必修四数学试题及答案

必修四数学试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=sinx+π/4的图像关于（）对称（2分）A.x轴B.y轴C.原点D.直线x=π/4【答案】C【解析】fx=sinx+π/4是奇函数，图像关于原点对称

2.复数z=a+bia,b∈R的模为|z|，则|z|的几何意义是（）（2分）A.z在复平面内对应的点的横坐标B.z在复平面内对应的点的纵坐标C.z在复平面内对应的点到原点的距离D.z在复平面内对应的点到x轴的距离【答案】C【解析】复数模表示复平面内对应点与原点的距离

3.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_9=24，则a_6的值是（）（2分）A.6B.8C.10D.12【答案】D【解析】由等差数列性质a_3+a_9=2a_6，得a_6=

124.抛掷一枚质地均匀的骰子，出现点数为偶数的概率是（）（2分）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/6【答案】A【解析】偶数有3个，总情况6个，概率为3/6=1/

25.设函数fx=e^x-1，则fx在（）上单调递增（2分）A.-∞,0B.0,+∞C.-∞,+∞D.-1,1【答案】C【解析】指数函数在整个实数域上单调递增

6.直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相交于两点，则k的取值范围是（）（2分）A.k∈RB.|k|1C.|k|≤1D.|k|1【答案】B【解析】直线斜率绝对值小于1时与圆相交

7.若向量a=1,2，b=3,-4，则向量a·b的值是（）（2分）A.-5B.5C.-7D.7【答案】C【解析】a·b=1×3+2×-4=-5+-8=-

78.一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则其侧面积是（）（2分）A.15πcm^2B.20πcm^2C.30πcm^2D.24πcm^2【答案】A【解析】侧面积=π×3×5=15πcm^

29.函数fx=log_ax+1在-1,+∞上单调递减，则实数a的取值范围是（）（2分）A.0a1B.a1C.a=1D.a0【答案】A【解析】对数函数底数在0,1时单调递减

10.在△ABC中，若cosA=1/2，则sinA/2的值是（）（2分）A.1/4B.1/2C.√3/2D.√3/4【答案】D【解析】由cosA=1/2知A=π/3，sinπ/6=1/2，sinA/2=sinπ/6/2=√3/4

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中正确的是（）（4分）A.集合A={x|x^2-1=0}与集合B={-1,1}是相等的B.x0是x^20的充分不必要条件C.函数fx=tanx在-π/2,π/2上单调递增D.若ab，则a^2b^2【答案】A、B【解析】A中两个集合元素相同；B中x0必然x^20，但x^20不一定x0；C中tanx在0,π/2递增；D中若ab且a,b异号则a^2b^

22.关于函数fx=sin2x+φ的说法正确的是（）（4分）A.fx的最小正周期是πB.对任意φ，fx的图像都关于原点对称C.当φ=π/2时，fx在[0,π/2]上单调递减D.fx的图像可由y=sin2x的图像向左平移φ个单位得到【答案】A、C【解析】A中周期T=2π/2=π；B中只有φ=π/2时才关于原点对称；C中φ=π/2时fx=cos2x在[0,π/2]递减；D中平移方向与φ符号相反

3.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则（）（4分）A.公比q=3B.a_3=18C.a_1=2D.S_5=328【答案】A、B、C【解析】由a_4=a_2q^2得q=3；a_3=a_2q=18；a_1=a_2/q=2；S_5=23^5-1/2=

2424.已知直线l过点A1,2且与直线y=3x-1垂直，则（）（4分）A.直线l的斜率k=1/3B.直线l的方程为y-2=1/3x-1C.直线l与x轴的交点坐标为3,0D.直线l与y轴的交点坐标为0,2/3【答案】A、B【解析】垂直直线斜率乘积为-1，得k=1/3；代入点斜式得方程；x轴交点令y=0得x=1-6=-5；y轴交点令x=0得y=2-1/3=5/

35.从6名男生和4名女生中选3人参加比赛，则恰好有2名女生的选法有（）（4分）A.36种B.48种C.60种D.72种【答案】B【解析】C4,2×C6,1=6×6=36种

三、填空题（每空2分，共16分）

1.已知fx=x^2-2x+3，则f1+a-f1-a=______（4分）【答案】4a^2（4分）【解析】f1+a=1+a^2-21+a+3=a^2+2a+2；f1-a=a^2-2a+2；相减得4a^

22.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=2，cosC=1/3，则c=______（4分）【答案】√13（4分）【解析】由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=9+4-12×1/3=13，得c=√

133.不等式|x-1|2的解集是______（4分）【答案】-1,3（4分）【解析】x-1∈-2,2⇒x∈-1,

34.已知点P在圆x^2+y^2=4上运动，则|OP-1|的取值范围是______（4分）【答案】[√3-1,√3+1]（4分）【解析】设Px,y，|OP|为半径2，|OP-1|∈[1,3]，即[√3-1,√3+1]

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则fx=ax^2+bx+c的图像开口一定向上（）（2分）【答案】（×）【解析】当a0时开口向下，如a=-1b时图像开口向下

2.函数fx=sin|x|是偶函数（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x=sin|-x|=sin|x|=fx

3.在等差数列{a_n}中，若S_m=S_nm≠n，则a_m+n=0（）（2分）【答案】（√）【解析】S_m-S_n=a_m+n/2×m-n=0⇒a_m+n=

04.若复数z满足|z|=1，则z^2=1（）（2分）【答案】（×）【解析】z=±i时z^2=-1≠

15.一个圆锥的侧面展开图是半径为3cm的半圆，则其体积是9πcm^3（）（2分）【答案】（×）【解析】母线l=3，底面半径r=3π/2，高h=√l^2-r^2=√9-9π^2/4，V=1/3×πr^2h≠9π

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数fx=sin2x-π/4+1的最小正周期及单调递增区间（4分）【答案】周期T=π，递增区间为[kπ+π/8,kπ+5π/8],k∈Z（4分）【解析】周期T=2π/2=π；由-π/2≤2x-π/4≤π/2得递增区间

2.已知向量a=3,1，b=-1,2，求向量c=3a-2b的坐标及模长（4分）【答案】c=11,-1，|c|=√11^2+-1^2=√122（4分）【解析】c=9--2,3-4=11,-1；|c|=√121+

13.写出等比数列{a_n}的前n项和公式S_n，并说明当q≠1时如何求S_n（4分）【答案】S_n=a_1/1-q若q≠1；当q≠1时，S_n=a_11-q^n/1-q（4分）【解析】当q=1时S_n=na_1；当q≠1时使用等比求和公式

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最大值和最小值（10分）【答案】最大值f-2=-8，最小值f1=-2（10分）【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2，驻点x=0,2；比较f-2=-8，f0=2，f2=-2，f3=

22.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=√3，b=1，C=π/3，求cosB及△ABC的面积（10分）【答案】cosB=1/2，面积S=√3/4（10分）【解析】由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=3+1-2×√3×1×1/2=2⇒c=√2；由正弦定理sinB=b·sinC/a=1/2⇒B=π/6；S=1/2absinC=1/2×√3×1×√3/2=√3/4

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产一种产品，固定成本为a万元，每生产一件产品成本增加b万元，市场售价为c万元/件，若需求函数为x=1000-50pp为售价，求该厂获得最大利润时的产量及最大利润（25分）【答案】产量x=500，最大利润L=2500-25b-a（25分）【解析】收入R=px=1000-50pp；成本C=a+bx；利润L=R-C=1000p-50p^2-a+bx；求导L=0得p=20⇒x=500；L20=1000×20-50×400-a-b×500=20000-20000-a-b=2500-b-a

2.已知直线l过点A1,2且与直线y=3x-1垂直，求直线l的方程，并判断点B3,0是否在l上（25分）【答案】l:y-2=1/3x-1，B在l上（25分）【解析】l:y-2=1/3x-1⇒y=1/3x+5/3；B3,0代入l方程得0=1+5/3≠10/3⇒B不在l上（此处修正参考答案的错误）

八、标准答案（最后附页）

一、单选题

1.C

2.C

3.D

4.A

5.C

6.B

7.C

8.A

9.A

10.D

二、多选题

1.A、B

2.A、C

3.A、B、C

4.A、B

5.B

三、填空题

1.4a^

22.√

133.-1,

34.[√3-1,√3+1]

四、判断题

1.×

2.√

3.√

4.×

5.×

五、简答题

1.周期π，递增区间[kπ+π/8,kπ+5π/8],k∈Z

2.c=11,-1，|c|=√

1223.S_n=a_1/1-q若q≠1；S_n=a_11-q^n/1-q若q≠1

六、分析题

1.最大值f-2=-8，最小值f1=-

22.cosB=1/2，面积S=√3/4

七、综合应用题

1.产量x=500，最大利润L=2500-25b-a

2.l:y=1/3x+5/3，B不在l上。