自主招生考试试题及答案

自主招生考试试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）A.y=-2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=sinx【答案】A【解析】一次函数y=kx+b中，k0时为增函数，只有A选项满足条件

2.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_9=20，则a_6等于（）A.5B.10C.15D.20【答案】B【解析】a_3+a_9=2a_6，故a_6=

103.若复数z满足|z-1|=1，则z在复平面上对应的点的轨迹是（）A.直线B.圆C.抛物线D.双曲线【答案】B【解析】表示以（1，0）为圆心，半径为1的圆

4.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2+x-6=0}，则A∩B等于（）A.{1}B.{2}C.{1，2}D.{3}【答案】C【解析】A={1，2}，B={-3，2}，故A∩B={2}

5.函数fx=log_ax+1在x∈0，+∞上是减函数，则a的取值范围是（）A.0，1B.1，2C.2，+∞D.0，1∪1，+∞【答案】A【解析】对数函数底数a1时为减函数

6.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C等于（）A.75°B.105°C.120°D.135°【答案】A【解析】三角形内角和为180°，故角C=180°-60°-45°=75°

7.设函数fx=x^3-3x^2+2，则fx在x=1处的切线方程是（）A.y=xB.y=-xC.y=x-1D.y=-x+1【答案】D【解析】f1=-1，f1=0，故切线方程为y=-x+

18.在直角坐标系中，点Pa，b到直线x+y=1的距离为√2，则a^2+b^2等于（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】距离公式得|a+b-1|=2√2，平方后a^2+b^2+2ab=8，由对称性取最小值

29.已知向量a=1，2，b=3，-1，则向量a+b的模长等于（）A.√5B.2√5C.3√5D.5√2【答案】B【解析】a+b=4，1，|a+b|=√17≈

4.123，最接近2√

510.某校高三年级有学生300人，其中男生200人，女生100人，现随机抽取3人组成学习小组，则抽到3名女生的概率是（）A.1/300B.1/60C.1/15D.1/125【答案】B【解析】C100,3/C300,3=1/60

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中正确的有（）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.若fx是奇函数，则f0=0D.若|z|=1，则z^2=1E.等腰三角形的底角相等【答案】A、E【解析】B反例a=1，b=-2；C反例fx=x+1；D反例z=i

2.关于函数fx=ax^2+bx+c的下列说法中正确的有（）A.若a0，则函数有最小值B.对称轴为x=-b/2aC.若△=b^2-4ac0，则函数图像与x轴无交点D.若f1=f-1，则图像过原点E.若a=b=1，c=-2，则函数图像过点1，0【答案】A、B、C【解析】D反例fx=x^2-1；E代入得f1=-2≠

03.在空间几何体中，下列说法正确的有（）A.长方体的对角线长相等B.正方体的对角线长都相等C.球面上任意两点可连成一条直线D.直四棱柱的体积等于底面积乘高E.三棱锥的体积等于底面积乘高的三分之一【答案】A、B、D、E【解析】C球面上两点应连线为大圆劣弧

4.在等差数列{a_n}中，下列结论正确的有（）A.a_1+a_n=a_2+a_{n-1}B.S_n=na_1+nn-1d/2C.a_m=a_1+m-1dD.S_{2n}=2S_n+n^2dE.若a_p=a_q，则p=q【答案】A、B、C、D【解析】E反例等差数列中不同项可能相等

5.在概率统计中，下列说法正确的有（）A.互斥事件不可能同时发生B.古典概型的概率是PA=nA/nSC.独立重复试验中每次试验结果相同D.样本容量越大，估计越精确E.频率分布直方图的高度表示频率【答案】A、B、D、E【解析】C独立重复试验要求各次试验条件相同但结果可不同

三、填空题（每题4分，共32分）

1.已知cosα+β=1/2，cosα-β=-1/2，且0αβπ，则β=__π/3__

2.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是

33.在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=3:4:5，则最大角的度数是90°

4.直线x=2与抛物线y^2=8x的焦点距离是

45.若复数z满足z+2i/1-3i是实数，则z的实部是-3/

106.从5名男生和4名女生中选出3人参加比赛，则选出的3人中有2名男生和1名女生的概率是3/

87.在等比数列{a_n}中，若a_1=1，a_4=16，则a_3=

88.函数fx=e^x-1的图像关于点0，1对称，则fx的反函数图像关于点1，0对称

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在该区间上连续（）【答案】（×）【解析】反例分段函数fx=x（x0），-x（x0），在x=0处不连续但单调递增

2.若|z|=1，则z^3+z^2+z+1=0（）【答案】（×）【解析】z=i时，z^3+z^2+z+1=0；z=-i时，z^3+z^2+z+1=4≠

03.若向量a=1，1，b=1，-1，则a+b垂直于a-b（）【答案】（√）【解析】a+b=2，0，a-b=0，2，内积为

04.若三角形的边长为a，b，c，且满足a^2+b^2=c^2，则该三角形是直角三角形（）【答案】（√）【解析】满足勾股定理，由勾股定理逆定理得为直角三角形

5.若样本数据呈正态分布，则其频率分布直方图关于中位数对称（）【答案】（√）【解析】正态分布图像关于均值对称，样本中位数约等于均值

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1，3]上的最大值和最小值【答案】f-1=-2，f0=2，f1=0，f2=-1，f3=2，故最大值2，最小值-

22.证明若a，b，c为正数，且a+b+c=1，则a+1/bb+1/cc+1/a≥8【证明】由均值不等式得a+1/b≥2√a/b，b+1/c≥2√b/c，c+1/a≥2√c/a，相乘得a+1/bb+1/cc+1/a≥8√abc，由对称性a+b+c=1，abc≤a+b+c^3/27=1/27，故原式≥8√1/27=8/3√3≥

83.已知函数fx=x^2+px+q，若fx在x=1处取得最小值-2，求p和q的值【答案】fx=2x+p，f1=0得p=-2，f1=1+p+q=-2，解得q=-1

六、分析题（每题12分，共24分）

1.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，边BC=6，求边AB和边AC的长度【解】由正弦定理得AB/sin60°=BC/sin30°，AB=6√3/2×2=3√3，AC/sin60°=BC/sin30°，AC=6√3/2×2=3√3，故AB=AC=3√

32.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，求通项公式a_n【解】a_{n+1}+1=2a_n+1，数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，a_n+1=2^n，故a_n=2^n-1

七、综合应用题（20分）在直角坐标系中，椭圆C的方程为x^2/9+y^2/4=1，过点P1，0的直线l与椭圆C交于A，B两点，且|PA|=|PB|，求直线l的方程【解】设Ax_1，y_1，Bx_2，y_2，由中点坐标公式得AB中点Mx_1+x_2/2，y_1+y_2/2，由对称性得直线PM⊥AB，PM斜率k_PM=0，故AB斜率k_AB不存在，即直线l为x=1，代入椭圆方程得y^2/4=1，故y=±2，A1，2，B1，-2，直线方程为x=1---标准答案

一、单选题

1.A

2.B

3.B

4.C

5.A

6.A

7.D

8.B

9.B

10.B

二、多选题

1.A、E

2.A、B、C

3.A、B、D、E

4.A、B、C、D

5.A、B、D、E

三、填空题

1.π/

32.

33.90°

4.

45.-3/

106.3/

87.

88.1，0

四、判断题

1.×

2.×

3.√

4.√

5.√

五、简答题

1.最大值2，最小值-2；

2.见证明；

3.p=-2，q=-1

六、分析题

1.A=3√3，AC=3√3；

2.a_n=2^n-1

七、综合应用题x=1。