高等数学二试题及答案

高等数学二试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）（2分）A.y=3x^2B.y=|x|C.y=2xD.y=x^3【答案】B【解析】绝对值函数在x=0处不可导

2.极限limx→0sinx/x的值是（）（2分）A.0B.1C.∞D.-1【答案】B【解析】利用基本极限limx→0sinx/x=

13.函数y=lnx+1在区间-1,0内的单调性是（）（2分）A.单调递增B.单调递减C.不单调D.不确定【答案】A【解析】对函数求导y=1/x+1，在-1,0内y＞0，故单调递增

4.下列级数中，收敛的是（）（2分）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞1/n^3D.∑n=1to∞-1^n/n【答案】C【解析】p-级数当p＞1时收敛，1/n^3符合条件

5.曲线y=2x^3-3x^2+x在x=1处的切线斜率是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】求导y=6x^2-6x+1，x=1时y=

16.函数y=√x+1在x=0处的泰勒展开式的前三项是（）（2分）A.1+x+x^2/2B.1+1/2x+x^2/4C.1+1/2x+x^2/8D.1-x+x^2/2【答案】B【解析】利用泰勒公式展开

7.下列积分中，值为0的是（）（2分）A.∫[0,π]sinxdxB.∫[0,1]xdxC.∫[0,π]cosxdxD.∫[0,1]sinxdx【答案】C【解析】∫[0,π]cosxdx=sinx|[0,π]=sinπ-sin0=

08.下列微分方程中，线性微分方程是（）（2分）A.y+y^2=0B.y+y=xC.y+y=y^3D.y+y=y【答案】D【解析】线性微分方程形式为y+Pxy+Qxy=fx

9.函数y=2cos3x+π/4的周期是（）（2分）A.2πB.πC.2π/3D.π/3【答案】C【解析】周期T=2π/|ω|=2π/

310.向量场F=x,y,z在点1,1,1处的散度是（）（2分）A.3B.2C.1D.0【答案】A【解析】散度∇·F=1,1,1=1+1+1=3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在区间0,1内连续？（）（4分）A.y=1/xB.y=sinxC.y=lnxD.y=tanxE.y=cosx【答案】B、C、E【解析】1/x在0,1内不连续，tanx在0,1内无定义

2.以下哪些是可积函数？（）（4分）A.y=1/x^2B.y=sin1/xC.y=cosxD.y=lnxE.y=tanx【答案】C、D【解析】1/x^2在0,1内不可积，sin1/x在0,1内不可积，tanx在0,π/2内无界

3.以下哪些级数收敛？（）（4分）A.∑n=1to∞1/n^pp1B.∑n=1to∞-1^n/nC.∑n=1to∞1/n+1D.∑n=1to∞1/n^2E.∑n=1to∞1/n^3【答案】A、B、D、E【解析】1/n+1发散

4.以下哪些是微分方程的解？（）（4分）A.y=e^xB.y=xe^xC.y=2e^xD.y=3e^xE.y=4e^x【答案】A、B、C、D、E【解析】y=e^x及其线性组合都是解

5.以下哪些向量场是保守场？（）（4分）A.F=y,-xB.F=x,yC.F=y/x,x/yD.F=sinx,cosxE.F=y^2,-2xy【答案】A、D【解析】保守场要求curlF=0

三、填空题（每题4分，共16分）

1.函数y=3x^2-2x+1在x=1处的导数值是______（4分）【答案】4【解析】y=6x-2，x=1时y=

42.级数∑n=1to∞1/2^n的前n项和的极限是______（4分）【答案】1【解析】等比级数求和

3.函数y=lnx^2在x=1处的二阶导数值是______（4分）【答案】-2【解析】y=2x/x^2=2/x，y=-2/x^2，x=1时y=-

24.曲线y=x^3在点1,1处的法线方程是______（4分）【答案】x+y=2【解析】y=3x^2，x=1时y=3，法线斜率-1/3，方程y-1=-1/3x-1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上必有最大值和最小值（）（2分）【答案】（√）【解析】根据极值定理

2.若级数∑a_n收敛，则级数∑a_n^2也收敛（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a_n=1/n

3.若函数fx在x=x_0处可导，则它在x=x_0处必连续（）（2分）【答案】（√）【解析】可导必连续

4.若向量场F是保守场，则它的旋度必为0（）（2分）【答案】（√）【解析】保守场定义要求curlF=

05.若函数fx在区间I上单调递增，则它的反函数在区间I上也单调递增（）（2分）【答案】（√）【解析】反函数性质

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述导数的几何意义（5分）【答案】函数在某点处的导数等于该点处切线的斜率

2.简述级数收敛的必要条件（5分）【答案】若级数∑a_n收敛，则limn→∞a_n=

03.简述定积分的几何意义（5分）【答案】定积分表示曲线与x轴围成的面积

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数y=2x^3-3x^2+x在区间-1,3内的单调性和极值（10分）【答案】求导y=6x^2-6x+1，令y=0得x=1/2，x=1/3，测试区间-1,1/

3、1/3,1/

2、1/2,3，在-1,1/3和1/2,3内y＞0，单调递增；在1/3,1/2内y＜0，单调递减极大值x=1/3，极小值x=1/

22.分析级数∑n=1to∞n/n+1^2的收敛性（10分）【答案】利用比较判别法，n/n+1^2＜1/n^2，而∑1/n^2收敛，故原级数收敛

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.计算定积分∫[0,1]x^2+x/1+x^2dx（25分）【答案】原式=∫[0,1]x^2+x/1+x^2dx=∫[0,1]1+x/1+x^2dx=∫[0,1]dx+∫[0,1]x/1+x^2dx=x|_[0,1]+1/2ln1+x^2|_[0,1]=1+1/2ln

22.解微分方程y-4y+3y=0（25分）【答案】特征方程r^2-4r+3=0，解得r=1,3，通解y=C1e^x+C2e^3x完整标准答案

一、单选题

1.B

2.B

3.A

4.C

5.A

6.B

7.C

8.D

9.C

10.A

二、多选题

1.B、C、E

2.C、D

3.A、B、D、E

4.A、B、C、D、E

5.A、D

三、填空题

1.

42.

13.-

24.x+y=2

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.函数在某点处的导数等于该点处切线的斜率

2.若级数∑a_n收敛，则limn→∞a_n=

03.定积分表示曲线与x轴围成的面积

六、分析题

1.单调递增区间-1,1/

3、1/2,3；单调递减区间1/3,1/2；极大值x=1/3；极小值x=1/

22.级数收敛

七、综合应用题

1.原式=1+1/2ln

22.通解y=C1e^x+C2e^3x。