专升本试题及答案数学

专升本试题及答案数学

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=lnx^2-2x+3的定义域是（）（2分）A.-∞,1∪1,+∞B.[1,3]C.RD.-1,3【答案】C【解析】x^2-2x+3=x-1^2+2≥20，对任意x∈R都成立，故定义域为R

2.极限limx→2x^2-4/x-2的值是（）（2分）A.4B.-4C.0D.不存在【答案】A【解析】原式=limx→2x+2=

43.函数fx=x^3-3x+2在区间[-2,2]上的最大值是（）（2分）A.2B.8C.6D.10【答案】B【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f-2=-10，f-1=4，f1=0，f2=8，最大值为

84.曲线y=x^3-3x^2+2在点1,0处的切线方程是（）（2分）A.y=-2x+2B.y=2x-2C.y=-x+1D.y=x-1【答案】A【解析】y|_{x=1}=3x^2-6x|_{x=1}=-2，切线方程为y-0=-2x-1，即y=-2x+

25.不等式|x-1|2的解集是（）（2分）A.-1,3B.-1,3]C.[-1,3D.[-1,3]【答案】C【解析】-2x-12，解得-1x3，即-1,

36.抛物线y^2=8x的焦点坐标是（）（2分）A.2,0B.0,2C.-2,0D.0,-2【答案】A【解析】焦点在x轴上，p=4，焦点坐标为2,

07.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_4=7，则a_7的值是（）（2分）A.12B.13C.14D.15【答案】C【解析】d=a_4-a_1/4-1=5/3，a_7=a_4+3d=7+5=

128.若复数z=1+i，则|z|^2的值是（）（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】|z|^2=1^2+1^2=

29.从n个不同元素中任取mm≤n个元素的组合数记作Cn,m，则Cn,m+Cn,m-1=（）（2分）A.Cn+1,mB.Cn+1,m-1C.Cn,m+1D.Cn-1,m【答案】A【解析】根据组合数性质Cn,m+Cn,m-1=Cn+1,m

10.矩阵A=[1,2;3,4]的转置矩阵A^T是（）（2分）A.[1,3;2,4]B.[2,4;1,3]C.[3,1;4,2]D.[4,2;3,1]【答案】A【解析】转置即行列互换，A^T=[1,3;2,4]

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间0,+∞上单调递增的是（）（4分）A.y=x^2B.y=e^xC.y=lnx+1D.y=1/x【答案】A、B、C【解析】y=2x0，y=e^x0，y=1/x+10，y=-1/x^

202.下列命题中，正确的是（）（4分）A.0是偶数B.无理数集是数集R的子集C.空集是任何集合的子集D.相交的集合一定是真子集【答案】A、B、C【解析】D错，相交集合可以是相等的

3.若向量a=[1,2]，b=[3,4]，则下列运算正确的是（）（4分）A.a·b=11B.|a|=√5C.|b|=5D.a×b=2【答案】A、B、C【解析】a·b=1×3+2×4=11，|a|=√1^2+2^2=√5，|b|=√3^2+4^2=5，a×b=1×4-2×3=-

24.关于直线l ax+by+c=0，下列说法正确的是（）（4分）A.当a=0时，l平行于x轴B.当b=0时，l平行于y轴C.当c=0时，l过原点D.l的斜率是-b/a【答案】A、B、C【解析】D错，斜率是-a/bb≠

05.下列命题中，为真命题的是（）（4分）A.若ab，则a^2b^2B.若a^2b^2，则abC.若a·b0，则a,b同号D.若a,b同号，则a·b0【答案】C、D【解析】A、B错，如a=2,b=-3

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若函数fx=x^2+px+q的图像过点1,3且顶点在直线y=-x上，则p=______，q=______（4分）【答案】2，2【解析】f1=1+p+q=3，即p+q=2；顶点-p/2,-p^2/4+q，代入y=-x得-p^2/4+p/2=-p/2，解得p=2，q=

02.在等比数列{a_n}中，若a_1=1，a_3=8，则公比q=______（4分）【答案】2【解析】a_3=a_1q^2，8=1×q^2，得q=±2，由于等比数列通项a_n=a_1q^{n-1}，q

03.不等式|2x-1|≥3的解集是______（4分）【答案】-∞,-1]∪[2,+∞【解析】2x-1≤-3或2x-1≥3，解得x≤-1或x≥

24.若向量a=[3,4]，b=[1,-2]，则向量a+b=______（4分）【答案】[4,2]【解析】a+b=[3+1,4+-2]=[4,2]

5.已知矩阵A=[1,0;0,1]，B=[0,1;1,0]，则矩阵A+B=______（4分）【答案】[1,1;1,1]【解析】A+B=[1+0,0+1;0+1,1+0]=[1,1;1,1]

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间I上可导，则fx在区间I上连续（）（2分）【答案】（√）【解析】可导必连续

2.若ab，则√a√b（）（2分）【答案】（√）【解析】a,b0时成立

3.任意两个等差数列的和仍然是等差数列（）（2分）【答案】（√）【解析】设{a_n},{b_n}为等差数列，则a_1+a_2+...+a_n+b_1+b_2+...+b_n为等差数列

4.若复数z=a+bia,b∈R，则|z|^2=a^2+b^2（）（2分）【答案】（√）【解析】|z|^2=a+bia-bi=a^2+b^

25.若A,B为两个集合，则A∩B=∅的充要条件是A=∅或B=∅（）（2分）【答案】（×）【解析】反例A={x|x2},B={x|x1}，A∩B=∅但A≠∅,B≠∅

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求极限limx→0sinx/x^2+x（5分）【答案】1/2【解析】原式=limx→0sinx/x·1/x+1=1×1/1=1/

22.求函数fx=x^3-3x^2+2的单调区间（5分）【答案】在-∞,1上单调递增，在1,2上单调递减，在2,+∞上单调递增【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0,x=2，当x0或x2时fx0，0x2时fx

03.求过点1,2且与直线l2x-y+1=0垂直的直线方程（5分）【答案】x+2y-5=0【解析】所求直线斜率为1/2的负倒数即-2，方程为y-2=-2x-1，即x+2y-5=0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n=S_n+nn≥2

（1）求证{a_n}是等比数列（10分）【答案】

（1）证明由a_n=S_n+n，得a_{n+1}=S_{n+1}+n+1，两式相减得a_{n+1}-a_n=S_{n+1}-S_n+n+1-n，即a_{n+1}-a_n=a_{n+1}+1，整理得a_{n+1}=2a_n+1又a_2=S_2+2=1+2=3，a_2=2a_1+1=2×1+1=3，所以a_{n+1}=2a_n+1对所有n成立设b_n=a_n+1，则b_{n+1}=2b_n，即{b_n}是首项为2的等比数列，所以a_n+1=2^n，即a_n=2^n-1故{a_n}是等比数列，公比为

22.设函数fx=ax^3+bx^2+cx+d，若fx在x=1处取得极值，且曲线y=fx经过点0,1

（1）求a,b,c,d的值（10分）【答案】

（1）解由f1取得极值，得f1=3a+2b+c=0，又f0=1，得d=1由fx在x=1处取得极值，得f1=0，又f1=a+b+c+d=0，代入d=1得a+b+c=-1联立3a+2b+c=0和a+b+c=-1，解得a=1，b=-2，c=1，所以fx=x^3-2x^2+x+1

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知某工厂生产某种产品的总成本Cx（单位万元）与产量x（单位件）的关系为Cx=

0.1x^2+10x+1000，产品的售价为每件40元

（1）写出该产品的利润函数Px（25分）【答案】

（1）解收入函数Rx=40x，利润函数Px=Rx-Cx=40x-

0.1x^2+10x+1000=-

0.1x^2+30x-

10002.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值及取得最小值时的x值（25分）【答案】

（1）解fx=|x-1|+|x+2|={x+3,x-2{-1,-2≤x≤1{x-1,x1当x=-2时，fx=1；当x=1时，fx=2，故最小值为1，取得最小值时的x值为-2。