函授高数试题及答案

函授高数试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列极限计算正确的是（）（2分）A.limx→0sinx/x=0B.limx→∞x^2-1/x^2+1=1C.limx→0e^x/x=1D.limx→1x^2-1/x-1=0【答案】B【解析】选项A正确极限为1；选项B正确极限为1；选项C正确极限为1；选项D正确极限为

22.函数fx=x^3-3x+2在区间[-2,2]上的最大值是（）（2分）A.0B.8C.10D.6【答案】C【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f-2=0，f-1=5，f1=-1，f2=8，所以最大值为

103.下列级数收敛的是（）（2分）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞-1^n/nD.∑n=1to∞1/n^3【答案】B【解析】选项A发散；选项B收敛（p-级数，p=21）；选项C条件收敛；选项D收敛（p-级数，p=31）

4.函数y=lnx在点x=1处的切线方程是（）（2分）A.y=x-1B.y=x+1C.y=-x+1D.y=-x-1【答案】A【解析】y=1/x，y1=1，所以切线方程为y-ln1=1x-1，即y=x-

15.曲线y=x^2+1与y=2x在点1,2处的夹角是（）（2分）A.0°B.45°C.90°D.135°【答案】B【解析】y=2x，y|x=1=2，直线2x的斜率为2，所以夹角tanθ=|2-2/sqrt1^2+1^2|=0，θ=45°

6.函数y=sinx在区间[0,π]上的积分是（）（2分）A.1B.0C.-1D.2【答案】D【解析】∫0toπsinxdx=-cosx|_0^π=-cosπ--cos0=

27.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的转置矩阵是（）（2分）A.[[1,3],[2,4]]B.[[1,4],[2,3]]C.[[2,3],[1,4]]D.[[2,4],[1,3]]【答案】A【解析】转置矩阵是将矩阵的行变为列，列变为行，所以转置矩阵为[[1,3],[2,4]]

8.向量空间R^3中，向量[1,2,3]和[4,5,6]的线性组合能生成（）（2分）A.一条直线B.一个平面C.R^3D.两个向量【答案】A【解析】两个向量线性相关，它们的线性组合只能生成一条直线

9.微分方程y+y=0的通解是（）（2分）A.y=Ce^xB.y=Ce^-xC.y=CxD.y=C【答案】B【解析】微分方程的通解为y=Ce^-x

10.函数fx=x^3-3x在x=0处的泰勒展开式的前三项是（）（2分）A.x^3-3xB.0C.x^2-3D.3x^2【答案】A【解析】fx=3x^2-3，fx=6x，fx=6，所以泰勒展开式的前三项为x^3-3x

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在区间[0,1]上可积？（）A.y=1/xB.y=sinxC.y=x^2D.y=|x|【答案】B、C、D【解析】y=1/x在x=0处不连续，不可积；y=sinx在[0,1]上连续，可积；y=x^2在[0,1]上连续，可积；y=|x|在[0,1]上连续，可积

2.以下哪些是线性无关的向量？（）A.[1,0,0]B.[0,1,0]C.[0,0,1]D.[1,1,1]【答案】A、B、C【解析】向量[1,0,0]、[0,1,0]、[0,0,1]是标准基向量，线性无关；向量[1,1,1]是其他三个向量的线性组合，线性相关

3.以下哪些是微分方程的解？（）A.y=e^xB.y=e^-xC.y=xe^xD.y=Ce^x【答案】A、B、D【解析】微分方程y-y=0的解为y=Ce^x，所以y=e^x、y=e^-x、y=Ce^x是解；y=xe^x不是解

4.以下哪些矩阵是可逆的？（）A.[[1,0],[0,1]]B.[[1,2],[3,4]]C.[[2,3],[4,6]]D.[[1,0],[0,0]]【答案】A、B【解析】矩阵[[1,0],[0,1]]是单位矩阵，可逆；矩阵[[1,2],[3,4]]的行列式不为0，可逆；矩阵[[2,3],[4,6]]的行列式为0，不可逆；矩阵[[1,0],[0,0]]的行列式为0，不可逆

5.以下哪些是收敛的级数？（）A.∑n=1to∞1/2^nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞-1^n/nD.∑n=1to∞1/n【答案】A、B、C【解析】选项A是等比级数，公比绝对值小于1，收敛；选项B是p-级数，p=21，收敛；选项C是交错级数，满足莱布尼茨判别法，收敛；选项D是调和级数，发散

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数fx=x^2-4x+5在区间[1,3]上的最小值是______（4分）【答案】2【解析】fx=2x-4，令fx=0得x=2，f1=2，f2=1，f3=2，所以最小值为

12.级数∑n=1to∞1/3^n的前三项和是______（4分）【答案】11/27【解析】级数是等比级数，公比q=1/3，前三项和为1/3+1/9+1/27=11/

273.函数y=e^x在点x=0处的导数是______（4分）【答案】1【解析】y=e^x，y|x=0=e^0=

14.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的行列式是______（4分）【答案】-2【解析】detA=1×4-2×3=-

25.微分方程y-2y=0的通解是______（4分）【答案】Ce^2x【解析】微分方程的通解为y=Ce^2x

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个向量线性无关的充要条件是它们不成比例（）（2分）【答案】（√）

2.函数fx在闭区间[a,b]上连续，则在该区间上一定可积（）（2分）【答案】（√）

3.矩阵A的秩等于其行向量组的秩（）（2分）【答案】（√）

4.级数∑n=1to∞1/n^p当p1时收敛（）（2分）【答案】（√）

5.微分方程y+y=0的解都在实数域上存在（）（2分）【答案】（√）

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述导数的几何意义（5分）【答案】导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率

2.简述矩阵可逆的条件（5分）【答案】矩阵可逆的条件是其行列式不为0且行向量组线性无关

3.简述级数收敛的必要条件（5分）【答案】级数收敛的必要条件是通项极限为0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx=x^3-3x^2+2，求fx在区间[-2,3]上的最大值和最小值（10分）【答案】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0,2，f-2=0，f0=2，f2=-2，f3=2，所以最大值为2，最小值为-

22.设向量组α=[1,2,3]，β=[4,5,6]，γ=[7,8,9]，证明向量组线性相关（10分）【答案】设k1α+k2β+k3γ=0，即k1[1,2,3]+k2[4,5,6]+k3[7,8,9]=[0,0,0]，得到方程组k1+4k2+7k3=02k1+5k2+8k3=03k1+6k2+9k3=0解得k1=k2=k3=0，所以向量组线性相关

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设函数fx=x^2-4x+5，求fx在区间[1,3]上的平均值（25分）【答案】fx在区间[1,3]上的平均值是f1+f3/2=2+2/2=

22.设矩阵A=[[1,2],[3,4]]，求矩阵A的逆矩阵（25分）【答案】detA=1×4-2×3=-2，A的逆矩阵为-1/2×[[4,-2],[-3,1]]=[[-2,1],[3/2,-1/2]]---标准答案

一、单选题

1.B

2.C

3.B

4.A

5.B

6.D

7.A

8.A

9.B

10.A

二、多选题

1.B、C、D

2.A、B、C

3.A、B、D

4.A、B

5.A、B、C

三、填空题

1.

22.11/

273.

14.-

25.Ce^2x

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率

2.矩阵可逆的条件是其行列式不为0且行向量组线性无关

3.级数收敛的必要条件是通项极限为0

六、分析题

1.最大值为2，最小值为-

22.向量组线性相关

七、综合应用题

1.平均值是

22.逆矩阵为[[−2,1],[3/2,−1/2]]。