复变函数期末试题及答案

复变函数期末试题及答案

一、单选题（每题1分，共10分）

1.下列函数中，在z=0处解析的是（）A.fz=sin1/zB.fz=z^2+2z+1C.fz=exp1/zD.fz=logz【答案】B【解析】fz=z^2+2z+1在z=0处解析，因为它是多项式函数

2.函数fz=z^2-1/z-1在z=1处的留数是（）A.0B.1C.-1D.2【答案】B【解析】fz=z^2-1/z-1=z+1，在z=1处的留数是

13.函数fz=1/zz-1^2在z=0和z=1处的留数分别是（）A.1,-1B.0,-1C.1,2D.0,1【答案】A【解析】在z=0处的留数是1，在z=1处的留数是-

14.函数fz=expz/z^2+1在z=±i处的留数分别是（）A.i/2,-i/2B.-i/2,i/2C.1,-1D.0,0【答案】A【解析】在z=i处的留数是i/2，在z=-i处的留数是-i/

25.函数fz=z/z^2+1的奇点是（）A.z=0B.z=±iC.z=±1D.无奇点【答案】B【解析】函数的奇点是z^2+1=0的解，即z=±i

6.函数fz=sinz/z在z=0处的值是（）A.0B.1C.-1D.π【答案】A【解析】利用洛必达法则或泰勒展开，sinz/z在z=0处的极限是1，但题目问的是函数值，实际上在z=0处函数值定义为

17.函数fz=z^2expz在z=0处的泰勒展开式中的常数项是（）A.0B.1C.-1D.2【答案】A【解析】z^2expz的泰勒展开式中的常数项是

08.函数fz=1/1-z在z=0处的泰勒展开式是（）A.1+z+z^2+z^3+...B.1-z-z^2-z^3-...C.1+2z+3z^2+4z^3+...D.1-2z+3z^2-4z^3+...【答案】A【解析】利用几何级数展开，1/1-z=1+z+z^2+z^3+...

9.函数fz=z/z^2+1在z=1处的值是（）A.1/2B.1C.-1D.2【答案】A【解析】在z=1处，fz=1/1^2+1=1/

210.函数fz=z/z^2+1在z=0处的值是（）A.0B.1C.-1D.1/2【答案】A【解析】在z=0处，fz=0/0^2+1=0

二、多选题（每题2分，共10分）

1.下列函数中，在z=0处解析的有（）A.fz=sin1/zB.fz=z^2+2z+1C.fz=exp1/zD.fz=logz【答案】B【解析】fz=z^2+2z+1在z=0处解析，因为它是多项式函数

2.下列函数中，在z=1处有孤立奇点的是（）A.fz=1/z-1B.fz=z/z-1^2C.fz=z^2-1/z-1D.fz=exp1/z-1【答案】A、B、D【解析】fz=1/z-1，fz=z/z-1^2，fz=exp1/z-1在z=1处有孤立奇点

3.下列函数中，在z=0处有泰勒展开式的是（）A.fz=sinzB.fz=expzC.fz=logzD.fz=1/1-z【答案】A、B、D【解析】fz=sinz，fz=expz，fz=1/1-z在z=0处有泰勒展开式

4.函数fz=z/z^2+1的奇点是（）A.z=0B.z=±iC.z=±1D.无奇点【答案】B【解析】函数的奇点是z^2+1=0的解，即z=±i

5.下列关于留数的说法正确的有（）A.留数定理是复变函数中的重要定理B.留数可以用来计算积分C.留数只存在于孤立奇点处D.留数是函数在奇点处的导数值【答案】A、B、C【解析】留数定理是复变函数中的重要定理，留数可以用来计算积分，留数只存在于孤立奇点处

三、填空题（每题2分，共10分）

1.函数fz=z^2+2z+1在z=-1处的值是______【答案】0【解析】在z=-1处，fz=-1^2+2-1+1=

02.函数fz=1/z-1在z=2处的值是______【答案】1/1【解析】在z=2处，fz=1/2-1=

13.函数fz=z/z^2+1在z=1处的值是______【答案】1/2【解析】在z=1处，fz=1/1^2+1=1/

24.函数fz=sinz在z=0处的泰勒展开式中的常数项是______【答案】0【解析】sinz的泰勒展开式中的常数项是

05.函数fz=1/1-z在z=0处的泰勒展开式中的前五项是______【答案】1+z+z^2+z^3+z^4【解析】利用几何级数展开，1/1-z=1+z+z^2+z^3+z^4+...

四、判断题（每题1分，共5分）

1.函数fz=z^2+2z+1在z=0处解析（）【答案】（√）【解析】fz=z^2+2z+1在z=0处解析，因为它是多项式函数

2.函数fz=1/z-1在z=1处有孤立奇点（）【答案】（√）【解析】fz=1/z-1在z=1处有孤立奇点

3.函数fz=z/z^2+1在z=0处有泰勒展开式（）【答案】（×）【解析】fz=z/z^2+1在z=0处有泰勒展开式

4.函数fz=1/1-z在z=0处的泰勒展开式是1-z-z^2-z^3-...（）【答案】（×）【解析】1/1-z在z=0处的泰勒展开式是1+z+z^2+z^3+...

5.函数fz=z/z^2+1在z=1处的值是1（）【答案】（×）【解析】fz=z/z^2+1在z=1处的值是1/2

五、简答题（每题2分，共10分）

1.什么是解析函数？【答案】解析函数是指在某区域内处处可微的复变函数

2.什么是孤立奇点？【答案】孤立奇点是指函数在奇点附近可以找到一个去心邻域，使得函数在该邻域内解析

3.什么是留数？【答案】留数是指函数在孤立奇点处的洛朗展开式中-z的系数

4.什么是泰勒展开式？【答案】泰勒展开式是指函数在解析点处的幂级数展开式

5.什么是留数定理？【答案】留数定理是指函数沿闭曲线的积分等于该闭曲线内所有孤立奇点处留数的2πi倍

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fz=z/z^2+1在z=0处的泰勒展开式，并求出前五项【答案】fz=z/z^2+1=z/z-iz+i在z=0处，fz=0/0-i0+i=0利用部分分式展开fz=A/z-i+B/z+i解得A=1/2i，B=-1/2i所以fz=1/2iz-i-1/2iz+i泰勒展开式fz=1/2i1/z-1/z^2+1/z^3-1/z^4+...-1/2i1/z+1/z^2+1/z^3+1/z^4+...=1/2i-1+1/z+1/z^2+1/z^3+1/z^4-1/2i1+1/z+1/z^2+1/z^3+1/z^4=-1/2i+1/2i1/z+1/z^2+1/z^3+1/z^4-1/2i-1/2i1/z+1/z^2+1/z^3+1/z^4=-1/2i-1/2i+1/2i1/z+1/z^2+1/z^3+1/z^4-1/2i1/z+1/z^2+1/z^3+1/z^4=-1-1+1/z+1/z^2+1/z^3+1/z^4=-2+1/z+1/z^2+1/z^3+1/z^4前五项为-2+1/z+1/z^2+1/z^3+1/z^

42.分析函数fz=1/1-z在z=0处的泰勒展开式，并求出前五项【答案】fz=1/1-z在z=0处，fz=1/1-0=1利用几何级数展开fz=1+z+z^2+z^3+z^4+...前五项为1+z+z^2+z^3+z^4

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.计算函数fz=z/z^2+1沿闭曲线|z|=2的积分【答案】利用留数定理fz=z/z^2+1=z/z-iz+i在z=i和z=-i处有孤立奇点，留数分别为Resf,i=limz→iz-iz/z-iz+i=limz→iz/z+i=i/i+i=i/2i=1/2Resf,-i=limz→-iz+iz/z-iz+i=limz→-iz/z-i=-i/-i-i=-i/-2i=1/2沿|z|=2的积分∮_Cfzdz=2πiResf,i+Resf,-i=2πi1/2+1/2=2πi

2.计算函数fz=1/1-z沿闭曲线|z|=1的积分【答案】利用留数定理fz=1/1-z在z=1处有孤立奇点，留数为Resf,1=limz→1z-11/1-z=-1沿|z|=1的积分∮_Cfzdz=2πiResf,1=2πi-1=-2πi---完整标准答案

一、单选题

1.B

2.B

3.A

4.A

5.B

6.A

7.A

8.A

9.A

10.A

二、多选题

1.B

2.A、B、D

3.A、B、D

4.B

5.A、B、C

三、填空题

1.

02.

13.1/

24.

05.1+z+z^2+z^3+z^4

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（×）

4.（×）

5.（×）

五、简答题

1.解析函数是指在某区域内处处可微的复变函数

2.孤立奇点是指函数在奇点附近可以找到一个去心邻域，使得函数在该邻域内解析

3.留数是指函数在孤立奇点处的洛朗展开式中-z的系数

4.泰勒展开式是指函数在解析点处的幂级数展开式

5.留数定理是指函数沿闭曲线的积分等于该闭曲线内所有孤立奇点处留数的2πi倍

六、分析题

1.fz=z/z^2+1在z=0处的泰勒展开式的前五项为-2+1/z+1/z^2+1/z^3+1/z^

42.fz=1/1-z在z=0处的泰勒展开式的前五项为1+z+z^2+z^3+z^4

七、综合应用题

1.∮_Cfzdz=2πi

2.∮_Cfzdz=-2πi。