专升本高数试题及答案

专升本高数试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列极限中，正确的是（）（2分）A.limx→0sin1/x=1B.limx→∞x+1/x=0C.limx→0e^x=1D.limx→∞1/x=∞【答案】C【解析】当x→0时，e^x的极限为

12.函数fx=x^3-3x+2在区间[-2,2]上的最大值是（）（2分）A.0B.2C.8D.10【答案】C【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，计算f-2,f-1,f1,f2得最大值为

83.曲线y=x^2+1在点1,2处的切线方程是（）（2分）A.y=2xB.y=2x-1C.y=x+1D.y=x-1【答案】A【解析】y=2x，在x=1时，切线斜率为2，切线方程为y=2x

4.下列级数中，收敛的是（）（2分）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞-1^n/nC.∑n=1to∞1/2^nD.∑n=1to∞n/n+1【答案】C【解析】C是等比级数，公比|q|=1/21，收敛

5.函数y=sinx在区间[0,π]上的积分值为（）（2分）A.1B.0C.2D.π【答案】B【解析】∫_0^πsinxdx=-cosx|_0^π=

26.向量a=1,2,3与向量b=4,5,6的向量积是（）（2分）A.1,7,5B.6,0,-3C.3,2,1D.0,3,6【答案】B【解析】a×b=2×6-3×5,3×4-1×6,1×5-2×4=6,0,-

37.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的行列式|A|是（）（2分）A.5B.1C.-2D.7【答案】C【解析】|A|=1×4-2×3=-

28.微分方程y-y=0的通解是（）（2分）A.y=C_1e^x+C_2e^-xB.y=C_1e^x+C_2xe^xC.y=C_1cosx+C_2sinxD.y=C_1e^-x+C_2e^x【答案】A【解析】特征方程r^2-1=0的根为r=±1，通解为y=C_1e^x+C_2e^-x

9.函数fx=lnx在x=1处的泰勒展开式的前三项是（）（2分）A.1-x+x^2B.0+x-x^2C.1-x+x^2/2D.0-x+x^2【答案】C【解析】fx=1/x,fx=-1/x^2,f1=0,f1=1,f1=-1,泰勒展开式为fx≈0+1x-1-1/2x-1^

210.设函数fx在[a,b]上连续，在a,b内可导，且fa=fb，则存在ξ∈a,b，使得fξ=0，这是（）（2分）A.罗尔定理B.拉格朗日中值定理C.泰勒定理D.柯西中值定理【答案】A【解析】这是罗尔定理的表述

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是函数fx在点x_0处可导的必要条件？（）（4分）A.fx在x_0处连续B.fx在x_0处可导C.fx在x_0处可微D.fx在x_0处左右导数存在且相等【答案】A、D【解析】函数在某点可导则必连续，左右导数存在且相等是可导的充要条件

2.关于向量运算，下列说法正确的有（）（4分）A.向量加减法满足交换律B.向量数乘满足分配律C.向量点积满足结合律D.向量叉积满足反交换律【答案】A、B、D【解析】向量加减法、数乘满足交换律和结合律，点积满足交换律和分配律，叉积满足反交换律

3.下列函数中，在区间-∞,∞上单调递增的有（）（4分）A.y=x^2B.y=e^xC.y=lnxD.y=sinx【答案】B【解析】y=e^x在整个实数域上单调递增

4.关于矩阵，下列说法正确的有（）（4分）A.可逆矩阵一定是方阵B.零矩阵的秩为0C.矩阵乘法满足结合律D.矩阵加法满足交换律【答案】A、B、C、D【解析】以上均为矩阵的基本性质

5.关于微分方程，下列说法正确的有（）（4分）A.线性微分方程的解可以叠加B.齐次线性微分方程的解是通解的一部分C.微分方程的解一定在其定义域内连续D.微分方程的解可以唯一确定【答案】A、B【解析】线性微分方程解的叠加原理成立，齐次线性微分方程的解是通解的一部分

三、填空题（每题4分，共16分）

1.设函数fx=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a=______（4分）【答案】3【解析】fx=3x^2-a，f1=3-a=0，得a=

32.曲线y=x^3-3x^2+2在区间-1,2上的拐点是______（4分）【答案】1,0【解析】y=6x-6，令y=0得x=1，计算y1=0，拐点为1,

03.级数∑n=1to∞1/3^n的求和值为______（4分）【答案】3/2【解析】这是等比级数，首项a=1/3，公比q=1/3，和为a/1-q=1/2/1-1/3=3/

24.设向量a=1,2,3，向量b=4,5,6，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为______（4分）【答案】-1/3【解析】cosθ=a·b/|a||b|=1×4+2×5+3×6/√1^2+2^2+3^2×√4^2+5^2+6^2=32/√14×√77=-1/3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界（）（2分）【答案】（√）【解析】根据有界性定理，连续函数在闭区间上必有界

2.若向量a与向量b垂直，则它们的向量积a×b等于零向量（）（2分）【答案】（√）【解析】向量积的定义决定垂直向量的向量积为零向量

3.若函数fx在点x_0处取得极值，且fx在x_0处可导，则fx_0=0（）（2分）【答案】（√）【解析】这是费马引理的结论

4.若矩阵A可逆，则矩阵A的转置矩阵A^T也可逆（）（2分）【答案】（√）【解析】可逆矩阵的转置矩阵也可逆

5.若函数fx在区间[a,b]上可积，则fx在[a,b]上必连续（）（2分）【答案】（×）【解析】可积函数不一定连续，如狄利克雷函数在[0,1]上可积但不连续

五、简答题（每题4分，共16分）

1.简述罗尔定理的表述及其条件（4分）【答案】罗尔定理若函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，且满足fa=fb，则存在ξ∈a,b，使得fξ=0条件fx在[a,b]上连续，在a,b内可导，且fa=fb

2.简述向量a=1,2,3与向量b=4,5,6的向量积的计算过程及其结果（4分）【答案】向量积的计算过程a×b=a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1计算结果a×b=2×6-3×5,3×4-1×6,1×5-2×4=12-15,12-6,5-8=-3,6,-

33.简述函数fx=x^3-3x^2+2的极值点的求法及其结果（4分）【答案】求法首先求导数fx=3x^2-6x，令fx=0得x^2-2x=0，解得x=0或x=2然后判断导数符号变化，x=0时，fx由正变负，为极大值点；x=2时，fx由负变正，为极小值点结果极大值点x=0，极小值点x=

24.简述矩阵A=[[1,2],[3,4]]的逆矩阵的求法及其结果（4分）【答案】求法首先计算行列式|A|=1×4-2×3=-2≠0，矩阵可逆然后计算伴随矩阵A=[[4,-2],[-3,1]]，逆矩阵A^-1=-1/2A=[[-2,1],[3/2,-1/2]]结果A^-1=[[-2,1],[3/2,-1/2]]

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2的单调区间和极值（10分）【答案】首先求导数fx=3x^2-6x=3xx-2令fx=0得x=0或x=2分析导数符号变化当x0时，fx0，函数单调递增；当0x2时，fx0，函数单调递减；当x2时，fx0，函数单调递增因此，单调递增区间为-∞,0和2,∞，单调递减区间为0,2极值点为x=0（极大值）和x=2（极小值），计算f0=2，f2=-

22.分析级数∑n=1to∞-1^n+11/n的收敛性（10分）【答案】这是一个交错级数，形式为∑-1^n+1b_n，其中b_n=1/n首先检查b_n是否单调递减且趋于0b_n=1/n，显然b_n0，且随着n增大，b_n单调递减趋于0根据莱布尼茨判别法，该级数收敛

七、综合应用题（每题分25，共50分）

1.设函数fx=x^3-ax^2+bx+1在x=1和x=2处取得极值，求a、b的值，并求函数的单调区间和极值（25分）【答案】首先求导数fx=3x^2-2ax+b根据极值条件，f1=0且f2=0f1=3-2a+b=0f2=12-4a+b=0解方程组得a=3，b=-3函数为fx=x^3-3x^2+3x+1再求二阶导数fx=6x-6，分析二阶导数符号当x1时，fx0，函数凹向下；当1x2时，fx0，函数凹向上；当x2时，fx0，函数凹向上因此，x=1为极小值点，x=2为极大值点计算极值f1=1-3+3+1=2f2=8-12+6+1=3单调区间-∞,1单调递减，1,2单调递增，2,∞单调递增

2.设向量a=1,2,3，向量b=4,5,6，向量c=7,8,9求

（1）向量a、b、c的线性组合能否表示零向量？若能，求出表示方法（10分）

（2）向量a、b、c是否共线？若共线，求出比例关系（10分）

（3）向量a、b、c的向量积a×b和a×c，并求它们的向量积a×b×a×c（5分）【答案】

（1）设k_1a+k_2b+k_3c=0，即k_11,2,3+k_24,5,6+k_37,8,9=0,0,0，得方程组k_1+4k_2+7k_3=02k_1+5k_2+8k_3=03k_1+6k_2+9k_3=0解得k_1=k_2=k_3=0，因此只有零解，不能表示零向量

（2）向量a、b、c是否共线，即是否存在λ使a=λb，比较对应分量1=4λ,2=5λ,3=6λ无解，因此不共线

（3）向量积a×b=2×6-3×5,3×4-1×6,1×5-2×4=-3,6,-3，向量积a×c=2×9-3×8,3×7-1×9,1×8-2×7=-6,12,-6向量积a×b×a×c=-3,6,-3×-6,12,-6=6×-6--3×12,-3×-6--3×-6,-3×12-6×-6=-36+36,18-18,-36+36=0,0,0---完整标准答案

一、单选题

1.C

2.C

3.A

4.C

5.B

6.B

7.C

8.A

9.C

10.A

二、多选题

1.A、D

2.A、B、D

3.B

4.A、B、C、D

5.A、B

三、填空题

1.

32.1,

03.3/

24.-1/3

四、判断题

1.√

2.√

3.√

4.√

5.×

五、简答题

1.罗尔定理若函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，且满足fa=fb，则存在ξ∈a,b，使得fξ=0条件fx在[a,b]上连续，在a,b内可导，且fa=fb

2.向量积的计算过程a×b=a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1计算结果a×b=12-15,12-6,5-8=-3,6,-

33.求法首先求导数fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2然后判断导数符号变化，x=0时，fx由正变负，为极大值点；x=2时，fx由负变正，为极小值点结果极大值点x=0，极小值点x=

24.求法首先计算行列式|A|=1×4-2×3=-2≠0，矩阵可逆然后计算伴随矩阵A=[[4,-2],[-3,1]]，逆矩阵A^-1=-1/2A=[[-2,1],[3/2,-1/2]]结果A^-1=[[-2,1],[3/2,-1/2]]

六、分析题

1.单调区间-∞,0单调递增，0,2单调递减，2,∞单调递增极值点x=0（极大值2），x=2（极小值-2）

2.级数收敛，根据莱布尼茨判别法

七、综合应用题

1.a=3,b=-3单调区间-∞,1单调递减，1,2单调递增，2,∞单调递增极值点x=1（极小值2），x=2（极大值3）

2.

（1）不能表示零向量

（2）不共线

（3）a×b=-3,6,-3，a×c=-6,12,-6，a×b×a×c=0,0,0。