全国1卷数学试题及答案

全国1卷数学试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=lnx+1的定义域是（）（2分）A.-1,+∞B.-∞,-1C.-1,0D.-∞,0【答案】A【解析】函数fx=lnx+1中x+10，即x-1，所以定义域为-1,+∞

2.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=2k,k∈Z}，则A∩B=（）（2分）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{-1,2}【答案】B【解析】解方程x^2-3x+2=0得x=1或x=2，所以A={1,2}，B为所有2的倍数集合，所以A∩B={2}

3.若复数z=1+i，则|z|等于（）（2分）A.1B.√2C.2D.√3【答案】B【解析】|z|=√1^2+1^2=√

24.下列函数中，在区间0,+∞上单调递增的是（）（2分）A.y=2^-xB.y=lnx+1C.y=1/xD.y=x^2【答案】D【解析】指数函数y=2^-x为递减函数，对数函数y=lnx+1为递增函数，反比例函数y=1/x为递减函数，幂函数y=x^2为递增函数

5.某校高三年级有1000名学生，为了解他们的身高情况，随机抽取了100名学生进行测量，这种抽样方法是（）（2分）A.分层抽样B.系统抽样C.整群抽样D.简单随机抽样【答案】D【解析】随机抽取100名学生，每个学生被抽中的概率相同，属于简单随机抽样

6.已知函数fx=sin2x+π/3，则fπ/6的值是（）（2分）A.1/2B.√3/2C.-1/2D.-√3/2【答案】B【解析】fπ/6=sin2×π/6+π/3=sinπ/3=√3/

27.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边AC=2，则边BC的长度是（）（2分）A.√2B.2√2C.2√3D.4【答案】B【解析】由正弦定理得BC=ACsinB/sinA=2sin45°/sin60°=2√

28.已知圆的方程为x-1^2+y+2^2=4，则该圆的圆心坐标是（）（2分）A.1,-2B.-1,2C.2,-1D.-2,1【答案】A【解析】圆的标准方程为x-a^2+y-b^2=r^2，所以圆心为a,b，即1,-

29.函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值是（）（2分）A.0B.2C.3D.4【答案】D【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，f-1=-4，f0=2，f2=-2，f3=2，所以最大值为

410.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=a_{n-1}+2n，则a_5的值是（）（2分）A.15B.25C.35D.45【答案】C【解析】a_2=3，a_3=5，a_4=9，a_5=13，所以a_5=35

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下不等式成立的是？（）（4分）A.|x-1|2B.x^2-4x+30C.2^x1D.lnx0【答案】A、B、C【解析】|x-1|2即x3或x-1，x^2-4x+3=x-1x-30，2^x1即x0，lnx0即x1，所以A、B、C正确

2.以下函数在其定义域内是奇函数的有？（）（4分）A.y=xB.y=1/xC.y=x^3D.y=sinx【答案】A、B、C、D【解析】奇函数满足f-x=-fx，所以A、B、C、D都是奇函数

3.以下命题正确的是？（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若A⊆B，则PA⊆PBC.若A∩B=∅，则A、B中至少有一个是空集D.若A⊆B，则A∪C⊆B∪C【答案】A、B、D【解析】空集是任何集合的子集，若A⊆B，则A的所有子集也在B中，所以PA⊆PB，若A⊆B，则A∪C⊆B∪C，但A∩B=∅不一定成立

4.以下函数在其定义域内是周期函数的有？（）（4分）A.y=tanxB.y=sin2xC.y=cosx/2D.y=lnx+1【答案】A、B、C【解析】周期函数满足fx+T=fx，所以A、B、C是周期函数，D不是周期函数

5.以下数列是等差数列的有？（）（4分）A.a_n=2n+1B.a_n=3n-2C.a_n=n^2D.a_n=5n-1【答案】A、B、D【解析】等差数列满足a_{n+1}-a_n=d，所以A、B、D是等差数列，C不是等差数列

三、填空题（每题4分，共16分）

1.函数fx=√x-1的定义域是______（4分）【答案】[1,+∞

2.若集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B=______（4分）【答案】{1,2,3,4}

3.若复数z=2+i，则z^2=______（4分）【答案】3+4i

4.已知函数fx=x^2-2x+1，则f2=______（4分）【答案】1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个无理数的和一定是无理数（）（2分）【答案】（√）【解析】两个无理数的和不一定是无理数，如√2+√2-1=√2-1，仍是无理数

2.若函数fx是偶函数，则f-x=fx对任意x∈R都成立（）（2分）【答案】（√）【解析】偶函数定义就是f-x=fx

3.若数列{a_n}是等差数列，则S_n=na_1+nn-1d/2（）（2分）【答案】（√）【解析】等差数列前n项和公式就是S_n=na_1+nn-1d/

24.若A⊆B，则A∩B=A（）（2分）【答案】（√）【解析】A是B的子集，所以A与B的交集就是A

5.若函数fx在区间a,b上单调递增，则fx在该区间上连续（）（2分）【答案】（×）【解析】函数单调递增不一定连续，如分段函数

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=x^2-4x+3在区间[0,4]上的最大值和最小值（5分）【解析】fx=2x-4，令fx=0得x=2，f0=3，f2=-1，f4=3，所以最大值为3，最小值为-

12.解不等式|x-1|2（5分）【解析】x-1-2且x-12，解得-1x

33.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=3n^2-2n，求a_1和a_2的值（5分）【解析】a_1=S_1=3-2=1，a_2=S_2-S_1=12-4-3-2=7

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知函数fx=2cos^2x-sin2x（12分）

（1）求fπ/4的值（6分）【解析】fπ/4=2cos^2π/4-sinπ/2=2√2/2^2-1=0

（2）判断fx的奇偶性（6分）【解析】f-x=2cos^2-x-sin-2x=2cos^2x+sin2x，所以fx不是奇函数也不是偶函数

2.已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=3，a_5=11（12分）

（1）求{a_n}的通项公式（6分）【解析】a_5=a_1+4d，11=3+4d，d=2，a_n=3+n-12=2n+1

（2）求{a_n}的前n项和S_n（6分）【解析】S_n=n3+2n+1/2=n2n+4/2=n^2+2n

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x+1（25分）

（1）求fx的极值点（8分）【解析】fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√3/3，fx=6x-6，f1-√3/30，f1+√3/30，所以x=1-√3/3是极小值点，x=1+√3/3是极大值点

（2）求fx在区间[-1,3]上的最大值和最小值（8分）【解析】f-1=-3，f1-√3/3=1-2√3/3，f1+√3/3=1+2√3/3，f3=10，所以最小值为1-2√3/3，最大值为10

（3）判断fx在区间[-1,3]上的单调性（9分）【解析】fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√3/3，当x∈[-1,1-√3/3时fx0，fx单调递增；当x∈1-√3/3,1+√3/3时fx0，fx单调递减；当x∈1+√3/3,3]时fx0，fx单调递增

2.已知数列{a_n}是等比数列，且a_1=2，a_4=16（25分）

（1）求{a_n}的公比q（8分）【解析】a_4=a_1q^3，16=2q^3，q=2

（2）求{a_n}的通项公式（8分）【解析】a_n=22^n-1=2^n

（3）求{a_n}的前n项和S_n（9分）【解析】当q≠1时，S_n=21-2^n/1-2=2^n+1-2。