高一函数试题及答案

高一函数试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）（2分）A.y=-2x+1B.y=x²C.y=1/xD.y=|x|【答案】A【解析】一次函数y=-2x+1的斜率为负，故为减函数；y=x²为开口向上的抛物线，在x0时为增函数，在x0时为减函数；y=1/x为双曲线，在x0时为减函数，在x0时为增函数；y=|x|在x0时为增函数，在x0时为减函数只有y=-2x+1在整个定义域内是减函数

2.函数fx=x³-3x+1的导数fx等于（）（2分）A.3x²-3B.3x²+3C.2x³-3xD.x³-3x²【答案】A【解析】根据求导公式，fx=x³-3x+1=3x²-

33.函数y=sinx+π/2的图像可以看作是函数y=sinx的图像（）（2分）A.向左平移π/2个单位B.向右平移π/2个单位C.向左平移π个单位D.向右平移π个单位【答案】B【解析】根据函数平移的性质，y=sinx+π/2相当于y=sinx向左平移π/2个单位

4.函数fx=log₃x-1的定义域是（）（2分）A.x1B.x1C.x≥1D.x≤1【答案】A【解析】对数函数log₃x-1中，x-1必须大于0，即x

15.函数y=2cos2x+π/3的最小正周期是（）（2分）A.πB.π/2C.2πD.π/4【答案】A【解析】函数y=2cos2x+π/3的周期为2π/|ω|=2π/2=π

6.函数y=3^x在x=1处的切线斜率是（）（2分）A.3B.1C.log₃eD.3^1【答案】A【解析】函数y=3^x在x=1处的导数为f1=3^1ln3=

37.函数fx=|x-1|在x=2处的导数是（）（2分）A.1B.-1C.0D.不存在【答案】C【解析】函数fx=|x-1|在x=2处的导数为

08.函数y=arctanx的值域是（）（2分）A.RB.-π/2,π/2C.[-π/2,π/2]D.0,π【答案】B【解析】反正切函数y=arctanx的值域为-π/2,π/

29.函数y=x²-4x+4的顶点坐标是（）（2分）A.2,0B.2,4C.0,4D.-2,4【答案】B【解析】函数y=x²-4x+4可以写成y=x-2²，顶点坐标为2,

010.函数fx=e^x在x=0处的泰勒展开式的前三项是（）（2分）A.1+x+x²B.1+xC.1D.1-x【答案】A【解析】函数fx=e^x在x=0处的泰勒展开式为1+x+x²/2!+x³/3!+...，前三项为1+x+x²

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在其定义域内是奇函数？（）A.y=x³B.y=1/xC.y=sinxD.y=cosxE.y=tanx【答案】A、B、C、E【解析】奇函数满足f-x=-fxy=x³、y=1/x、y=sinx、y=tanx都是奇函数，y=cosx是偶函数

2.以下哪些函数在其定义域内是单调递增的？（）A.y=2x+1B.y=x²C.y=e^xD.y=lnxE.y=1/x【答案】A、C、D【解析】一次函数y=2x+

1、指数函数y=e^x、对数函数y=lnx在其定义域内都是单调递增的，y=x²在x0时单调递增，在x0时单调递减，y=1/x在x0时单调递减，在x0时单调递增

3.以下哪些函数的图像关于原点对称？（）A.y=x³B.y=1/xC.y=sinxD.y=cosxE.y=tanx【答案】A、B、C、E【解析】图像关于原点对称的函数是奇函数，即f-x=-fxy=x³、y=1/x、y=sinx、y=tanx都是奇函数，y=cosx是偶函数

4.以下哪些函数在其定义域内是周期函数？（）A.y=sinxB.y=cosxC.y=tanxD.y=1/xE.y=x²【答案】A、B、C【解析】周期函数满足fx+T=fxy=sinx、y=cosx、y=tanx都是周期函数，y=1/x和y=x²不是周期函数

5.以下哪些函数在其定义域内是偶函数？（）A.y=x²B.y=cosxC.y=1/xD.y=lnxE.y=tanx【答案】A、B【解析】偶函数满足f-x=fxy=x²、y=cosx是偶函数，y=1/x、y=lnx、y=tanx是奇函数

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数fx=x³-3x+2的极值点是______、______（4分）【答案】

1、-1【解析】fx=3x²-3，令fx=0，得x=±1，f-1=5，f1=-1，故极值点是1和-

12.函数fx=e^x的麦克劳林展开式的前三项是______、______、______（4分）【答案】

1、x、x²/2【解析】函数fx=e^x的麦克劳林展开式为1+x+x²/2!+x³/3!+...，前三项为1+x+x²/

23.函数fx=sinx-cosx的周期是______（4分）【答案】2π【解析】函数fx=sinx-cosx可以写成√2sinx-π/4，周期为2π

4.函数fx=lnx+1在x=0处的导数是______（4分）【答案】1【解析】函数fx=lnx+1在x=0处的导数为f0=1/0+1=

15.函数fx=x²-4x+4在x=2处的切线方程是______（4分）【答案】y=0【解析】函数fx=x²-4x+4在x=2处的导数为f2=2x-4=0，切线方程为y=0

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数fx=x³在x=0处的导数是0（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=3x²，f0=3×0²=

02.函数fx=sinx在x=π处的导数是1（）（2分）【答案】（×）【解析】fx=cosx，fπ=cosπ=-

13.函数fx=e^x在x=0处的导数是1（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=e^x，f0=e^0=

14.函数fx=lnx在x=1处的导数是1（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=1/x，f1=1/1=

15.函数fx=cosx在x=π/2处的导数是0（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=-sinx，fπ/2=-sinπ/2=-1

五、简答题（每题4分，共12分）

1.简述函数单调性的定义（4分）【答案】函数单调性是指函数在某个区间内随着自变量的增大而增大或减小的性质具体来说，如果对于区间内的任意两个自变量x₁和x₂，当x₁x₂时，总有fx₁fx₂，则函数在该区间内是单调递增的；当x₁x₂时，总有fx₁fx₂，则函数在该区间内是单调递减的

2.简述函数奇偶性的定义（4分）【答案】函数奇偶性是指函数关于原点对称的性质具体来说，如果对于函数定义域内的任意一个自变量x，都有f-x=-fx，则函数是奇函数；如果都有f-x=fx，则函数是偶函数

3.简述函数周期性的定义（4分）【答案】函数周期性是指函数在某个固定的非零实数T的周期内，函数值重复出现的性质具体来说，如果对于函数定义域内的任意一个自变量x，都有fx+T=fx，且T是最小的正数，则函数是周期函数，T称为函数的周期

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x³-3x²+2的图像特征（10分）【答案】函数fx=x³-3x²+2的图像特征如下

（1）定义域R

（2）奇偶性f-x=-x³+3x²+2≠-fx且f-x≠fx，故函数既不是奇函数也不是偶函数

（3）单调性fx=3x²-6x=3xx-2，令fx=0，得x=0或x=2当x0时，fx0，函数单调递增；当0x2时，fx0，函数单调递减；当x2时，fx0，函数单调递增

（4）极值f0=2，f2=-2，故x=0处为极大值点，x=2处为极小值点

（5）渐近线无水平渐近线和垂直渐近线

（6）对称性无对称性

2.分析函数fx=sinx-cosx的图像特征（10分）【答案】函数fx=sinx-cosx的图像特征如下

（1）定义域R

（2）奇偶性f-x=-sinx+cosx=-fx，故函数是奇函数

（3）单调性fx=cosx+sinx，令fx=0，得cosx=-sinx，即x=3π/4+kπ，k为整数当x3π/4+kπ时，fx0，函数单调递减；当x3π/4+kπ时，fx0，函数单调递增

（4）极值f3π/4=√2/2-√2/2=0，f7π/4=√2/2+√2/2=√2，故x=3π/4+kπ处为极小值点，x=7π/4+kπ处为极大值点

（5）周期性fx+2π=sinx+2π-cosx+2π=sinx-cosx，故函数的周期为2π

（6）对称性图像关于原点对称

七、综合应用题（每题15分，共30分）

1.已知函数fx=x³-3x²+2，求函数的极值点，并画出函数的图像（15分）【答案】

（1）求导数fx=3x²-6x=3xx-2

（2）令fx=0，得x=0或x=2

（3）列表分析x|-∞,0|0|0,2|2|2,+∞fx|+|0|-|0|+fx|↗|极大|↘|极小|↗

（4）极值f0=2，f2=-2

（5）图像特征-定义域R-奇偶性非奇非偶-单调性x0时单调递增，0x2时单调递减，x2时单调递增-极值点x=0（极大值点），x=2（极小值点）-渐近线无-对称性无

2.已知函数fx=sinx-cosx，求函数的周期，并画出函数的图像（15分）【答案】

（1）求导数fx=cosx+sinx

（2）令fx=0，得cosx=-sinx，即x=3π/4+kπ，k为整数

（3）列表分析x|-∞,3π/4|3π/4|3π/4,7π/4|7π/4|7π/4,+∞fx|+|0|-|0|+fx|↗|极大|↘|极小|↗

（4）极值f3π/4=√2/2-√2/2=0，f7π/4=√2/2+√2/2=√2

（5）周期性fx+2π=sinx+2π-cosx+2π=sinx-cosx，故函数的周期为2π

（6）图像特征-定义域R-奇偶性奇函数-单调性x3π/4+kπ时单调递增，3π/4+kπx7π/4+kπ时单调递减，x7π/4+kπ时单调递增-极值点x=3π/4+kπ处为极小值点，x=7π/4+kπ处为极大值点-渐近线无-对称性图像关于原点对称。