.单调递增B.单调递减C.无定义D.无法判断【答案】A【解析】在区间π/2,3π/2内，tanx是单调递增的

6.若sinα=1/2，且α在第二象限，则cosα的值为（）（2分）A.-√3/2B.√3/2C.-1/2D.1/2【答案】A【解析】在第二象限，cosα为负值sin²α+cos²α=1，sinα=1/2，则cos²α=1-1/2²=1-1/4=3/4，因此cosα=-√3/

27.函数y=sin3x的图像在x=π/6处（）（1分）A.取得最大值B.取得最小值C.过原点D.无定义【答案】A【解析】当3x=π/2+2kπ，即x=π/6+2kπ/3时，sin3x取得最大值

18.函数y=cos2x-π/3的图像向右平移π/3个单位后得到（）（2分）A.y=cos2xB.y=cos2x-2π/3C.y=cos2x+π/3D.y=cos4x【答案】A【解析】函数y=cos2x-π/3向右平移π/3个单位，即变为y=cos[2x-π/3]=cos2x-2π/3，再化简为y=cos2x

9.函数y=sin²x的周期是（）（1分）A.πB.2πC.π/2D.π/4【答案】B【解析】sin²x的周期是π，但周期函数的平方后周期会减半，因此周期为2π

10.函数y=tanπ/4-x的图像关于（）对称（1分）A.x轴B.y轴C.直线x=π/4D.直线x=-π/4【答案】C【解析】函数y=tanπ/4-x的图像关于直线x=π/4对称

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数是周期函数？（）A.y=sinxB.y=cos2xC.y=tanx/2D.y=exE.y=sin²x【答案】A、B、C、E【解析】sinx、cos2x、tanx/2和sin²x都是周期函数，而ex不是周期函数

2.函数y=cosx在区间[-π/2,π/2]内（）A.单调递减B.单调递增C.取得最大值D.取得最小值E.无定义【答案】B、C【解析】在区间[-π/2,π/2]内，cosx单调递增，且在x=0处取得最大值

13.下列哪些函数是奇函数？（）A.y=sinxB.y=cosxC.y=tanxD.y=cscxE.y=secx【答案】A、C、D【解析】sinx、tanx和cscx是奇函数，而cosx和secx是偶函数

4.函数y=sin2x+π/6的图像（）A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于直线x=π/6对称D.关于原点对称E.周期为π【答案】C、E【解析】函数y=sin2x+π/6的图像关于直线x=π/6对称，周期为π

5.函数y=cos²x的图像（）A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.周期为πD.在区间[0,π]内单调递减E.在区间[0,π]内单调递增【答案】B、C【解析】cos²x的图像关于y轴对称，周期为π

三、填空题

1.函数y=sin3x-π/4的周期是______，在x=π/4处取得______值（4分）【答案】2π/3，最大（4分）【解析】周期为2π/3，在x=π/4处，3x-π/4=2π/3，sin2π/3=√3/2，为最大值

2.若sinα=3/5，且α在第一象限，则cosα的值为______（4分）【答案】4/5【解析】sin²α+cos²α=1，sinα=3/5，则cos²α=1-3/5²=1-9/25=16/25，因此cosα=4/

53.函数y=tan2x-π/3的图像关于______对称（4分）【答案】直线x=π/6【解析】函数y=tan2x-π/3的图像关于直线x=π/6对称

4.函数y=sin²x/2的周期是______（4分）【答案】4π【解析】sin²x/2的周期为2π/1/2=4π

5.函数y=cosx+π/4的图像向左平移______个单位后得到y=cosx-π/4（4分）【答案】π/2【解析】函数y=cosx+π/4向左平移π/2个单位，即变为y=cos[x+π/4-π/2]=cosx-π/4

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个正数相加，和一定比其中一个数大（）（2分）【答案】（√）【解析】两个正数相加，和一定比其中一个数大

2.函数y=sinx在区间[0,π]内单调递减（）（2分）【答案】（×）【解析】在区间[0,π]内，sinx先单调递增后单调递减

3.函数y=cosx是偶函数（）（2分）【答案】（√）【解析】cosx满足f-x=fx，是偶函数

4.函数y=tanx在区间-π/2,π/2内单调递增（）（2分）【答案】（√）【解析】在区间-π/2,π/2内，tanx单调递增

5.函数y=sin²x的周期是π（）（2分）【答案】（√）【解析】sin²x的周期是π

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述函数y=sinx和y=cosx的主要区别（4分）【答案】sinx和cosx的主要区别在于

（1）图像的起始点不同sinx在x=0处取值为0，而cosx在x=0处取值为1

（2）周期性不同sinx和cosx的周期都是2π，但相位不同

（3）单调性不同sinx在[0,π]内单调递增，在[π,2π]内单调递减；cosx在[0,π]内单调递减，在[π,2π]内单调递增

2.解释为什么函数y=sin2x的周期是π（4分）【答案】函数y=sinkx的周期为2π/k对于y=sin2x，k=2，因此周期为2π/2=π即当x增加π时，sin2x的值重复一次

3.简述函数y=tanx的图像特点（4分）【答案】函数y=tanx的图像特点如下

（1）周期性周期为π

（2）奇函数满足f-x=-fx

（3）垂直渐近线在x=kπ+π/2k为整数处有垂直渐近线

（4）单调性在每个周期内单调递增

4.解释为什么函数y=sin²x的周期是π（4分）【答案】函数y=sin²x的周期是π，因为sin²x=sinx²当x增加π时，sinx的值重复一次，因此sin²x的值也重复一次即sin²x+π=sin²x

5.简述函数y=cosx的图像特点（4分）【答案】函数y=cosx的图像特点如下

（1）周期性周期为2π

（2）偶函数满足f-x=fx

（3）最大值和最小值在x=2kπk为整数处取得最大值1，在x=2k+1πk为整数处取得最小值-1

（4）单调性在[2kπ,2k+1π]内单调递减，在[2k-1π,2kπ]内单调递增

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数y=sin2x+π/3的图像特点（10分）【答案】函数y=sin2x+π/3的图像特点如下

（1）周期性周期为π，因为k=2，周期为2π/2=π

（2）相位平移图像向左平移π/6个单位（因为π/3=π/62）

（3）最大值和最小值在2x+π/3=π/2+2kπ处取得最大值1，在2x+π/3=3π/2+2kπ处取得最小值-1

（4）单调性在每个周期内，先单调递增后单调递减

2.分析函数y=cos²x/2的图像特点（10分）【答案】函数y=cos²x/2的图像特点如下

（1）周期性周期为4π，因为k=1/2，周期为2π/1/2=4π

（2）相位平移无相位平移

（3）最大值和最小值在x/2=2kπ处取得最大值1，在x/2=2k+1π处取得最小值0

（4）单调性在每个周期内，先单调递减后单调递增

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数y=sin2x+φ的图像关于直线x=π/4对称，求φ的值（25分）【答案】函数y=sin2x+φ的图像关于直线x=π/4对称，即2π/4+φ=kπ+π/2，解得φ=kπ+π/4-π/2=kπ-π/4因此φ=-π/4（当k=0时）

2.已知函数y=cos3x-π/6的图像关于原点对称，求x的取值范围（25分）【答案】函数y=cos3x-π/6的图像关于原点对称，即cos3x-π/6=-cos3x-π/6，解得3x-π/6=2k+1π/2，解得x=2k+1π/6+π/18因此x的取值范围为所有满足条件的x值。