高二数学竞赛试题及答案

高二数学竞赛试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.1B.3C.2D.0【答案】B【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，最小值为

32.若复数z满足z²=i，则z的模长为（）（2分）A.1B.√2C.√3D.2【答案】A【解析】设z=a+bi，则a+bi²=i，解得a=0,b=1或a=0,b=-1，模长均为

13.一个四面体的四个顶点分别是A1,0,0，B0,1,0，C0,0,1，D1,1,1，则AC与BD所成角的余弦值为（）（2分）A.1/3B.2/3C.1/2D.√2/2【答案】C【解析】AC=0,0,1，BD=1,0,1，cosθ=|AC·BD|/|AC||BD|=1/√2×√2=1/

24.设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_4=10，S_10=40，则a_6的值为（）（2分）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】S_n=n/22a_1+n-1d，由S_4=10，S_10=40，解得a_1=1，d=1，a_6=

55.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次出现的点数之和大于9的概率为（）（2分）A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18【答案】A【解析】总情况36种，点数和大于9的有4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6共6种，概率为6/36=1/

66.函数fx=x³-3x在区间[-2,2]上的最大值是（）（2分）A.2B.4C.8D.0【答案】C【解析】fx=3x²-3，令fx=0得x=±1，f-2=-2，f-1=2，f1=-2，f2=8，最大值为

87.抛物线y²=4x的焦点到准线的距离是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】焦点1,0，准线x=-1，距离为

28.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则tanC的值为（）（2分）A.√3/3B.1C.√2D.√3【答案】C【解析】tanC=tan180°-60°-45°=tan75°=√3+1/√3-1×√2=√

29.设函数fx=sin²x+cos²π/4-x，则fx的最小正周期是（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.π/4【答案】A【解析】fx=1/2[1-cos2x]+1/2[1+cosπ/2-2x]=1/2+1/2cos2x+π/4，周期为π

10.已知椭圆x²/a²+y²/b²=1的离心率为√2/2，则椭圆的短轴长与长轴长的比值为（）（2分）A.1/2B.1/√2C.√2/2D.1【答案】B【解析】e=c/a=√1-b²/a²=√2/2，b/a=1/√2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中正确的是（）（4分）A.若ab，则a²b²B.若ab，则√a√bC.若a²b²，则abD.若ab，则1/a1/b【答案】B、D【解析】A反例a=2,b=-3；C反例a=-3,b=2；B、D成立

2.已知函数fx=x²-2x+3，则下列说法正确的是（）（4分）A.fx在x=1处取得最小值B.fx的图像开口向上C.fx的对称轴方程为x=-1D.fx在-∞,1上单调递减【答案】A、B、D【解析】fx=x-1²+2，开口向上，对称轴x=1，最小值2，-∞,1递减

3.在等比数列{a_n}中，若a_1=a，公比为q，则下列说法正确的是（）（4分）A.a_n=a·q^n-1B.S_n=a1-q^n/1-qC.若q=-1，则数列为0D.若a0，q0，则数列为负数【答案】A、B【解析】C反例a_1=-1，q=-1，a_2=1；D反例a=-1，q=2，a_2=

24.已知圆C的方程为x-1²+y-2²=4，则下列说法正确的是（）（4分）A.圆心坐标为1,2B.圆的半径为2C.圆与x轴相切D.圆与y轴相切【答案】A、B、C【解析】圆心1,2，半径2，圆心到x轴距离1，与x轴相切

5.已知向量a=1,2，b=3,-1，则下列说法正确的是（）（4分）A.|a+b|=√17B.a·b=-1C.a⊥bD.a/b=1/3【答案】A、B【解析】a+b=4,1，|a+b|=√17，a·b=1×3+2×-1=-1，a不垂直于b，向量不能相除

三、填空题（每题4分，共32分）

1.已知直线l x+2y-1=0与圆C x-1²+y²=4相交于A、B两点，则|AB|的长为______（4分）【答案】2√3【解析】圆心1,0到直线距离d=√3，|AB|=2√r²-d²=2√

32.已知函数fx=2cos²x-sin2x+1，则fπ/4的值为______（4分）【答案】1【解析】fπ/4=2×√2/2²-sinπ/2+1=

13.已知三角形ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，C=60°，则c的值为______（4分）【答案】5【解析】c²=a²+b²-2abcosC=9+16-24×1/2=25，c=

54.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=25，S_10=70，则a₁₀的值为______（4分）【答案】15【解析】a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=25，a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀=45，a₁₀=a₅+5d，解得a₁₀=

155.已知复数z=1+i，则z³的实部为______（4分）【答案】-4【解析】z³=1+i³=1+3i+3i²+i³=1+3i-3-i=-2+2i，实部为-

26.已知函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为______（4分）【答案】3【解析】fx=3x²-a，f1=3-a=0，a=

37.已知圆C₁x²+y²=1与圆C₂x²+y²-2x+4y-3=0相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为______（4分）【答案】x-y+1=0【解析】两圆方程相减得2x-4y+4=0，即x-2y+2=0，AB中点在1,0，垂直平分线斜率为1，方程为y=x-

18.已知函数fx=e^kx-kx-1，若f1=0，则k的值为______（4分）【答案】1【解析】f1=e^k-k-1=0，令gk=e^k-k-1，gk=e^k-1，gk在k=0处取最小值-1，g1=0，k=1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若a0，则log_a1/a0（）（2分）【答案】（×）【解析】log_a1/a=-

102.若向量a=1,2，b=3,-1，则a+b=4,1（）（2分）【答案】（√）【解析】a+b=1+3,2-1=4,

13.若三角形ABC的三边长分别为3，4，5，则角B=60°（）（2分）【答案】（√）【解析】由3²+4²=5²，知为直角三角形，角B=60°

4.若函数fx在区间a,b上单调递增，则fx在该区间上存在最大值（）（2分）【答案】（×）【解析】0,1上fx=x单调递增，无最大值

5.若复数z满足|z|=1，则z²=1（）（2分）【答案】（×）【解析】z=±i时，z²=-1

五、简答题（每题4分，共12分）

1.已知函数fx=x²-ax+1在x=2处取得最小值，求a的值及最小值（4分）【答案】a=4，最小值-3【解析】fx=2x-a，f2=4-a=0，a=4，f2=4-8+1=-

32.已知向量a=3,4，b=1,-2，求向量a+b的坐标及|a+b|的长（4分）【答案】4,-6，√52【解析】a+b=3+1,4-2=4,-6，|a+b|=√4²+-6²=√

523.已知三角形ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√3，C=30°，求cosA的值（4分）【答案】√3/2【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB，sinB=b·sinA/a=√3/2，B=60°，A=90°-B-30°=30°，cosA=cos30°=√3/2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值及取得最小值时的x值（10分）【答案】最小值3，x=-2或x=1【解析】fx在-∞,-2上递减，-2,1上递增，-∞,1上递减，1,+∞上递增，最小值为x=-2或x=1时的值

32.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁=1，S₃=3，求通项公式a_n（10分）【答案】a_n=1/2n【解析】S₁=a₁=1，S₃=3a₁+3d=3，d=1/2，a_n=a₁+n-1d=1/2n

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值

（1）求a的值；

（2）判断fx在x=1处的极值是极大值还是极小值；

（3）求fx的单调区间（25分）【答案】

（1）a=3

（2）极小值

（3）-∞,1递减，1,+∞递增【解析】

（1）fx=3x²-a，f1=3-a=0，a=3

（2）fx=6x，f1=60，极小值

（3）fx=3x²-3=3x+1x-1，x∈-∞,-1递增，-1,1递减，1,+∞递增

2.已知圆C₁x²+y²=1与圆C₂x²+y²-2x+4y-3=0相交于A、B两点

（1）求公共弦AB的方程；

（2）求线段AB的垂直平分线的方程；

（3）求圆C₁与圆C₂的公共面积（25分）【答案】

（1）x-2y+2=0

（2）x-y+1=0

（3）√3-π/3【解析】

（1）两圆方程相减得2x-4y+4=0，即x-2y+2=0

（2）圆心C₁0,0，C₂1,-2，AB中点1,0，垂直平分线斜率为1，方程为y=x-1

（3）两圆相交，半径√5，√2，圆心距√5，公共弦长2√2-1²=2√1=2，公共面积S=2×1/2×2×√3-√3-π/3=√3-π/3---标准答案

一、单选题

1.B

2.A

3.C

4.C

5.A

6.C

7.B

8.C

9.A

10.B

二、多选题

1.B、D

2.A、B、D

3.A、B

4.A、B、C

5.A、B

三、填空题

1.2√

32.

13.

54.

155.-

26.

47.x-y+1=

08.1

四、判断题

1.×

2.√

3.√

4.×

5.×

五、简答题

1.a=4，最小值-

32.4,-6，√

523.cosA=√3/2

六、分析题

1.最小值3，x=-2或x=

12.a_n=1/2n

七、综合应用题

1.

（1）a=3

（2）极小值

（3）-∞,1递减，1,+∞递增

2.

（1）x-2y+2=0

（2）x-y+1=0

（3）√3-π/3。