数学高考试题及答案

数学高考试题及答案

一、单选题

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）（2分）A.y=-2x+1B.y=x²C.y=1/xD.y=sinx【答案】A【解析】y=-2x+1是一次函数，其斜率为-2，在整个定义域内是严格减函数；y=x²是二次函数，开口向上，在x0时是增函数，在x0时是减函数；y=1/x是反比例函数，在x0时是减函数，在x0时是增函数；y=sinx是正弦函数，在其定义域内不是单调增函数只有A选项在整个定义域内是增函数

2.已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²+x-6=0}，则A∪B等于（）（2分）A.{1,2}B.{-3,2}C.{1,-2,3}D.{-3,1,2}【答案】D【解析】解方程x²-3x+2=0得x=1或x=2，所以A={1,2}；解方程x²+x-6=0得x=-3或x=2，所以B={-3,2}因此A∪B={-3,1,2}

3.函数fx=lgx+1的定义域是（）（1分）A.-1,+∞B.-∞,-1C.-∞,+∞D.-∞,0【答案】A【解析】对数函数的定义域要求真数大于0，即x+10，解得x-1所以定义域为-1,+∞

4.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边AC=2，则边BC的长度为（）（2分）A.√2B.2√2C.√3D.2√3【答案】A【解析】由正弦定理可得BC/sinA=AC/sinB，即BC/sin60°=2/sin45°，解得BC=2sin60°/sin45°=2√3/2/√2/2=√6/√2=√

25.若复数z=1+i，则z²等于（）（2分）A.2B.-2C.0D.1-i【答案】A【解析】z²=1+i²=1²+2i+i²=1+2i-1=2i

6.直线y=kx+3与圆x-1²+y²=4相交于两点，则k的取值范围是（）（2分）A.k2B.k2C.k≠0D.k≠2【答案】A【解析】将直线方程代入圆的方程得x-1²+kx+3²=4，整理得k²+1x²+6k-2x+6=0因为直线与圆相交于两点，所以判别式Δ=6k-2²-4k²+1×60，解得k

27.某校高三年级有500名学生，为了解他们的视力情况，随机抽取了100名学生进行调查，这种抽样方法是（）（2分）A.分层抽样B.系统抽样C.整群抽样D.简单随机抽样【答案】B【解析】将500名学生按某种规则（如学号顺序）分成100组，每组5人，然后随机抽取每组的一个学生，这种抽样方法是系统抽样

8.若函数fx是定义在R上的奇函数，且当x0时，fx=x²-2x，则当x0时，fx等于（）（2分）A.x²+2xB.-x²+2xC.x²-2xD.-x²-2x【答案】D【解析】因为fx是奇函数，所以f-x=-fx当x0时，fx=x²-2x，所以当x0时，fx=-f-x=--x²-2-x=-x²-2x

9.一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则它的侧面积为（）（2分）A.15πB.12πC.9πD.6π【答案】A【解析】圆锥的侧面积公式为πrl，其中r是底面半径，l是母线长所以侧面积为π×3×5=15π

10.执行以下程序段后，变量s的值是（）（2分）s=0i=1whilei=5:s=s+ii=i+1【答案】15【解析】程序执行过程如下i=1时，s=0+1=1，i=2i=2时，s=1+2=3，i=3i=3时，s=3+3=6，i=4i=4时，s=6+4=10，i=5i=5时，s=10+5=15，i=6循环结束，s=15

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的有（）A.空集是任何集合的子集B.一个非空集合一定有最小元素C.若ab，则a²b²D.若p∧q为假，则p和q中至少有一个为假E.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在该区间上存在反函数【答案】A、D【解析】空集是任何集合的子集，所以A正确；一个非空集合不一定有最小元素，如实数集R；若ab，则a²b²不一定成立，如a=1，b=-2；若p∧q为假，则p和q中至少有一个为假，所以D正确；函数fx在区间I上单调递增不一定存在反函数，如fx=x³在R上单调递增但不是一一对应

2.以下函数中，在其定义域内是奇函数的有（）A.y=x³B.y=1/xC.y=√xD.y=sinxE.y=cosx【答案】A、B、D【解析】奇函数满足f-x=-fxy=x³是奇函数；y=1/x是奇函数；y=√x不是奇函数；y=sinx是奇函数；y=cosx是偶函数

3.在△ABC中，若角A、角B、角C的对边分别为a、b、c，则下列结论正确的有（）A.若a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形B.若a²=b²+c²，则角A是钝角C.若cosA0，则△ABC是锐角三角形D.若ab，则sinAsinBE.若△ABC是等边三角形，则a²+b²=c²【答案】A、C【解析】若a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形，所以A正确；若a²=b²+c²，则角A是锐角，所以B错误；若cosA0，则角A是锐角，所以△ABC是锐角三角形，所以C正确；若ab，则不一定有sinAsinB，如a=3，b=2，c=2时，sinA=sin60°=√3/2，sinB=sin30°=1/2，但acb，所以D错误；若△ABC是等边三角形，则a=b=c，所以a²+b²=c²，所以E正确

4.以下命题中，正确的有（）A.若函数fx在区间I上连续，则fx在该区间上必有界B.若函数fx在区间I上可导，则fx在该区间上连续C.若函数fx在x=x₀处可导，则fx在x=x₀处必连续D.若函数fx在x=x₀处连续，则fx在x=x₀处必可导E.若函数fx在x=x₀处可导，则fx在x=x₀处的导数是唯一的【答案】B、C、E【解析】若函数fx在区间I上连续，则不一定有界，如fx=1/x在-∞,0上连续但无界，所以A错误；若函数fx在区间I上可导，则fx在该区间上连续，所以B正确；若函数fx在x=x₀处可导，则fx在x=x₀处必连续，所以C正确；若函数fx在x=x₀处连续，则不一定可导，如fx=|x|在x=0处连续但不可导，所以D错误；若函数fx在x=x₀处可导，则fx在x=x₀处的导数是唯一的，所以E正确

5.以下说法中，正确的有（）A.若事件A和事件B互斥，则PA∪B=PA+PBB.若事件A和事件B相互独立，则PA|B=PAC.若事件A和事件B互斥，则PA∩B=0D.若事件A和事件B相互独立，则PA∩B=PAPBE.若事件A的概率为1，则A是必然事件【答案】A、B、C、D、E【解析】互斥事件指两个事件不能同时发生，所以PA∪B=PA+PB，所以A正确；相互独立事件指一个事件的发生不影响另一个事件的发生概率，所以PA|B=PA，所以B正确；互斥事件不能同时发生，所以PA∩B=0，所以C正确；相互独立事件指PA∩B=PAPB，所以D正确；概率为1的事件是必然事件，所以E正确

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若函数fx=ax²+bx+c的图像经过点1,0，2,-3，且对称轴为x=-1，则a=______，b=______，c=______【答案】-2，-2，-1【解析】由对称轴公式x=-b/2a=-1得b=2a将1,0代入得a+b+c=0，将2,-3代入得4a+2b+c=-3联立方程组得a=-2，b=-2，c=-

12.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边AC=2，则△ABC的面积等于______【答案】√3【解析】由正弦定理可得BC/sinA=AC/sinB，即BC/sin60°=2/sin45°，解得BC=√6/√2=√3所以△ABC的面积为1/2×AC×BC×sinB=1/2×2×√3×√2/2=√

33.若复数z=1+i，则|z|等于______【答案】√2【解析】复数z的模为|z|=√1²+1²=√

24.直线y=kx+3与圆x-1²+y²=4相交于两点，则k的取值范围是______【答案】k2【解析】将直线方程代入圆的方程得x-1²+kx+3²=4，整理得k²+1x²+6k-2x+6=0因为直线与圆相交于两点，所以判别式Δ=6k-2²-4k²+1×60，解得k

25.若函数fx是定义在R上的奇函数，且当x0时，fx=x²-2x，则当x0时，fx等于______【答案】-x²-2x【解析】因为fx是奇函数，所以f-x=-fx当x0时，fx=x²-2x，所以当x0时，fx=-f-x=--x²-2-x=-x²-2x

6.一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则它的侧面积为______【答案】15π【解析】圆锥的侧面积公式为πrl，其中r是底面半径，l是母线长所以侧面积为π×3×5=15π

7.执行以下程序段后，变量s的值是______s=0i=1whilei=5:s=s+ii=i+1【答案】15【解析】程序执行过程如下i=1时，s=0+1=1，i=2i=2时，s=1+2=3，i=3i=3时，s=3+3=6，i=4i=4时，s=6+4=10，i=5i=5时，s=10+5=15，i=6循环结束，s=

158.某校高三年级有500名学生，为了解他们的视力情况，随机抽取了100名学生进行调查，这种抽样方法是______【答案】系统抽样【解析】将500名学生按某种规则（如学号顺序）分成100组，每组5人，然后随机抽取每组的一个学生，这种抽样方法是系统抽样

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²+x-6=0}，则A∩B={2}（）（2分）【答案】（×）【解析】A={1,2}，B={-3,2}，所以A∩B={2}

2.函数fx=lgx+1的定义域是-1,+∞（）（2分）【答案】（√）【解析】对数函数的定义域要求真数大于0，即x+10，解得x-1所以定义域为-1,+∞

3.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边AC=2，则边BC的长度为√2（）（2分）【答案】（√）【解析】由正弦定理可得BC/sinA=AC/sinB，即BC/sin60°=2/sin45°，解得BC=√6/√2=√

34.若复数z=1+i，则z²=2i（）（2分）【答案】（×）【解析】z²=1+i²=1²+2i+i²=1+2i-1=2i

5.直线y=kx+3与圆x-1²+y²=4相交于两点，则k的取值范围是k2（）（2分）【答案】（√）【解析】将直线方程代入圆的方程得x-1²+kx+3²=4，整理得k²+1x²+6k-2x+6=0因为直线与圆相交于两点，所以判别式Δ=6k-2²-4k²+1×60，解得k

26.若函数fx是定义在R上的奇函数，且当x0时，fx=x²-2x，则当x0时，fx=-x²-2x（）（2分）【答案】（√）【解析】因为fx是奇函数，所以f-x=-fx当x0时，fx=x²-2x，所以当x0时，fx=-f-x=--x²-2-x=-x²-2x

7.一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则它的侧面积为15π（）（2分）【答案】（√）【解析】圆锥的侧面积公式为πrl，其中r是底面半径，l是母线长所以侧面积为π×3×5=15π

8.执行以下程序段后，变量s的值是15（）（2分）【答案】（√）【解析】程序执行过程如下i=1时，s=0+1=1，i=2i=2时，s=1+2=3，i=3i=3时，s=3+3=6，i=4i=4时，s=6+4=10，i=5i=5时，s=10+5=15，i=6循环结束，s=

159.某校高三年级有500名学生，为了解他们的视力情况，随机抽取了100名学生进行调查，这种抽样方法是系统抽样（）（2分）【答案】（√）【解析】将500名学生按某种规则（如学号顺序）分成100组，每组5人，然后随机抽取每组的一个学生，这种抽样方法是系统抽样

10.若事件A的概率为1，则A是必然事件（）（2分）【答案】（√）【解析】概率为1的事件是必然事件

五、简答题（每题2-5分，共20分）

1.简述函数单调性的定义【答案】函数单调性是指函数在某个区间内，随着自变量的增大，函数值也增大（单调递增）或函数值减小（单调递减）的性质具体地，如果对于区间I内的任意两个自变量x₁和x₂，当x₁x₂时，总有fx₁≤fx₂（单调递增），或者总有fx₁≥fx₂（单调递减），则称函数fx在区间I上单调递增或单调递减

2.简述复数的基本概念【答案】复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为z=a+bi，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i²=-1复数可以分为实数（b=0）、纯虚数（a=0，b≠0）和一般复数（a≠0，b≠0）复数在复平面上可以用点或向量表示，其实部对应横坐标，虚部对应纵坐标

3.简述三角函数的定义【答案】三角函数是描述角度与三角形边长之间关系的数学函数在直角三角形中，设角A的对边为a，邻边为b，斜边为c，则正弦函数sinA=a/c，余弦函数cosA=b/c，正切函数tanA=a/b在单位圆中，角A的终边与单位圆的交点P的坐标为cosA,sinA

4.简述概率论中的互斥事件和相互独立事件的概念【答案】互斥事件是指两个事件不能同时发生的事件例如，在抛硬币实验中，出现正面和出现反面是互斥事件互斥事件的概率满足PA∪B=PA+PB相互独立事件是指一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率的两个事件例如，在抛硬币实验中，第一次抛出正面和第二次抛出正面是相互独立事件相互独立事件的概率满足PA∩B=PAPB

六、分析题（每题10-15分，共30分）

1.分析函数fx=x³-3x+2的单调性和极值【答案】首先求导数fx=3x²-3=3x²-1=3x-1x+1令fx=0，解得x=-1或x=1通过列表分析单调性|x|-∞,-1|-1|-1,1|1|1,+∞||------|----------|------|--------|-----|--------||fx|+|0|-|0|+||fx|递增|极大|递减|极小|递增|所以函数在-∞,-1和1,+∞上单调递增，在-1,1上单调递减极值点为x=-1（极大值），x=1（极小值）计算极值f-1=-1³-3-1+2=4，f1=1³-31+2=0所以极大值为4，极小值为

02.分析函数fx=e^x+x²的凹凸性和拐点【答案】首先求二阶导数fx=e^x+2x令fx=0，解得x=-ln2通过列表分析凹凸性|x|-∞,-ln2|-ln2|-ln2,+∞||------|----------|------|--------||fx|-|0|+||fx|凹向下|拐点|凹向上|所以函数在-∞,-ln2上凹向下，在-ln2,+∞上凹向上拐点为x=-ln2计算拐点f-ln2=e^-ln2+-ln2²=1/2+ln²2所以拐点为-ln2,1/2+ln²

23.分析函数fx=sinx+cosx在[0,2π]上的单调性和极值【答案】首先求导数fx=cosx-sinx令fx=0，解得cosx=sinx，即tanx=1，解得x=π/4，5π/4通过列表分析单调性|x|[0,π/4|π/4|π/4,5π/4|5π/4|5π/4,2π]||------|----------|-----|------------|------|------------||fx|+|0|-|0|+||fx|递增|极大|递减|极小|递增|所以函数在[0,π/4和5π/4,2π]上单调递增，在π/4,5π/4上单调递减极值点为x=π/4（极大值），x=5π/4（极小值）计算极值fπ/4=sinπ/4+cosπ/4=√2/2+√2/2=√2，f5π/4=sin5π/4+cos5π/4=-√2/2-√2/2=-√2所以极大值为√2，极小值为-√2

七、综合应用题（每题20-25分，共50分）

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每生产一件产品的可变成本为50元，售价为80元求该工厂的盈亏平衡点（即生产多少件产品才能不亏不赚）【答案】设生产x件产品，总收入为80x，总成本为10000+50x盈亏平衡点时总收入等于总成本，即80x=10000+50x解得x=200所以盈亏平衡点为200件产品

2.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名现要随机抽取5名学生参加活动，求抽到3名男生和2名女生的概率【答案】总的抽取方式数为C50,5抽到3名男生和2名女生的方式数为C30,3×C20,2所以概率为[C30,3×C20,2]/C50,5计算得C30,3=30×29×28/3×2×1=4060，C20,2=20×19/2×1=190，C50,5=50×49×48×47×46/5×4×3×2×1=230230所以概率为4060×190/230230≈

0.3367完整标准答案

一、单选题

1.A

2.D

3.A

4.A

5.A

6.A

7.B

8.D

9.A

10.C

二、多选题（每题4分，共20分）

1.A、D

2.A、B、D

3.A、C

4.B、C、E

5.A、B、C、D、E

三、填空题（每题4分，共32分）

1.-2，-2，-

12.√

33.√

24.k

25.-x²-2x

6.15π

7.

158.系统抽样

四、判断题（每题2分，共20分）

1.×

2.√

3.√

4.×

5.√

6.√

7.√

8.√

9.√

10.√

五、简答题（每题2-5分，共20分）

1.函数单调性是指函数在某个区间内，随着自变量的增大，函数值也增大（单调递增）或函数值减小（单调递减）的性质具体地，如果对于区间I内的任意两个自变量x₁和x₂，当x₁x₂时，总有fx₁≤fx₂（单调递增），或者总有fx₁≥fx₂（单调递减），则称函数fx在区间I上单调递增或单调递减

2.复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为z=a+bi，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i²=-1复数可以分为实数（b=0）、纯虚数（a=0，b≠0）和一般复数（a≠0，b≠0）复数在复平面上可以用点或向量表示，其实部对应横坐标，虚部对应纵坐标

3.三角函数是描述角度与三角形边长之间关系的数学函数在直角三角形中，设角A的对边为a，邻边为b，斜边为c，则正弦函数sinA=a/c，余弦函数cosA=b/c，正切函数tanA=a/b在单位圆中，角A的终边与单位圆的交点P的坐标为cosA,sinA

4.互斥事件是指两个事件不能同时发生的事件例如，在抛硬币实验中，出现正面和出现反面是互斥事件互斥事件的概率满足PA∪B=PA+PB相互独立事件是指一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率的两个事件例如，在抛硬币实验中，第一次抛出正面和第二次抛出正面是相互独立事件相互独立事件的概率满足PA∩B=PAPB

六、分析题（每题10-15分，共30分）

1.函数fx=x³-3x+2的单调性和极值首先求导数fx=3x²-3=3x²-1=3x-1x+1令fx=0，解得x=-1或x=1通过列表分析单调性|x|-∞,-1|-1|-1,1|1|1,+∞||------|----------|------|--------|-----|--------||fx|+|0|-|0|+||fx|递增|极大|递减|极小|递增|所以函数在-∞,-1和1,+∞上单调递增，在-1,1上单调递减极值点为x=-1（极大值），x=1（极小值）计算极值f-1=-1³-3-1+2=4，f1=1³-31+2=0所以极大值为4，极小值为

02.函数fx=e^x+x²的凹凸性和拐点首先求二阶导数fx=e^x+2x令fx=0，解得x=-ln2通过列表分析凹凸性|x|-∞,-ln2|-ln2|-ln2,+∞||------|----------|------|--------||fx|-|0|+||fx|凹向下|拐点|凹向上|所以函数在-∞,-ln2上凹向下，在-ln2,+∞上凹向上拐点为x=-ln2计算拐点f-ln2=e^-ln2+-ln2²=1/2+ln²2所以拐点为-ln2,1/2+ln²

23.函数fx=sinx+cosx在[0,2π]上的单调性和极值首先求导数fx=cosx-sinx令fx=0，解得cosx=sinx，即tanx=1，解得x=π/4，5π/4通过列表分析单调性|x|[0,π/4|π/4|π/4,5π/4|5π/4|5π/4,2π]||------|----------|-----|------------|------|------------||fx|+|0|-|0|+||fx|递增|极大|递减|极小|递增|所以函数在[0,π/4和5π/4,2π]上单调递增，在π/4,5π/4上单调递减极值点为x=π/4（极大值），x=5π/4（极小值）计算极值fπ/4=sinπ/4+cosπ/4=√2/2+√2/2=√2，f5π/4=sin5π/4+cos5π/4=-√2/2-√2/2=-√2所以极大值为√2，极小值为-√2

七、综合应用题（每题20-25分，共50分）

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每生产一件产品的可变成本为50元，售价为80元求该工厂的盈亏平衡点（即生产多少件产品才能不亏不赚）设生产x件产品，总收入为80x，总成本为10000+50x盈亏平衡点时总收入等于总成本，即80x=10000+50x解得x=200所以盈亏平衡点为200件产品

2.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名现要随机抽取5名学生参加活动，求抽到3名男生和2名女生的概率总的抽取方式数为C50,5抽到3名男生和2名女生的方式数为C30,3×C20,2所以概率为[C30,3×C20,2]/C50,5计算得C30,3=30×29×28/3×2×1=4060，C20,2=20×19/2×1=190，C50,5=50×49×48×47×46/5×4×3×2×1=230230所以概率为4060×190/230230≈

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