第24章圆培训课件

第章圆培训课件24——目录010203圆的基本概念点和圆的位置关系圆的性质与定理定义、术语和基本结构三种位置关系的判定方法弦的性质与垂直平分线定理040506圆周角及其性质弦与切线典型例题解析圆周角定理与内接四边形切线的定义、性质和定理综合运用各类定理解题课堂小结与拓展圆的定义几何定义圆是平面上到定点距离相等的点的集合这个定点称为圆心，这个相等的距离称为半径数学表达设圆心为，半径为，则圆上任意一点满足O rP|PO|=r圆是几何学中最基本且重要的图形之一，它的完美对称性使其在自然界和人工设计中都有广泛应用理解圆的定义是学习其他性质的基础相关术语介绍半径与直径弦与弧扇形与弦心距半径是从圆心到圆上任意一点的线弦是连接圆上任意两点的线段弧是扇形是由两条半径和一条弧围成的图段直径是通过圆心连接两个圆上点圆周上两点之间的曲线部分，分为优形弦心距是圆心到弦的垂直距离的线段，直径等于半径的两倍弧和劣弧圆的结构示意图图形解析重要提示在这个标准圆形图中，我们可以清楚地看到所有半径都相等，这是圆最基本的特征直圆心是圆的中心点•O径是最长的弦，它将圆分成两个相等的半半径从圆心指向圆上任意一点圆•r弦连接圆上两点和•AB A B弧是、两点间的圆周部分•AB A B点和圆的位置关系点在圆外点在圆上当点到圆心的距离大于半径时，点在当点到圆心的距离等于半径时，点在圆外此时圆上此时dr d=r点在圆内当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内此时dr判断点和圆的位置关系的关键是比较点到圆心的距离与半径的大小这种判定方法在解决几何问题时非常实用例题判断点的位置题目条件解题过程已知圆心的坐标为，半径点到圆心距离O3,4r=5A判断下列各点与圆的位置关系₁d=√[0-3²+0-4²]=√[9+16]=5点因为₁，所以点在圆上•A0,0d=r=5A点•B6,8点到圆心距离B点•C3,9₂d=√[6-3²+8-4²]=√[9+16]=5因为₂，所以点在圆上d=r=5B点到圆心距离C₃d=√[3-3²+9-4²]=√[0+25]=5因为₃，所以点在圆上d=r=5C圆的性质一弦的性质最长弦性质过圆心的弦是直径，直径是圆中最长的弦任何不过圆心的弦都比直径短垂直关系垂直于弦的直径必平分这条弦反之，平分弦的直径必垂直于这条弦（弦不是直径）弦的性质是圆几何中的基础内容，特别是垂直平分关系在解题中应用频繁掌握这些性质有助于理解更复杂的圆的定理垂直平分线定理定理内容记忆要点如果圆心到弦的垂线段存在，那么这条垂线段必然平分该弦，即圆心到弦的垂线是弦的垂直垂直平分线定理是解决弦长问题的重平分线要工具，结合勾股定理可以解决大量推论几何计算题弦心距越小，弦长越大•相等的弦对应相等的弦心距•弦心距、半弦长、半径构成直角三角形•数学表达设弦长为，半径为，弦心距为，则2a rdd²+a²=r²垂直平分线示意图观察要点圆心到弦的垂线O AB OM关键性质垂线平分弦于点OM ABM几何关系，∠∠°AM=MB OMA=OMB=90这个图形清楚地展示了垂直平分线定理的几何意义在实际应用中，我们经常需要利用这种垂直关系来求解弦长、弦心距等问题圆周角的定义圆周角顶点在圆上，两边都通过圆内的角叫做圆周角圆周角的两边是弦或弦的延长线对弧圆周角所对的弧是指圆周角两边在圆上截得的弧同一条弧可以对应多个不同的圆周角圆周角是圆几何中的核心概念，它与圆心角有着密切的关系理解圆周角的定义是学习后续定理的基础圆周角定理圆周角圆心角=½定理表述圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半推论同弧所对的圆周角相等•直径所对的圆周角是直角•的圆周角所对的弦是直径•90°这个定理是圆几何中最重要的定理之一，它揭示了圆周角与圆心角之间的本质联系，在解决角度计算问题中应用广泛例题计算圆周角计算结果应用定理∠∠×°°ACB=½AOB=½80=40题目分析根据圆周角定理，圆周角等于对应圆心角已知圆心角∠，求同弧所的一半AOB=80°AB对的圆周角∠的大小ACB解题技巧在圆周角问题中，首先要确定角的顶点位置和所对的弧，然后应用相应的定理记住直径所对的圆周角永远是这个特殊情况90°圆内接四边形定义四边形的四个顶点都在同一个圆上，这样的四边形叫做圆内接四边形重要性质对角互补圆内接四边形的对角之和等于180°即∠∠，∠∠A+C=180°B+D=180°判定方法四个顶点到某一点距离相等•对角互补的四边形•弦与切线的关系1切线定义与圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点2判定条件直线与圆相交、相切、相离取决于圆心到直线的距离与半径的关系3基本性质切线垂直于过切点的半径这是切线最重要的性质之一切线定理垂直性质切线长定理圆的切线垂直于过切点的半径如果一条直线过半径的外端且垂直从圆外一点向圆引两条切线，这两条切线的长度相等，且该点与圆于半径，则这条直线是圆的切线心的连线平分两切线的夹角切线定理在解决切线长、证明角度关系等问题中有重要应用特别是切线长相等这一性质，常用于构造等腰三角形来解决问题切线示意图几何关系切线与圆相切于点，半径⊥切线，这种垂直关系是切线的基本特征l OT OTl应用要点在解题中，看到切线问题要立即想到垂直关系，经常与勾股定理结合使用这个图形清晰地展示了切线与半径的垂直关系，这是解决切线问题的关键几何性质典型例题解析

（一）弦的性质应用题题目在⊙中，弦的长为，圆的半径为，求弦的弦心距解题步骤O AB8cm5cm AB第一步画出几何图形，设圆心为，弦为，弦心距为O ABOM第二步根据垂直平分线定理，⊥，且OM ABAM=MB=4cm第三步在△中，应用勾股定理Rt OAMOA²=OM²+AM²5²=OM²+4²OM²=25-16=9答案OM=3cm典型例题解析

（二）圆周角定理应用计算过程情况分析当在优弧上时∠C AB ACB=½×问题设置需要分两种情况讨论点在优弧上和C AB120°=60°在⊙中，弦所对的圆心角为，点在劣弧上，因为位置不同对应的圆O AB120°C AB当在劣弧上时∠C ABACB=½×点在圆上（与、不重合），求周角不同C CA B360°-120°=120°∠的度数ACB典型例题解析

（三）切线问题综合题目条件解题思路从圆外一点向⊙引两条切线和，切点分别为、已知关键认识⊥，构成直角三角形P OPA PBA BPA OA⊙的半径为，，求切线长O3OP=5PA应用定理在△中使用勾股定理Rt POA计算过程PO²=PA²+OA²5²=PA²+3²PA²=25-9=16结果PA=4验证根据切线长定理，PB=PA=4生活中的圆车轮设计钟表刻度器皿制作自行车、汽车轮子都是圆形，因为圆形滚动时钟表的表盘是圆形，时针和分针绕着中心转盘子、碗等器皿多采用圆形设计，不仅美观对中心高度不变，保证了平稳运行轮辐从圆心动圆周被均匀分成等分，每个小时对应称，而且圆形边缘没有尖角，使用安全圆形12向边缘辐射，体现了半径相等的特性的圆心角，体现了圆的角度关系也便于在转盘上旋转30°圆的综合应用复杂几何图形中的圆性质运用多弦组合切线交汇圆与多边形当一个圆内有多条弦相交时，需要综合运多条切线形成的图形往往包含等腰三角圆与三角形、四边形结合时，要注意内用弦的性质、圆周角定理等知识点，通过形，利用切线长相等和垂直性质，结合三接、外切等特殊位置关系，这些关系往往辅助线和角度关系来解决问题角形的性质来求解角度和长度隐含着重要的几何性质课堂互动题题目一位置判断题目二角度计算题目三切线证明已知⊙的半径为，点到圆心的距在⊙中，圆心角∠，点已知直线经过⊙上的点，且O4A O AOB=80°C lOA离为，点到圆心的距离为请判断在圆上且与、不重合当点在优弧⊥证明直线是⊙的切线3B5ABC OAl lO点和点分别与圆的位置关系，并说上时，求∠的度数ABABACB明理由请同学们思考以上问题，运用本节课学习的知识点来解决可以小组讨论，然后分享解题思路知识点小结位置关系基本概念点与圆的三种位置关系及其判定方法比较距离与半径大小圆的定义、半径、直径、弦、弧等基本术语及其相互关系弦的性质垂直平分线定理及其应用，弦心距与弦长、半径的关系切线性质圆周角切线垂直于半径、切线长相等定理及其在解题中的应用圆周角定理、同弧所对圆周角相等、直径所对圆周角为直角拓展阅读圆的方程与解析几何圆与其他图形的关系在坐标系中，圆可以用方程表示标准方程为，其中是圆心坐标，是半径圆与直线相离、相切、相交三种位置关系x-a²+y-b²=r²a,b r圆与圆外离、外切、相交、内切、内含五种关系一般方程为，通过配方可以转化为标准方程x²+y²+Dx+Ey+F=0圆与多边形内接圆、外接圆的概念和性质这些拓展内容将在高中阶段深入学习，为解析几何打下基础常见错误解析错误一弦长关系误区错误二角度概念混淆错误三切线判定失误错误认识认为弦越长，弦心距越大错误认识圆周角和圆心角大小相等错误认识与圆只有一个交点的直线就是切线正确理解弦长与弦心距成反比关系，弦正确理解同弧所对的圆周角等于圆心角心距越小，弦长越大直径的弦心距为的一半，要注意角的顶点位置不同正确理解还要验证该直线与过交点的半，是最长的弦径垂直，两个条件缺一不可0复习建议多做图形绘制练习圆的几何问题往往需要准确的图形辅助建议多练习用圆规和直尺绘制标准图形，培养空间想象能力和几何直觉理解定理背后的逻辑不要死记硬背定理条文，要理解每个定理的几何意义和推导过程通过理解来记忆，通过应用来巩固系统化练习解题从基础题目开始，逐步增加难度重点练习弦长计算、角度求解、切线证明等典型题型，形成解题思路模板课后练习题选择题填空题证明题圆的半径为，弦长为，则弦已知圆心角为，则同弧所对的圆已知是⊙的弦，是的中点，

1.5cm6cm

3.60°

6.ABOC AB心距为（）周角为度连接求证⊥____OC OCAB从圆外一点向圆引两条切线，切线长已知⊙中，弦和相交于点，A.3cm B.4cm C.5cm D.8cm

4.

7.O ABCD P分别为证明____PA·PB=PC·PD直径所对的圆周角为（）

2.圆内接四边形对角之和为度

5.____°°°°A.45B.60C.90D.180教师参考资料教材章节链接推荐教学资源人教版数学九年级上册第章几何画板软件动态演示24•配套练习册第章综合练习几何模型教具24•3D中考真题圆的相关题目汇编在线几何作图工具•圆的性质探究实验视频教学建议•重视作图教学，培养学生的空间观念

1.通过实际测量验证理论结果

2.适当补充历史背景，增加趣味性

3.谢谢聆听圆的奥秘课程回顾探索邀请我们系统学习了圆的基本概念、重圆不仅是几何图形，更是自然界和要性质和应用方法，为进一步的几人类文明中的美学象征期待大家何学习奠定了坚实基础在日常生活中发现更多圆的应用学习展望掌握了圆的基础知识后，我们将继续探索更复杂的几何关系，为解析几何和高等数学做准备欢迎提问与交流！让我们一起在数学的世界中发现更多精彩！。