全国卷答案及试题

全国卷答案及试题

一、单选题

1.下列图形中，不是中心对称图形的是（）（1分）A.等腰三角形B.正方形C.矩形D.圆【答案】A【解析】等腰三角形不是中心对称图形

2.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-mx+2=0}，且B⊆A，则实数m的值为（）（2分）A.-1B.1C.2D.3【答案】C【解析】A={1,2}，B⊆A，则B={1}或B={2}或B={1,2}，对应的m值分别为2或2或任意实数，故选C

3.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（1分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到1和-2的距离之和，最小值为

34.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2+b^2-c^2=ab，则角C的大小为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】由余弦定理得cosC=a^2+b^2-c^2/2ab=1/2，故C=60°

5.下列命题中，真命题是（）（1分）A.若ab，则a^2b^2B.若ab，则a/cb/cC.若ab，则1/a1/bD.若ab，则|a||b|【答案】C【解析】举反例排除A、B、D，故选C

6.若复数z满足z^2+2z+1=0，则|z|的值为（）（2分）A.1B.2C.√2D.√3【答案】A【解析】z=-1，故|z|=

17.某校有高三学生500人，其中男生300人，女生200人现随机抽取3名学生，抽到的3名学生都是男生的概率为（）（1分）A.3/5B.9/25C.3/25D.1/125【答案】B【解析】P=300/500×299/499×298/498=9/

258.函数fx=sin2x+π/3的图像关于原点对称的变换是（）（2分）A.y=sin2x-π/3B.y=sin2x+π/3C.y=-sin2x+π/3D.y=sin-2x+π/3【答案】C【解析】y=sin2x+π/3图像关于原点对称后得到y=-sin2x+π/

39.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_4+a_7=15，则a_3+a_6+a_9的值为（）（1分）A.15B.30C.45D.60【答案】B【解析】由等差数列性质得a_4=a_1+3d，a_7=a_1+6d，a_1+a_4+a_7=3a_1+9d=15，故a_3+a_6+a_9=3a_1+18d=2×15=

3010.若函数fx=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m的值为（）（2分）A.0B.4C.8D.16【答案】A【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f-2=-1，f-1=2，f1=-1，f2=2，故M=2，m=-1，M+m=

111.在直角坐标系中，点A1,2关于直线y=x对称的点的坐标是（）（1分）A.1,2B.2,1C.2,-1D.-1,2【答案】B【解析】关于y=x对称的点的坐标为2,

112.若向量a=1,2，b=3,-4，则向量a+b的模长为（）（2分）A.√10B.√26C.√30D.√50【答案】B【解析】|a+b|=|-2,6|=√4+36=√40=2√10，故选B

13.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，边a=2，则边c的值为（）（1分）A.√2B.2√2C.2√3D.4【答案】C【解析】由正弦定理得c=asinB/sinA=2sin60°/sin45°=2√

314.下列不等式中，正确的是（）（2分）A.-2^3-1^2B.3√22√3C.2^1010^2D.10^

0.52^

0.7【答案】C【解析】计算各选项得C正确

15.函数fx=log_2x+3的图像不经过点（）（1分）A.1,2B.2,3C.3,4D.4,5【答案】D【解析】f4=log_27≠

516.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则a_6的值为（）（2分）A.486B.484C.468D.432【答案】A【解析】由等比数列性质得q^2=9，a_6=a_4q^2=549=

48617.若直线l过点1,2，且与直线y=3x-1垂直，则直线l的方程为（）（1分）A.3x+y-5=0B.x-3y+5=0C.3x-y-1=0D.x+3y-7=0【答案】A【解析】直线l的斜率为-1/3，方程为y-2=-1/3x-1，即3x+y-5=

018.函数fx=tanx+π/4的图像的对称中心是（）（2分）A.π/4,0B.π/2,0C.3π/4,0D.π,0【答案】C【解析】fx+π/4=tanx，对称中心为π/4+kπ,0，k∈Z，故选C

19.若函数fx=x^2-2ax+3在区间[-1,2]上的最小值为1，则实数a的值为（）（1分）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】f-1=4+2a，f2=4-4a，f1=4-2a，最小值为1，故a=

120.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a:b:c=3:4:5，则cosA的值为（）（2分）A.1/2B.3/5C.4/5D.3/4【答案】B【解析】由余弦定理得cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=16+25-9/245=3/5

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些属于等差数列的性质？（）A.中项等于首末项的平均值B.任意两项之差为常数C.前n项和为S_n=na_1+a_n/2D.若m+n=p+q，则a_m+a_n=a_p+a_qE.若a_n=a_1q^n-1，则该数列为等比数列【答案】A、B、C、D【解析】等差数列的性质包括中项等于首末项的平均值、任意两项之差为常数、前n项和为S_n=na_1+a_n/

2、若m+n=p+q，则a_m+a_n=a_p+a_q，故选A、B、C、D

2.以下哪些命题是真命题？（）A.若ab，则a^2b^2B.若ab，则a/cb/c（c0）C.若ab，则1/a1/b（a0，b0）D.若ab，则|a||b|E.若ab，则a^2+1b^2+1【答案】C、E【解析】举反例排除A、B、D，故选C、E

3.以下哪些函数是奇函数？（）A.y=sinxB.y=cosxC.y=tanxD.y=x^3E.y=1/x【答案】A、C、D、E【解析】奇函数满足f-x=-fx，故选A、C、D、E

4.以下哪些数列是单调递增的？（）A.a_n=2n-1B.a_n=n^2C.a_n=3^nD.a_n=n/n+1E.a_n=√n【答案】A、C、E【解析】计算各数列的通项递推关系得A、C、E单调递增，故选A、C、E

5.以下哪些直线与直线y=2x+1平行？（）A.y=2x-3B.y=-1/2x+2C.y=2x+5D.y=2xE.y=x/2+1【答案】A、C、D【解析】平行直线的斜率相等，故选A、C、D

三、填空题

1.若函数fx=x^2-2x+3，则f2+f-1的值为______（4分）【答案】8【解析】f2=4-4+3=3，f-1=1+2+3=6，f2+f-1=3+6=

92.在△ABC中，若角A=30°，角B=45°，边a=2，则边b的值为______（4分）【答案】2√2【解析】由正弦定理得b=asinB/sinA=2sin45°/sin30°=2√

23.若向量a=3,4，b=1,-2，则向量a·b的值为______（4分）【答案】-5【解析】a·b=3×1+4×-2=-

54.在等比数列{a_n}中，若a_1=2，a_4=16，则公比q的值为______（4分）【答案】2【解析】a_4=a_1q^3，16=2q^3，q=

25.若函数fx=sin2x+π/3的图像关于y轴对称，则实数φ的值为______（4分）【答案】π/6【解析】fx=sin2x+φ，关于y轴对称，φ=π/6+kπ，k∈Z，故φ=π/

66.若直线l过点1,2，且与直线y=3x-1垂直，则直线l的斜率为______（4分）【答案】-1/3【解析】垂直直线的斜率乘积为-1，故斜率为-1/

37.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-mx+2=0}，且B⊆A，则实数m的取值范围为______（4分）【答案】m=2或1≤m≤2【解析】A={1,2}，B⊆A，故B={1}或B={2}或B={1,2}，对应的m值分别为2或2或任意实数，故m=2或1≤m≤

28.若函数fx=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值为M，最小值为m，则M-m的值为______（4分）【答案】4【解析】f-2=-1，f-1=2，f1=-1，f2=2，M=2，m=-1，M-m=3

四、判断题

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】举反例，如a=1，b=-2，则ab但a^2b^

22.若ab，则a/cb/c（c0）（）（2分）【答案】（√）【解析】不等式两边同时除以正数，不等号方向不变

3.若ab，则1/a1/b（a0，b0）（）（2分）【答案】（√）【解析】不等式两边同时取倒数，不等号方向改变

4.若ab，则|a||b|（）（2分）【答案】（×）【解析】举反例，如a=1，b=-2，则ab但|a||b|

5.若函数fx=x^2在区间[-1,1]上的最小值为0（）（2分）【答案】（√）【解析】f-1=f1=1，f0=0，最小值为0

五、简答题

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，求函数的极值（5分）【答案】fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√3/3，fx=6x-6，f1+√3/30，f1-√3/30，故x=1+√3/3为极小值点，x=1-√3/3为极大值点，极小值为f1+√3/3=1+√3/3^3-31+√3/3^2+21+√3/3，极大值为f1-√3/3=1-√3/3^3-31-√3/3^2+21-√3/

32.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，a_4=10，求公差d和S_10（5分）【答案】a_4=a_1+3d，10=2+3d，d=8/3，S_10=10a_1+a_10/2=102+2+9d/2=102+2+24=

3103.已知向量a=1,2，b=3,-4，求向量a+b和向量a·b的值（5分）【答案】a+b=1+3,2-4=4,-2，a·b=1×3+2×-4=3-8=-5

六、分析题

1.已知函数fx=sin2x+φ的图像关于原点对称，求实数φ的值，并分析函数的图像特征（10分）【答案】fx关于原点对称，f-x=-fx，sin-2x+φ=-sin2x+φ，-sin2x-φ=-sin2x+φ，-2x+φ=2x+φ+2kπ，φ=π/2+kπ，k∈Z，故φ=π/2，函数为奇函数，周期为π，图像关于原点对称，在0,π/2上单调递增，在π/2,π上单调递减

2.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，求函数的单调区间和极值（10分）【答案】fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√3/3，fx=6x-6，f1+√3/30，f1-√3/30，故x=1+√3/3为极小值点，x=1-√3/3为极大值点，极小值为f1+√3/3=1+√3/3^3-31+√3/3^2+21+√3/3，极大值为f1-√3/3=1-√3/3^3-31-√3/3^2+21-√3/3，单调增区间为-∞,1-√3/3和1+√3/3,+∞，单调减区间为1-√3/3,1+√3/3

七、综合应用题

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10万元，每件产品的可变成本为20元，售价为30元求该工厂的盈亏平衡点（20分）【答案】设生产x件产品，总收入为30x，总成本为10+20x，盈亏平衡时30x=10+20x，x=10，故盈亏平衡点为10件

2.某公司投资一个项目，初始投资为100万元，预计年收益率为10%，求5年后的投资回报率（25分）【答案】设5年后的投资回报为P，P=100×1+10%^5=100×

1.61051=

161.051万元，投资回报率为

161.051-100/100=

61.051%。