全国卷三文科试题及答案

全国卷三文科试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）A.\y=-2x+1\B.\y=\frac{1}{x}\C.\y=x^2-4\D.\y=\sqrt{x}\【答案】D【解析】函数\y=\sqrt{x}\在其定义域（\x\geq0\）内是单调递增的

2.若集合\A=\{x|x^2-3x+2=0\}\，\B=\{x|ax=1\}\，且\B\subseteqA\，则实数\a\的取值集合为（）A.\\{1,2\}\B.\\{1\}\C.\\{2\}\D.\\emptyset\【答案】A【解析】集合\A=\{1,2\}\，若\B\subseteqA\，则\a=1\或\a=\frac{1}{2}\，但由于\\frac{1}{2}\notinA\，所以\a=1\，故选项A正确

3.在等比数列\\{a_n\}\中，若\a_2=6\，\a_4=54\，则\a_3\的值为（）A.12B.18C.24D.36【答案】B【解析】由等比数列的性质，得\\frac{a_4}{a_2}=q^2\，即\\frac{54}{6}=q^2\，解得\q=3\，所以\a_3=a_2\cdotq=6\cdot3=18\

4.若复数\z=1+i\，则\z^2\的虚部为（）A.1B.-1C.2D.-2【答案】C【解析】\z^2=1+i^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i\，虚部为

25.在\\triangleABC\中，角\A\、\B\、\C\的对边分别为\a\、\b\、\c\，若\\cosA=\frac{1}{2}\，则\\sinB\cdot\sinC\的值为（）A.\\frac{1}{2}\B.\\frac{\sqrt{3}}{2}\C.1D.\\frac{3}{4}\【答案】D【解析】由\\cosA=\frac{1}{2}\，得\\sinA=\frac{\sqrt{3}}{2}\，根据正弦定理，\\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}\，所以\\sinB\cdot\sinC=\frac{a^2}{\sin^2A}\cdot\frac{1}{2}=\frac{a^2}{3/4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\

6.某校有1000名学生，随机抽取500名学生进行调查，发现其中200名学生喜欢篮球，则估计该校喜欢篮球的学生人数为（）A.200人B.400人C.600人D.800人【答案】C【解析】抽样比例为\\frac{500}{1000}=\frac{1}{2}\，所以估计喜欢篮球的学生人数为\1000\times\frac{1}{2}\times2=600\人

7.函数\fx=\lnx+1-x\在区间\-1,0\上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增【答案】A【解析】\fx=\frac{1}{x+1}-1=\frac{-x}{x+1}\，在\-1,0\上，\fx0\，所以函数单调递增

8.在直角坐标系中，点\A1,2\关于直线\y=x\的对称点为（）A.1,2B.2,1C.-1,-2D.-2,-1【答案】B【解析】点\A1,2\关于直线\y=x\的对称点为\A2,1\

9.若函数\fx=x^3-ax^2+bx\在\x=1\处取得极值，则\a\、\b\的关系为（）A.\a=3\，\b=2\B.\a=3\，\b=-2\C.\a=-3\，\b=2\D.\a=-3\，\b=-2\【答案】A【解析】\fx=3x^2-2ax+b\，由\f1=0\，得\3-2a+b=0\，又因在\x=1\处取得极值，所以\f1=6-2a=0\，解得\a=3\，代入得\b=2\

10.在四棱锥\P-ABCD\中，底面\ABCD\为平行四边形，若\PA\perp\平面\ABCD\，则下列说法正确的是（）A.\PB\perpAC\B.\PD\perpBC\C.\PC\perpAD\D.\PB\perpPD\【答案】B【解析】由\PA\perp\平面\ABCD\，得\PA\perpBC\，又因底面为平行四边形，所以\AD\parallelBC\，故\PD\perpBC\

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）A.若\ab\，则\a^2b^2\B.若\a^2b^2\，则\ab\C.若\\sin\alpha=\sin\beta\，则\\alpha=\beta\D.若\\cos\alpha=\cos\beta\，则\\alpha=2k\pi\pm\beta\（\k\in\mathbb{Z}\）【答案】D【解析】A选项不正确，因为当\a0b\时，\a^2b^2\；B选项不正确，因为当\a0b\时，\a^2b^2\；C选项不正确，因为\\sin\alpha=\sin\beta\时，\\alpha=\beta+2k\pi\或\\alpha=\pi-\beta+2k\pi\；D选项正确

2.下列函数中，在其定义域内存在反函数的有（）A.\y=x^3\B.\y=\frac{1}{x}\C.\y=x^2\D.\y=2x+1\【答案】A、B、D【解析】A、B、D函数在其定义域内一一对应，存在反函数；C函数\y=x^2\在定义域内不是一一对应，不存在反函数

3.在等差数列\\{a_n\}\中，若\a_1=1\，\a_5=9\，则（）A.\a_3=5\B.\a_7=13\C.\S_9=45\D.\S_{10}=55\【答案】A、B、C【解析】由等差数列的性质，得\a_3=\frac{a_1+a_5}{2}=5\，\a_7=a_1+6d=9+8=17\，\S_9=\frac{9a_1+a_9}{2}=45\，\S_{10}=\frac{10a_1+a_{10}}{2}=55\

4.在\\triangleABC\中，角\A\、\B\、\C\的对边分别为\a\、\b\、\c\，若\\sinA:\sinB:\sinC=3:4:5\，则（）A.\\triangleABC\为锐角三角形B.\\triangleABC\为直角三角形C.\\triangleABC\为钝角三角形D.\\triangleABC\为等腰三角形【答案】C【解析】由正弦定理，得\a:b:c=3:4:5\，设\a=3k\，\b=4k\，\c=5k\，则\\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{9k^2+16k^2-25k^2}{24k^2}=-\frac{1}{4}0\，所以\\triangleABC\为钝角三角形

5.函数\fx=\frac{x^2-1}{x-1}\在区间\1,+\infty\上的性质为（）A.单调递增B.单调递减C.连续D.有间断点【答案】A、D【解析】\fx=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\（\x\neq1\），在区间\1,+\infty\上单调递增，但\x=1\处有间断点

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数\fx=\sin2x+\varphi\的图像关于直线\x=\frac{\pi}{4}\对称，则\\varphi\的值为_________【答案】\\frac{\pi}{4}\（4分）【解析】由对称性，得\2\cdot\frac{\pi}{4}+\varphi=k\pi+\frac{\pi}{2}\，解得\\varphi=k\pi+\frac{\pi}{4}\，取\k=0\，得\\varphi=\frac{\pi}{4}\

2.在等比数列\\{a_n\}\中，若\a_1=1\，\a_4=16\，则\a_3\的值为_________【答案】8（4分）【解析】由等比数列的性质，得\a_3^2=a_1\cdota_4=16\，解得\a_3=8\

3.已知集合\A=\{x|x^2-3x+2=0\}\，\B=\{x|ax=1\}\，且\B\subseteqA\，则实数\a\的取值集合为_________【答案】\\{1,2\}\（4分）【解析】由题意，得\a=1\或\a=\frac{1}{2}\，但由于\\frac{1}{2}\notinA\，所以\a=1\，故选项A正确

4.函数\fx=\lnx+1-x\在区间\-1,0\上的单调性为_________【答案】单调递增（4分）【解析】\fx=\frac{1}{x+1}-1=\frac{-x}{x+1}\，在\-1,0\上，\fx0\，所以函数单调递增

5.在四棱锥\P-ABCD\中，底面\ABCD\为平行四边形，若\PA\perp\平面\ABCD\，则下列说法正确的是_________【答案】\PD\perpBC\（4分）【解析】由\PA\perp\平面\ABCD\，得\PA\perpBC\，又因底面为平行四边形，所以\AD\parallelBC\，故\PD\perpBC\

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个负数相加，和一定比其中一个数大（）【答案】（×）【解析】如-5+-3=-8，和比两个数都小

2.若复数\z=a+bi\（\a,b\in\mathbb{R}\），则\z\的模为\\sqrt{a^2+b^2}\（）【答案】（√）【解析】复数\z=a+bi\的模为\\sqrt{a^2+b^2}\

3.在等差数列\\{a_n\}\中，若\a_1=1\，\a_5=9\，则\a_3=5\（）【答案】（√）【解析】由等差数列的性质，得\a_3=\frac{a_1+a_5}{2}=5\

4.函数\fx=x^3-ax^2+bx\在\x=1\处取得极值，则\a\、\b\的关系为\a=3\，\b=2\（）【答案】（×）【解析】由题意，得\a=3\，代入得\b=2\

5.在\\triangleABC\中，角\A\、\B\、\C\的对边分别为\a\、\b\、\c\，若\\sinA:\sinB:\sinC=3:4:5\，则\\triangleABC\为钝角三角形（）【答案】（√）【解析】由正弦定理，得\a:b:c=3:4:5\，设\a=3k\，\b=4k\，\c=5k\，则\\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{9k^2+16k^2-25k^2}{24k^2}=-\frac{1}{4}0\，所以\\triangleABC\为钝角三角形

五、简答题（每题4分，共20分）

1.已知函数\fx=x^3-3x^2+2\，求函数的极值【答案】\fx=3x^2-6x\，令\fx=0\，得\x=0\或\x=2\当\x0\时，\fx0\，函数单调递增；当\0x2\时，\fx0\，函数单调递减；当\x2\时，\fx0\，函数单调递增所以函数在\x=0\处取得极大值，在\x=2\处取得极小值\f0=2\，\f2=-2\

2.已知集合\A=\{x|x^2-3x+2=0\}\，\B=\{x|ax=1\}\，且\B\subseteqA\，求实数\a\的取值集合【答案】集合\A=\{1,2\}\，若\B\subseteqA\，则\a=1\或\a=\frac{1}{2}\，但由于\\frac{1}{2}\notinA\，所以\a=1\

3.已知函数\fx=\lnx+1-x\，求函数在区间\-1,0\上的单调性【答案】\fx=\frac{1}{x+1}-1=\frac{-x}{x+1}\，在\-1,0\上，\fx0\，所以函数单调递增

4.已知等差数列\\{a_n\}\中，\a_1=1\，\a_5=9\，求\a_3\的值【答案】由等差数列的性质，得\a_3=\frac{a_1+a_5}{2}=5\

5.已知在\\triangleABC\中，角\A\、\B\、\C\的对边分别为\a\、\b\、\c\，若\\sinA:\sinB:\sinC=3:4:5\，判断\\triangleABC\的类型【答案】由正弦定理，得\a:b:c=3:4:5\，设\a=3k\，\b=4k\，\c=5k\，则\\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{9k^2+16k^2-25k^2}{24k^2}=-\frac{1}{4}0\，所以\\triangleABC\为钝角三角形

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数\fx=x^3-ax^2+bx\在\x=1\处取得极值，求\a\、\b\的关系，并判断极值类型【答案】\fx=3x^2-2ax+b\，由\f1=0\，得\3-2a+b=0\，即\b=2a-3\\fx=6x-2a\，当\x=1\时，\f1=6-2a\若\a3\，则\f10\，函数在\x=1\处取得极大值；若\a3\，则\f10\，函数在\x=1\处取得极小值

2.已知在\\triangleABC\中，角\A\、\B\、\C\的对边分别为\a\、\b\、\c\，若\\sinA:\sinB:\sinC=3:4:5\，求\\cosA\、\\cosB\、\\cosC\的值【答案】由正弦定理，得\a:b:c=3:4:5\，设\a=3k\，\b=4k\，\c=5k\\\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{16k^2+25k^2-9k^2}{40k^2}=\frac{32}{40}=\frac{4}{5}\；\\cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{9k^2+25k^2-16k^2}{30k^2}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}\；\\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{9k^2+16k^2-25k^2}{24k^2}=-\frac{1}{4}\

七、综合应用题（每题20分，共20分）

1.已知函数\fx=\lnx+1-x\，求函数的极值，并判断函数的单调性【答案】\fx=\frac{1}{x+1}-1=\frac{-x}{x+1}\，令\fx=0\，得\x=0\当\x0\时，\fx0\，函数单调递增；当\0x1\时，\fx0\，函数单调递减；当\x1\时，\fx0\，函数单调递增所以函数在\x=0\处取得极大值，在\x=1\处取得极小值\f0=2\，\f1=-1\完整标准答案

一、单选题

1.A

2.A

3.B

4.C

5.D

6.C

7.A

8.B

9.A

10.B

二、多选题

1.D

2.A、B、D

3.A、B、C

4.C

5.A、D

三、填空题

1.\\frac{\pi}{4}\

2.

83.\\{1,2\}\

4.单调递增

5.\PD\perpBC\

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.函数在\x=0\处取得极大值，在\x=2\处取得极小值

2.\a=1\

3.函数单调递增

4.\a_3=5\

5.\\triangleABC\为钝角三角形

六、分析题

1.\b=2a-3\，当\a3\时，函数在\x=1\处取得极大值；当\a3\时，函数在\x=1\处取得极小值

2.\\cosA=\frac{4}{5}\，\\cosB=\frac{3}{5}\，\\cosC=-\frac{1}{4}\

七、综合应用题

1.函数在\x=0\处取得极大值，在\x=1\处取得极小值。